22.圆 专项训练（二）

第七章第七章 圆圆 例题精选例题精选 例例 1 判断题 1 90 的圆心角所对的弧相等 2 两条弧的长度相等 则它所对的两个圆周角相等 分析分析 由定义可知 能够互相重合的弧叫等弧 仅仅是弧的长度相等的两 条弧只能叫弧长相等 不能叫等弧 1 中的弧不一定在同圆或等圆中 所以 不一定相等 故 1 错 2 错 例例 2 如图 上一点 APAOAP是的平分线 是 O 分别交 ABCDE的两边于 求证求证 分析分析 欲证弦等或弧等 只需证弦心距相等 略证略证 作于 于 OM BCMON DEN OAOMON点在的平分线上 例例 3 如图 在 O 中两弦ABCDPABCD 交于 并且 求证求证 PAPCPBPD 证明证明 作于 于 连结OM ABMON CDNOP ABCDOMON OPOPOPMOPN PMPN AMMB CNND ABCD AMMBCNND PAPC PBPD 小结小结 在比较两条弦时常要作弦心距 例例 4 如图 相点 在同一个圆上 ABCDABDC 交于点 PADBCQAP 相交于点 如果 5030 求求 的度数 Q 分析分析 在中 ADPAP 5030 ADP DCQABCD DCQADCQ CDQQCDADCQ 100 50 50 是四边形的外角 即 在中 例例 5 如图 O 中和的中点分别为 F 和 E 直线 EF 交 AC 于 P 交 AB 于 Q 求证求证 APQ为等腰三角形 分析分析 要证为等腰三角形 只要证出 APQ AQP 即可 为此将这两个角和已知条件联系起来 APQ 证明 证明 连结 AFAE AFPEACFABAEQ EAQFAP AQFEAQAEQ APEAFPFAP AQPAPQAPQ 同理 即为等腰三角形 例例 6 如图 O 为 O 直径 ABCCE的外接圆 是 CD ABD 于 求证求证 1 ACDBCE 2 延长 CD 交 O 于 F 连结 AE BF AE BF 分析分析 利用圆周角定理及其推论 是证明圆内两角相等的主要依据 分析 问题时 常常可以从同弧所对 或等弧所对 的圆周角或圆心角着手 也可以 利用直径所对的圆周角是直角来创造条件 解决问题 略证略证 1 是 CEOCAEACEE的直径 9090 CD ABDCDBBCFABC EABCACEBCFACDBCE 于 又 9090 2 例例 7 如图 圆的直径的延长线上取一AB CDCD 在弦 点EAEF 连结交圆于 求证求证 ACEFDECF 分析分析 若证等积式可转化为证比例ACEFDECF 式 再寻找相似条件AC DECF EFACF 再转化为证 DEF 需连结 DF 则得到圆内接四边形 AFDC 但可得出 EDFCAF EFD ACD ACD不是 ACF的内角 再转化证即可 ACDAFC 由于直径从而得证 证明证明 连结 得到圆内接四边形 DFAFDC EDFCAFEFDACD AFCACDEFDAFCACF DEF AC DECF EFACEFDECF 小结小结 证明等积问题 常常可以转化为证明等比式 从而可转化为证明两 个三角形相似 进一步可以转化为证明对应角相等 即在圆中有关的角相等的 问题 从而使问题得证 例例 8 如图 A 是优弧的中点 弦 AE 的延长线与 BC 的延长线交于 D 求证求证 AB2 AE AD 分析分析 欲证 AB AE AD 即证因此 AB AD AE AB 可证 所在的三角形与ABAE ABAD 所在的三角形相似 此题还可以连结中可连结设法证明BEABF ADB 点 可知 AB AC 可证明 于是 ACE ADC 推出 AC AD AE AC AC2 AEAD 故 ABAEAD 2 证法证法 1 连结BE ABCABACAEBABD是的中点 BAEDABAEB ABD AB AD AE AB ABAEAD 2 证法证法 2 连结 AC