2.2.1《椭圆》知能优化训练（苏教版选修2-1）

1 命题甲 动点 P 到两定点 A B 的距离之和 PA PB 2a a 0 常数 命题乙 P 点轨迹是椭圆 则命题甲是命题乙的 条件 解析 利用椭圆定义 若 P 点轨迹是椭圆 则 PA PB 2a a 0 常数 甲是乙的必要条件 反过来 若 PA PB 2a a 0 常数 是不能推出 P 点轨迹是椭圆的 这是因为 仅当 2a AB 时 P 点 轨迹才是椭圆 而当 2a AB 时 P 点轨迹是线段 AB 当 2a AB 时 P 点无轨迹 甲不 是乙的充分条件 综上 甲是乙的必要而不充分条件 答案 必要而不充分 2 椭圆 1 m n 0 的焦点坐标是 x2 m y2 n 解析 m n n 0 a2 m b2 n 焦点在 x 轴上 c2 a2 b2 n m c 即焦点为 0 n mn m 答案 0 n m 3 若椭圆 1 上任意一点 P 到一个焦点的距离为 5 则点 P 到另一个焦点的距离 x2 25 y2 9 为 解析 由椭圆定义 PF1 PF2 2a 10 PF2 10 PF1 答案 5 4 已知 P 为椭圆 C 上一点 F1 F2为椭圆的焦点 且 F1F2 2 若 PF1 与 PF2 的等 3 差中项为 F1F2 则椭圆 C 的标准方程为 解析 由已知 2c F1F2 2 c 33 又 2a PF1 PF2 2 F1F2 4 3 a 2 b2 a2 c2 9 3 故椭圆 C 的标准方程是 1 或 1 x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 答案 1 或 1 x2 12 y2 9 x2 9 y2 12 一 填空题 1 已知 ABC 的顶点 B C 在椭圆 y2 1 上 顶点 A 是椭圆的一个焦点 且椭圆的 x2 3 另一个焦点在 BC 边上 则 ABC 的周长是 解析 如图所示 设椭圆的另一个焦点为 M 由椭圆方程 y2 1 得 a x2 33 由椭圆的定义知 BA BM 2a CA CM 2a ABC 的周长为 AB BM CA CM 4a 4 3 答案 4 3 2 已知椭圆的方程为 1 焦点在 x 轴上 则 m 的取值范围是 x2 16 y2 m2 解析 由 m2 16 且 m 0 得 4 m 4 且 m 0 答案 4 m0 是常数 又 PQ PF2 PF1 PQ 2a 即 QF1 2a 动点 Q 的轨迹是以 F1为圆心 2a 为半径的圆 答案 圆 4 椭圆 1 的焦距为 6 则 k 的值为 x2 20 y2 k 解析 由已知 2c 6 c 3 而 c2 9 20 k 9 或 k 20 9 k 11 或 k 29 答案 11 或 29 5 椭圆 1 的两个焦点为 F1 F2 点 P 在椭圆上 若线段 PF1的中点在 y 轴上 x2 12 y2 3 则 PF1 是 PF2 的 倍 解析 由已知 a 2 b c 3 F2 3 0 设 PF1的中点为 Q 则 OQ PF2 33 PF2 Ox 故可设 P 3 y0 1 9 12 y2 0 3 y y0 2 0 3 4 3 2 PF2 又 PF1 PF2 4 PF1 3 23 7 3 2 PF1 7 PF2 答案 7 6 设 P 为椭圆 1 上的任意一点 F1 F2为其上 下焦点 则 PF1 PF2 的最大 x2 4 y2 9 值是 解析 由已知 a 3 PF1 PF2 2a 6 PF1 PF2 2 9 PF1 PF2 2 当且仅当 PF1 PF2 3 时 式中取等号 故 PF1 PF2 的最大值为 9 答案 9 7 椭圆 y2 1 的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交 x2 4 一个交点为 P 则 PF2 等于 解析 由 y2 1 知 F1 F2的坐标分别为 0 和 0 即 P 点的横坐标为 x2 433 xp 其纵坐标为 yp 所以 PF1 因为 PF1 PF2 4 所以 PF2 4 PF1 3 1 2 1 2 7 2 答案 7 2 8 已知 ABC 的两个顶点为 B 4 0 C 4 0 若顶点 A 在椭圆 1 上 则 x2 25 y2 9 sinB sinC sinA 解析 由椭圆方程知 a 5 b 3 c 4 B C 恰好为椭圆的两焦点 a2 b2 AB AC 2a 10 又 BC 8 由正弦定理得 sinB sinC sinA AC AB BC 10 8 5 4 答案 5 4 二 解答题 9 已知周长为 40 的 ABC 的顶点 B C 在椭圆 1 a b 0 上 顶点 A 6 0 是椭圆 x2 a2 y2 b2 的一个焦点 且椭圆的另外一个焦点在边 BC 上 求椭圆的方程 解 由椭圆的定义 知 4a AB BC CA 40 所以 a 10 而 c 6 所以 b2 a2 c2 102 62 64 所以椭圆的方程为 1 x2 100 y2 64 10 已知圆 A x 3 2 y2 100 圆 A 内一定点 B 3 0 圆 P 过 B 点且与圆 A 内切 求 圆心 P 的轨迹方程 解 设 PB r 圆 P 与圆 A 内切 圆 A 的半径为 10 两圆的圆心距 PA 10 r 即 PA PB 10 大于 AB 点 P 的轨迹是以 A B 两点为焦点的椭圆 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 即点 P 的轨迹方程为 1 x2 25 y2 16 11 ABC 的三边 a b c 成等差数列 A C 两点的坐标分别为 1 0 1 0 求顶点 B 的轨迹方程 解 设 B 点的坐标为 x y a b c 成等差数列 a c 2b 即 BC BA 4 AC 由椭圆的定义知 点 B 的轨迹是以 A C 为焦