(新人教A)高三数学教案全集之46两角和与差的正弦、余弦、正切（3）

课课 题题 4646 两角和与差的正弦 余弦 正切 两角和与差的正弦 余弦 正切 3 3 教学目的 教学目的 要求学生能根据两角和与差的正 余弦公式推导出两角和与差的正切公式 教学重点 教学重点 根据两角和与差的正 余弦公式推导出两角和与差的正切公式 教学难点 教学难点 公式 T T 及运用 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 1 两角和与差的正 余弦公式 sinsincoscos cos sinsincoscos cos cossincossin sin cossincossin sin 2 求证 cosx sinx cos x 2 4 证 左边 cosx sinx cosxcos sinxsin 2 2 2 2 2 2 4 4 cos x 右边2 4 又证 右边 cosxcos sinxsin cosx sinx 2 4 4 2 2 2 2 2 cosx sinx 左边 2 已知sin sin cos cos 求 cos 5 3 5 4 解 2 sin2 2sin sin sin2 25 9 2 cos2 2cos cos cos2 25 16 2 2 cos cos sin sin 1 即 cos 2 1 二 讲解新课 二 讲解新课 两角和与差的正切公式 T T 1tan 公式的推导 cos 0 tan sinsincoscos sincoscossin cos sin 当 cos cos 0 时 分子分母同时除以 cos cos 得 tantan1 tantan tan 以 代 得 tantan1 tantan tan 其中都不等于 RRZkk 2 2 注意 1 必须在定义域范围内使用上述公式 即 tan tan tan 只要有一个不存在就不能使用这个公式 只能 也只需 用诱导公式来解 2 注意公式的结构 尤其是符号 3 引导学生自行推导出 cot 的公式 用 cot cot 表示 cot sincoscossin sinsincoscos sin cos 当 sin sin 0 时 cot cotcot 1cotcot 同理 得 cot cotcot 1cotcot 三 讲解范例 三 讲解范例 例例 1 1 求 tan15 tan75 及 cot15 的值 解解 1 tan15 tan 45 30 32 6 3612 33 33 3 3 1 3 3 1 2 tan75 tan 45 30 32 6 3612 33 33 3 3 1 3 3 1 3 cot15 cot 45 30 32 2 324 13 31 例例 2 2 已知 tan tan 2 求 cot 并求 的值 其中 0 90 3 1 90 180 解解 cot 7 1 tantan tantan1 tan 1 tan 1 2 3 1 1 2 3 1 tantan1 tantan 且 0 90 90 180 90 270 135 例例 3 3 求下列各式的值 1 2 tan17 tan28 tan17 tan28 75tan1 75tan1 解解 1 原式 3120tan 7545tan 75tan45tan1 75tan45tan 2 28tan17tan1 28tan17tan 2817tan tan17 tan28 tan 17 28 1 tan17 tan28 1 tan17 tan28 原式 1 tan17 tan28 tan17 tan28 1 四 课堂练习四 课堂练习 已知 2 3 1 tgtg 求 tgtg 求的值 其中 18090 900 分析 观察 的结构 直接代入公式 若改求呢 T ctg 由 直接运用公式 容易求出的值 但由已知的三角 T tg 函数值求角时 所得的解不唯一的 因此 必须根据已知条件进行分析 这就要确定 的范围 计算下列各式的值 18421 1842 tgtg tgtg 75301 7530 tgtg tgtg 分析 观察探求的结构 可以逆用公式 求解 T 计算的值 751 751 tg tg 分析 因为 所以原式可以看成是145 tg 75451 7545 tgtg tgtg 五 小结五 小结 两角和与差的正切及余切公式 解题时要多观察 勤思考 善于联想 由例及 类归纳解题方法 如适当进行角的变换 灵活应用基本公式 特殊角函数的应用等是三角恒 等到变换中常用的方法和技能 六 课后作业六 课后作业 1 设是一元二次方程的两个根 求 tgtg 0 0 2 bcbxax 的值 ctg 分析 易知 联想公式 与韦达定理求解 1 tg ctg T 归纳 如果已知是一元二次方程的两个根 那么联想公式与 tgtg 0 2 cbxax T 韦达定理便于探求结论 2 已知是一元二次方程的两个根 求的值 tgtg 022 2 xx tg 七 板书设计七 板书设计 略 八 课后记 八 课后记 1 已知 tan tan 那么 tan 等于 5 2 4 4 1 4 18 3 D 22 3 C 22 13 B 18 13 A 2 在 ABC 中 已知 tanA tanB 是方程 3x2 8x 1 0 的两个根 则 tan 等于 A2 B 2 4 4 3 在 ABC 中 若 0 tanA tanB 1 则 AB 一定是 A 等边三角形 B 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 4 tan 2tan 1 tan 2tan 5 1 tan10 1 tan35 6 在 ABC 中 tanA tanB 2 则 C 3 1 7 已知 tan tan 是方程x2 5x 6 0 的两个实根 求 2sin2 3sin cos cos2 参考答案 1C 2A 3B 4ta 3 52 6 73 4 8 证明A B n n 的充要条件是 tanA tanB tan tanA tanB tan 选题意图 考查两角和与差的正切公式的应用和求角的方法 证明 先证充分性 0 tan tan 1 tantan1 tantantantantantan tan tan 1 tan tantan1 tantan tan tan 1 tan tan tan CBABA CBACBA CBA C BA BA CBA CBA CBA n Z nCBA 再证必要性 由 A B n 即 A B n 得 tan A B tan tanA tanB tan tan A B 1 tanAtanB tan tan 1 tanAtanB tan tanAtanBtan 说明 本题可考虑证明 A B n n 的充要条件是 tanA tanB tan tanA tanB tan 较为简单 9 求证 tan20 tan30 tan30 tan40 tan40 tan20 1 选题意图 考查两角和与差的正切变形公式的应