引导学生寻找解决平行垂直问题的策略

1 引导学生寻找解决平行垂直问题的策略引导学生寻找解决平行垂直问题的策略 东莞市 梁锦连 摘要摘要 本文通过例题说明利用传统方法解决立体几何中的平行和垂直问题 试图帮助学 生建立解决立体几何问题的主题思路 通过几种方法的比较 让学生体会到解题思路 的多样性以及其中的利弊关系 从而尝试提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力 关键词关键词 引导 寻找 平行垂直 策略 平行和垂直问题是立体几何中的重点内容 也是高考中的必考内容 在立体几何的学 习中 在证明空间角 空间距离的计算过程中 都要不断地运用到平行和垂直的知识 那 么 在高考总复习中 如何更好地处理立体几何部分的复习 就显得更加重要了 本文试 图先从解决 平行和垂直 的有关问题入手 帮助学生掌握立体几何中解决问题的主题思 路 以提高他们的逻辑思维能力和空间想象能力 希望能让学生从解决立体几何的问题中 找到成功的喜悦 同时也能在高考中取得更好的成绩 1 1 平行类问题的处理平行类问题的处理 在很多教辅资料中都曾看过有关线线平行 线面平行及面面平行的关系图 如下 1 11 1 线线平行的主要判定依据线线平行的主要判定依据 在必修 2 中我们学习过的证明线线平行的方法有 定义法 在同一平面内没有公共点的两条直线平行 平行公理 平行于同一直线的两条直线平行 线面平行的性质定理 如果一条直线平行于一个平面 经过这条直线的平面与已知平 面相交 那么 这条直线和交线平行 线面垂直的性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 但是 在利用传统方法解决立体几何的问题当中 我们却很少运用以上这些知识点去解决 更 多的是运用以下几种方法 1 中位线 中点 三角形中位线 梯形中位线 2 平行四边形对边互相平行 3 由图中 得 即通过线面平行的性质定理得线线平行 4 由图中 得 即通过面面平行的性质定理得线线平行 1 21 2 线面平行的主要判定依据线面平行的主要判定依据 1 由图中 得 即通过线面平行的判定定理得线面平行 2 由图中 得 即通过面面平行的性质定理得线面平行 1 31 3 面面平行的主要判定依据面面平行的主要判定依据 1 根据定义 证明两平面没有公共点 2 由图中 得 即通过面面平行的判定定理得面面平行 3 证明两平面同垂直于一条直线 线线平行线线平行 线面平行线面平行 面面平行面面平行 2 常用思路梳理归纳 常用思路梳理归纳 1 证明线线平行 若平面外直线与平面内直线长度明显长短不一 可用中位线互相平行证明 若平面外直线与平面内直线长度似乎相等 则可使用平行四边形对边互相平行证明 2 证明线面平行 线面平行可通过线线平行得到 依据 a 中位线互相平行 b 平行四边形对边互相平行 线面平行可通过面面平行得到 若两个平面平行 那么在其中一个平面内的所有直线 一定都和另一个平面平行 3 证明面面平行 运用面面平行的判定定理 从线面平行得面面平行 如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 下面通过例 1 的第一问 让学生先思考解决此问题的思路 告诉学生可运用三种方法 解决此问题 使学生充分体现出线线平行 线面平行及面面平行的明确的证明思路 让学 生感受到梳理思路对处理证明题的事半功倍之效 例例 1 21 2 如图 在四棱锥中 底面是边长为的正方形 PABCD ABCD2 侧面 且 PADABCD 底面 2 2 PAPDAD 若 分别为 的中点 EFPCBD 1 求证 平面 EFPAD 分析 分析 证明线面平行主要有两种思考方向 分别是 由线线平行得线面平行及由面面平行得 线面平行 1 运用线面平行的判定定理 即在平面内找到一条直线能与直线平行PADEF 构造三角形的中位线或构造平行四边形 2 运用面面平行的性质定理 即寻找直线所在平面与平面平行 通常找EFPAD 直线所在平面的方法都是过线段 EF 的端点作两条直线与平面的某两条EFPAD 直线平行 解法一 解法一 连接 在正方体中 为中点 ACABCDFBD 