19.函数及图象专项训练（二）

第十三章函数及图象第十三章函数及图象 例题精选例题精选 例例 1 如果某本课外读物零售价每本 5 元钱 那么所卖出的本数 x 和应付 钱数 y 之间是否构成函数关系 为什么 一物体作匀速运动 每小时行 15 千米 那么所用时间 之间是否构成函数关系 为什么 ts与所走距离 如果某本课外读物每本定价 5 元钱 卖出以后需加包装费 1 元 问所卖 出的本数 x 和应付钱之间是否构成函数关系 为什么 如果某油箱有油 40 升 每小时耗油 2 升 开始工作以后 问油箱中的余 油量 y 与工作时间 t 之间是否构成函数关系 为什么 分析分析 判断在某一变化过程中的两个变量之间是否构成函数关系 要依据 函数概念即在一个变化过程中有两个变量都有xyxy与 如果对于 的每一个值 唯一的值与它对应 那么就说xyx是自变量 是 的函数 解解 据题意 可以列出下面的数值表 本数 x1234 x 钱数 y5101520 y 5x 显然对于都有唯一的值与它对应 它们构xy的每一个值 即每卖一本书 成函数关系而且可以用解析式来表示 yx 5 时间1234 t 距离15304560 s 15t 同样地 对于 t 的每一个值 即每行走 1 小时 s 都有唯一的值与它对应 它们构成函数关系 而且可以用解析式表示出来 st 15 本数12345 x 钱数611162126 yx 51 这个问题与 比较 虽然要加包装费 但仍然是对于的每一个值 y 都有x 唯一的值与它对应 因此同样构成函数关系 且表示为 yx 51 工作时 间 1234 t 余油量38363432 y 40 2t ytyt与 也构成函数关系 表示为 402 小结小结 分析上面 4 个函数关系 自变量的取值范围请自行分析 此处略 不 难看出它们的共同特点都是关于 x 的一次解析式 可以写成的ykxb k 0 形式 一般地 如果的一次函数 特别ykxb kkbyx 0 是常数 那么 叫做 地 当这时 bykxbykx kk 00时 一次函数就成为是常数 的正比例函数 yx叫做 例例 2 在同一直角坐标系下 作出下列函数图象yxyxyx 112233 23 2 3 及和 分析分析 为了直观地研究函数 就要作出它的图象 然后根据作ykx k 0 出的图象再去讨论它具有什么性质 对于任何一个函数 在还不了解它图象的 形状和位置的时候 要采用描点法 也就是集点成形 以决定图象的形状和所 在位置 所谓描点法即列表 描点 连线三个步骤 解解 列表 x 2 1012 y 2x 4 2024 y 3x 630 3 6 yx 2 3 4 3 2 3 0 2 3 4 3 描点 连线 小结小结 由例 2 在同一直角坐标系下画出了三 个正比例函数的图象 它们均为直线 可知正比 例函数 y kx 的图象是一条直线 又由于两点决定一条 k 0 直线 因此今后再画正比例函数的图象 就可以 不再用描点法 而只要选取两点就可以作出直线 我们把正比例函数的图象叫做直线 ykx ykx 选取两个点即 所以可归结为 正比例函数 0 01和kykx 的图象是通过点的一条直线 k 0 0 01点和k 例例 3 在同一直角坐标系内画出下列函数图象 yx yx yx 1 2 1 2 解解 列表 x01x01 yx 1 2 0 1 2 yx 0 1 x01 yx 1 2 0 1 2 小结小结 观察例 2 例 3 我们所画出的六个正比例函数图象可以发现 的图象过第 1 3 象限 而的图yx yx yx 2 2 3 1 2 yx yx yx 3 1 2 象过第 2 4 象限 同时还可以发现 函数在自变量 x 的yx yx yx 2 2 3 1 2 值逐渐增大时 却是函数值 也随着增大 而对于函数yyx yx yx 3 1 2 自变量 x 的值逐渐增大时 函数值反而减小 由此归纳出 一般地 正比例函数有下列性质 ykx 1 过第 1 3 象限 且的值增大而增大 当时 直线kykx 0yx的值随 2 过第 2 4 象限 且的值增大而减小 当时 直线kykx 0yx的值随 例例 4 在同一坐标系内画出下列函数图象 yx yxyx 1 2 1 2 3 1 2 3 解解 列表 x 2 10123 yx 1 2 1 1 2 0 1 2 1 3 2 yx 1 2 3 2 5 2 3 7 2 4 9 2 yx 1 2 3 4 7 2 3 5 2 2 3 2 小结小结 通过列表比较相应的函数值 会发现 对于自变量 3 的值都xy的每一个值 函数 1 2 x 比函数的值多 3 个单位 同理yx 1 2 的函数值都比函数的值少 3 个yx 1 2 3yx 1 2 单位 由图象就可以看出 3 三个函数的图象均为直线且互相平行 换句话yx 1 2 yx 1 2 yx 1 2 3 说 函数 3 的图象就是把函数的图象向上平移了 3 个单位而yx 1 2 yx 1 2 则向下平移了 3 个单位 由此可知 函数是常yx 1 2 3ykxb kkb 0 数 的图象也是一条直线 0 时 所以它是经过xyby 0时 当 x b k 点的一条直线 也可以说函数的图象是经过 00b b k 点和 ykxb k 0 的一条直线 因此也可以把一次函数称作直线 0 bykx且平行于 ykxb k 0 一次函数解析式与它的图象的对应关系可以简单地称解析ykxb k 0 式为 数 而把它的图象 直线称为 形 利用正比例函数是一次函数当时的特例来讨论一次函数的性质可以发b 0 现 由于它们的图象是两条互相平行的直线 所以 它们的增减变化是一致的 ykxb kykx k 00与 但一次函数 