数列专题---裂项相消法整体思想

数列运算中整体思想简化计算数列运算中整体思想简化计算 一 一 整体代入整体代入 把已知条件作为一个整体 直接代入或组合后代入所求的结论 例例 1 在各项均为正数的等比数列 an 中 若 a5a6 9 则 log3a1 log3a2 log3a10 A 12 B 10 C 8 D 2 log35 解析 log3a1 log3a2 log3a10 log3 a1 a2 a10 log3 a5a6 5 5log39 5 2 10 故应选 B 例例 2 等差数列 an 的前 10 项和 S10 100 前 100 项和 S100 10 则前 110 项和 S110等于 A 90 B 90 C 110 D 110 解析 S100 S10 a11 a12 a100 45 a1 a110 90 a1 a110 2 2 90 10011aa 故 S110 110 所以应选 C 2 110 1101 aa 二 二 整体求解整体求解 把所求的结论作为一个整体 由已知条件变形或计算便得 例例 3 在等比数列 an 中 若 a1 0 且 a2a4 2a3a5 a4a6 16 则 a3 a5的值为 解析 由已知条件得 a32 2a3a5 a52 16 即 a3 a5 2 16 解之得 a3 a5 4 a1 0 a2n 1 0 故 a3 a5 4 例例 4 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S12 0 S130 得 a6 a7 0 又 S13 13a70 故 S6最大 三 三 整体转化整体转化 把求解的过程作为一个整体 寓整体于转化之中 例例 5 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足条件 a1 b1 a 0 a2n 1 b2n 1 b 试比较 an 1与 bn 1的大小 解析 由 a1 b1 a 0 知 a2n 1 b2n 1 b 0 an 1 bn 1 故 an 1 bn 1 0 2 2 2 2 121 121 ba ab ba bb aa n n 四 四 整体换元整体换元 把陌生的或复杂的式子进行整体换元 这是一种化生为熟 以简驭繁的解题策略 例例 6 已知等差数列 an 的前 12 项和为 354 前 12 项中奇数项和与偶数项和之比为 27 32 求公差 d 解析 设前 12 项中奇数项和与偶数项和分别为 S奇和 S偶 则有 据此得 即 32 27 S S 偶 偶 59 27 SS 偶偶 偶S 解之得 S奇 162 S偶 192 59 27 354 S 偶 故由 S偶 S奇 6d 30 解之得 d 5 五 五 整体假设整体假设 把不确定的结论假设成一个整体 这是解决开放性问题的有效方法 例例 7 已知等比数列 an 的首项 a1 0 公比 q 0 q 1 等差数列 bn 的公差 d 0 问是否存在一个常数 a 使 得 logaan bn为不依赖于 n 的定值 解析 假设存在常数 a 使得 logaan bn k 定值 则 logaan 1 bn 1 k 定值 得 loga bn 1 bn 0 即 logaq d 解之得 a a a n n 1d q 故存在一个常数 a 使得 logaan bn为不依赖于 n 的定值 d q 六 六 整体构造整体构造 把局部的构造成一个整体 这是在整体中求发展的一大创举 例例 8 若等差数列 an 的 m 项和与前 n 项和分别记为 Sm与 Sn 且 m n 求证 n m S S n m 2 2 12 12 n m a a n m 证明 12 12 121 121 121 121 12 12 2 2 12 12 12 12 2 2 n m n m n m n m S S m n aa aa n m m n aa aa a a 12 12 12 12 12 12 2 2 n m n m m n 裂项相消法裂项相消法 的两种用途的两种用途 裂项相消法用在数列求和和证明不等式 魅力一 用于数列求和魅力一 用于数列求和 例例 1 1 求数列的前项的和 1 1 1 1 2 2 n n n n S 解 数列的通项 2 11 1 2 2 1 2 22 1 1 1 1 22 2 2 2 nnnnnn nn n n an 所以 2 11 1 1 1 1 1 1 5 1 3 1 1 4 1 2 1 1 3 1 1 1 1 nnnn Sn 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 nn n nn n 点评 分式的求和多利用此法 常见的拆项公式有 0 11 1 1 k knnkknn 其中 1 1 1 1 nnn n 等等 nn nn 1 1 1 例 例 设数列的前项和为 若对于N N 恒成立 求 n an n S n1 nn naS n S 解 1 nn naS 则 1 1 11 nn anS 得 0 1 1 nnn annaa 在 中 当时 1 1 1 n n a a n n 1 n1 11 aa 2 1 1 a 1 11 1 1 1 12 5 3 4 2 3 1 2 1 12 3 1 2 1 nnnnn n n n a a a a a a aa n n n 11 1 1 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 n n nnn Sn 魅力二 用于证明不等式魅力二 用于证明不等式 例例 3 3 已知数列的通项公式为 n a 1 1 2 nn an 求证 18 11 21 n aaa 证明 当时 1 n 18 11 1 1 a 当时 2 n 18 11 011 21 aa 当时 3 n 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 1 1 1 22 nnnnnnnn an 7 1 4 1 3 1 6 1 3 1 3 1 5 1 2 1 3 1 4 1 1 1 3 1 0 21n aaa 1 1 2 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 4 1 3 1 nnnnnn 18 11 3 1 2 1 1 3 1 1 11 1 1 3 1 2 1 1 3 1 nnn 综合 得 18 11 21 n aaa 例例 4 4 求证 其中N N 3 1 1 2 n n n 证明 1 当时 命题显然成立 1 n2 1 1 1 1 2 当时 2 n nn nnnnn n n C n C n C n C n C n 1 1 1 1 1 1 1 33221100 2 1 1 1 2 3322 nn nnn n C n C n C 对于N N 时 有 kk且2 1 1 2 1 1 kn knnnn n C k nn n kkkkk 1 1 1 1 1 1 nn