则为线段的中点FAC 又为的中点 EPC 为的中位线 EFPAC PAEF 又 PADEFPADPA平面 平面 平面 由三角形中位线证明线线平行 再由线线平行得线面平行 由三角形中位线证明线线平行 再由线线平行得线面平行 EFPAD 解法二 解法二 取和的中点分别为 连接PDADHG HFGHGE 分别为和的中点 EG PDPC 为的中位线 GEPDC DCGE 2 1 F A B C P D E G H F A B C P D E E F A B C P D E E A 3 同理得ABHF 2 1 又 在正方体中 ABCDABDC 则四边形为平行四边形 HFGE GHFE EFGH 又 PADEFPADGH平面 平面 平面 由平行四边形证明线线平行 再由线线平行得线面平行 由平行四边形证明线线平行 再由线线平行得线面平行 EFPAD 解法三 解法三 取的中点 连接 DCMEMFMAC 分别为和的中点 EM DCPC 为的中位线 MEPDC PDME 2 1 PADEMPADPD平面 平面 平面 EMPAD 同理得 平面GMPAD 又 EMF 平平 FMEM 平面 EMF平面PAD 又 平面EMFEF 平面 由面面平行证明线面平行 由面面平行证明线面平行 EFPAD 评析 评析 线面平行的证明能够很好的体现出学生对立体几何证明平行问题的水平 也能提高 学生的逻辑思维能力和空间想象能力 通过上面例 1 的三种方法对比 不难发现 第一种 方法利用三角形的中位线得线线平面进而得线面平行是最方便的 而利用平行四边形得对 边平行的方法相对显得有点麻烦 第三种方法学生最容易出错 经常会认为 一个平面 内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行 则这两个平面平行 因而这种 方法学生相对较难掌握 2 2 垂直类问题的处理垂直类问题的处理 2 12 1 线线垂直的主要判定依据线线垂直的主要判定依据 1 通过勾股定理构造直角三角形 2 由图中 得 即通过线面垂直的性质定理得到线线垂直 F A B C P D E M 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 4 F E 乙 D C B A 3 等腰三角形三线合一 高 4 异面直线所成的角 0 90 2 22 2 线面垂直的主要判定依据线面垂直的主要判定依据 1 由图中 得 即通过线面垂直的判定定理得线面垂直 2 由图中 得 即通过面面垂直的性质定理得线面垂直 2 32 3 面面垂直的主要判定依据面面垂直的主要判定依据 1 直二面角 2 由图中 得 即根据面面垂直的判定定理由线面垂直得面面垂直 常用思路梳理归纳 常用思路梳理归纳 1 证明线线垂直 若两直线相交 则可尝试用等腰三角形三线合一或勾股定理证明 若两直线是异面直线关系 可通过证明线面垂直 利用线面垂直的性质定理得到线线 垂直 2 证明线面垂直 线面垂直可通过线线垂直得到 如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直 那 么这条直线就垂直于这个平面 线面垂直可通过面面垂直得到 一个平面内的一条直线垂直于两平面的交线 则该直 线垂直于另一平面 3 证明面面垂直 运用面面垂直的判定定理 从线面垂直得面面垂直 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 下面同样通过例 2 的第一问 让学生思考运用三种方法解决线面垂直问题 让学生感受到线 线垂直 线面垂直及面面垂直的清晰的证明思路 例例 2 22 2 如图甲 在平面四边形 ABCD 中 已知 105ADC aCDA 450 CDBDAB2 现将四边形 ABCD 沿 BD 折起 使平面 ABD 平面 BDC 如 图乙 设点 E F 分别为棱 AC AD 的中点 1 求证 DC 平面 ABC 分析 分析 证明线面垂直主要有两种思考方向 分 别是由线线垂直得线面垂直及由面面垂 直得线面垂直 1 运用线面垂直的判定定理 即想办法证明直线 DC 垂直于平面 ABC 内的两条相交直线 运用 勾股定理 等腰三角形三线合一或线面垂直的性质定理 