CE 四边形内接于圆 是的中点 ABCE AECABC ABC ABACABCACB 180 EACCADAEC ACD AC AD AE AC ACAEAD ABACABAEAD 2 2 小结小结 两个证法比较 显然证法 1 比证法 2 简明 其原因是它直接通过两 三角形相似证出结论 而证法 2 是通过等量代换得出结论 且证法 2 中相似三 角形的证明比证法 1 繁琐 因此证明前要认真思考 找出简捷的方法 例例 9 如图 AB 是 O 的直径 O 于CD AB 交 E D CB 交 O 于 F CFEDFB12 求证求证 12 分析分析 若证 是圆外的角 可利用圆内接 12 1 四边形的性质 把转移到圆内来 需在圆内构造与 1 相等的角 可连结于是问题转化 1BDBDE 则 1 为证 2BDE 所对的弧是由垂径定理可知 2 BDE 故 12 证明证明 连结DB AB是 BDE2 四边形内接于DBFEO 112BDE 小结小结 圆内接四边形的性质是沟通圆外角的桥梁 此题的关键是把转化 1 到圆内 用 BDEBDE代替 从而把证明的问题转化为证明的问题 122 专项训练专项训练 一 判定题 一 判定题 1 在两个同心圆中 相等的圆心角所对弧的度数相等 2 度数相等的弧是等弧 3 圆周角等于所对弧的一半 4 定点在圆上的角叫做圆周角 5 三角形都有外接圆 二 填空题 二 填空题 1 圆的一条弦与直径成 30这条 角 且把直径分成和两部分 那么15cmcm 弦的弦心距长cm 这条弦长cm 2 如图 在 O 中 若 ACB 3 如图 AB 是 O 的直径 CD 是弦 若 BDCAOC35 则 4 圆内接腰三角形的腰所对的弧是 则这个三角形的顶角是107 36 5 在圆内接四边形ABCDABCA中 若 则 234 B C D 三 选择题 三 选择题 1 如图 四边形 ABCD 内接于 O AC BD 交于 P 点 则图中相似三角形有 A 1 对B 2 对C 3 对D 4 对 2 如图 已知 AB 是 O 的直径 AC AD 是两条弦 CABDABAC 则 AD A D 不确定 3 下列命题中 真命题是 A 平分弦的直线必平分该弦所对的弧 B 垂直于弦的直线必经过圆心 C 弦心距相等 则弦长也相等 D 圆中一条弦所对的两条弧的中点连线是直径 4 如图 四边形 ABCD 内接于 O AC BD 交于 P BA CD 的延长线交于 Q 则图中相似三角形有 A 2 对B 3 对C 4 对D 5 对 5 如图 AB 是 O 的弦 C 是 AB 延长线上一点 BC 等于 O 的半径 延长 CO 交 O 于 D 是 A B AODC2 AODC3 C D AODC4 AODC5 四 计算题 四 计算题 1 ABCABACBACABACD中 以为直径作半圆交于 40交BC E 2 已知 在 O 是它的外接圆 ABCABACcmBAC中 2120 求 O 的直径 3 已知 ABCABACAACBCE中 为直径的圆交于 交 40AB于 E 五 证明题 五 证明题 1 已知 如图 O 与 O1是两个等圆 过 OO1的中点 M 的直线交 O 于 A B 交 O1于 C D 求证 AB CD 2 已知 如图在 ABCAD BCAE中 是外接圆的直径 求证 BAECAD 3 已知 为 ABCBCAB等边三角形 以为直径的半圆交 于 交于 DACE 求证 答案答案 一 一 1 2 3 4 5 二 二 1 1 4 2270353110472 24 5609012090 三 三 1 B2 B3 D4 C5 C 四 四 1 连结 2 提示 利用直径上的圆周角是直角 作直径 AE 连结 BE 也可利用圆 心角 圆周角 圆周有所对的弧之间的关系 连结 OA OB 答案 O 的直径是 4cm 3 提示 利用直径上的圆周角是直角 连结 AE 或 CD