2 通过面面垂直的性质定理 即寻找直线 DC 能和直线 DC 所在的平面与平面 ABC 的交线垂直 乙 D C B A 5 F E 乙 D C B A 乙 D C B A F E 乙 D C B A 解法一 解法一 在四边形中 105ADC ABCD 0 45 A 则 0 60 CDB CDBDAB2 CDBDBDCDBDCBC cos2 222 2022 360cos224aaaaa 则aBC3 222 DBBCDC 勾股定理证明线线垂直勾股定理证明线线垂直 BCDCRtDCB 则为 在中 所以ABD DBABADB 450DBABRtABD 则为 平面 ABD 平面 BDC 为平面 ABD 与平面 BDC 的交线 BD 平面 BDC AB 又 线面垂直得线线垂直线面垂直得线线垂直 平面BDCCD DCAB BBCAB ABCDC平面 解法二 解法二 在中 则ABD DBABADB 450DBABRtABD 则为 平面 ABD 平面 BDC 为平面 ABD 与平面 BDC 的交线 BD 平面 BDC AB 平面ABCAB 平面 ABD 平面 BDC 在四边形中 105ADC ABCD 0 45 A 则 0 60 CDBCDBDAB2 2022222 360cos224cos2aaaaaCDBDBDCDBDCBC 则aBC3 222 DBBCDC BCDCRtDCB 则为 为平面 ABC 与平面 BDC 的交线BC 平面 ABC 面面垂直得线面垂直面面垂直得线面垂直 DC 评析 评析 在线面垂直的证明方法中 学生比较容易掌握的是运用线面垂直的判定定理来证明 6 此种方法相对比较容易证明 但在此题目中已经有面面垂直这一个条件 可以对此条件善 加利用 因此在此题当中 两种方法的证明难度相当 甚至是第二种方法略显容易些 另外 在面面垂直的证明中学生很容易犯错 经常把证明面面垂直的判定定理与性质定理搞混 乱 例如 学生常把证明一条直线垂直于两个平面的交线 则认为这两个平面互相垂直 下面通过 上面例 1 的第二问同样让学生思考运用三种方法解决面面垂直问题 例 1 如图 在四棱锥中 底面是边长为的正方形 侧面PABCD ABCD2 且 若 PADABCD 底面 2 2 PAPDAD E 分别为 的中点 FPCBD 2 求证 平面平面 PDCPAD 分析 分析 证明面面垂直的关键是要在其中一个平面内寻找 一条直线垂直于另一个平面 可以通过面面垂直的性质定理得到 也可以通过线面垂直的判 定定理得到 1 在平面内找一条直线垂直于平面PDCPAD 2 在平面内找一条直线垂直于平面 PADPDC 解法一 解法一 底面是边长为的正方形 ABCD2 DCAD 又侧面 PADABCD 底面 是侧面与底面的交线ADPADABCD 平面 PAD DC 又 平面PDCDC 平面平面 PDCPAD 解法二 解法二 在中 PAD 2 2 PAPDAD 取得中点 连接 则ADOPOADPO 又底面是边长为的正方形 ABCD2 DCAD 又侧面 PADABCD 底面 是侧面与底面的交线ADPADABCD 平面 PAD DC 平面PADPO DCPO OPOAD PADDC平面 又 平面PDCDC F A B C P D E F A B C P D E O F A B C P D E E 7 平面平面 PDCPAD 解法三 解法三 在中 PAD 2 2 PAPDAD 222 ADPDPA PDAPRtAPD 则为 又底面是边长为的正方形 ABCD2 DCAD 又侧面 PADABCD 底面 是侧面与底面的交线ADPADABCD 平面 PAD DC 平面PADPA DCPA DDCPD PDCAP平面 又 平面PDCDC 平面平面 PADPDC 评析 评析 方法一是直接运用面面垂直的性质定理得到线面垂直 从而证明面面垂直 方法二及 方法三都是通过在其中一个平面内寻找一条直线垂直于另一个平面 利用线面垂直的判定 定理来证明 即便其中也运用了面面垂直的性质定理 但过程还是显得很繁琐 通过对比 让学生感悟其中的优劣 并留下深刻印象 在立体几何的高考复习过程中 本人感觉到首先应从解决 平行与垂直 的有关问题着手 通 过较为基本的问题去熟