由于比正比例函数多了常量 b ykxb k 0ykx k 0 图象的位置就起了如下的变化 当函数图kbyx 004 1 2 3 时 如例 中的 象不仅经过第 1 3 象限且由于还经过第 2 象限 所以函数的图b 0ykxb 象经过第 1 2 3 象限而不经过第 4 象限 一般地 函数的图象 ykxb k 0 当图象经过第 1 2 3 象限 kb 00 当 图象经过第 1 3 4 象限 kb 00 当 图象经过第 2 3 4 象限 kb 00 当 图象经过第 1 2 4 象限 kb 00 且当值的增大而增大 当值的增大而kyx 0时 的值随kyx 0时 的值随 减小 这是从观察图象 分析 类比 归纳出来的一次函数的性质 因此研究 函数是离不开它的图象的 函数解析式是两个变量间的数量关系 而图象则是 两个变量间关系的直观形象 因此研究函数及偏重于研究它的图象 这种处理 问题的方法要学会 例例 5 已知函数的正比例ymm xmmyx mm 21 2 2 是常数 当 是什么数时 是 函数 分析分析 根据正比例函数的概念的正比例函数 所以得ykx kyx 0 称 为 mm mm mm mm 2 2 20 11 02 21 即 且 或 m1 的正比例函数当时 是 关于myxyx 13 解略 这里应特别注意 且 与 或 的区别 例例 6 已知正比例函数的图象过第 4 象限且过两点 求正比例 236 aa和 函数的解析式 解解 设正比例函数为 ykx k 0 依题意 k ak ak 0 32 6 解之得 ak 23时 ak 23时 舍 ak23 且 所求函数解析式为yx 3 例例 7 已知一次函数的图象经过点 2 3 和点 1 4 求这个一次函数 的解析式 解解 设一次函数的解析式为ykxb k 0 由已知条件得 23 4 kb kb 解之得 kb 1 3 11 3 所求一次函数的解析式为yx 1 3 11 3 例例 8 已知一次函数的图象在轴上的截距是 3 且经过点 4 1 y 1 求函数的解析式 2 求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积 分析分析 直线 此点的纵坐标是 b 所以称ykxb kyb 00与 轴的交点 轴上的截距 因此所求一次函数的解析式就可以直接设为by为直线在 ykx 3 解解 1 设一次函数解析式为 ykx 3 依题意 431k k1 所求函数解析式为yx3 2 yxx 330与 轴交于点 与y轴交于点 0 3 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S 1 2 33 9 2 例例 9 直线点在ykxbyxyx 与直线平行 且与直线相交 交5436 轴上 求此直线解析式 y 分析分析 直线来定方向 ykxbykxykxbk 与直线平行 说明直线由 两条直线平行 在数量关系上即 的值定了 函数的解析式kybkb相等 反之亦成立 由与 轴的交点来定 值 也就确定了 解解 依题意 设直线解析式为 ykxbyx 因为与直线平行54 k ykxbyxby 4 3 与相交于 轴 b yx 18 418所求直线解析式为 小结小结 例 5 例 9 均是确定函数解析式的题目 采用的是待定系数法 待 定系数法 的基本思想就是方程的思想 把具有某种确定形式的数学问题 通 过引入一些待定的系数 转化为方程或方程组来解决 题目的已知形式中有几 个待定的系数 一般就需要列出几个方程 因此解题的关键就在于根据条件构 造方程 有时需要利用函数的定义 如例 5 或由点定 b 值 由方向定 k 值 如例 9 或由函数图象过某点 则点的横纵坐标满足函数解析式构造方程 如例 7 例 8 等等 待定系数法的主要步骤 简单地说可划为 设 列 解 三大步 设 即设未知系数 列 即列方程或方程组 解 即 解方程或方程组 例例 10 已知 A B 两地相距 90 千米 某人骑自行车由 A 地去 B 地 他平均时 速为 15 千米 1 求骑车人与终点 B 之间的距离 y 千米 与出发时间 x 小时 之间 的函数关系 2 画出函数图象 分析分析 这个问题中 有两个已知量 一个是两地之间的距离 90 千米 一个 是骑车人的平均时速为 15 千米 而骑车人与终点的距离 y 千米及出发时间 x 则 都是未知量 找到它们之间等量关系即写出了 x y 之间的函数关系式 解解 1 yx与 间的函数关系式为 yx 9015 但由于是实际问题 自变量 x 的取值范围有一定 的限制 所以 x 不能取任意实数 把函数关系写完 整应为 yxx 901506 2 依此画出函数图象为 函数由于自变量取值的限yxx 901506 制 所以这个一次函数的图象不再是一条直线而是一条线段 这一点在处理实 际问题时 应特别引起注意 例例 11 已知一次函数ykxbA xByyx xy 的图象经过点 点且 111111 64 56 11 x y 1 求这个一次函数的解析式 2 在直角坐标系中画出函数的图象 3 如果的取值范围 yyx的取值范围是 求 66 解解 1 一次函数的图象经过点 和点 解得 AB kb kb kb 26 43 3 2 3 即为所求的函数解析式 yx 3 2 3 2 一次函数的图象如图所示 yx 3 2 3 当时 当时 xy xy 03 20 3 已知 66 3 2 3yyx时 6 3 2 36x 解之得这个结论从图象上也可以得到证实 26x 专项训练专项训练 一 选择题 在下面给出的四个选项中只有一个是正确的 一 选择题 在下面给出的四个选项中只有一个是正确的 1 函数ym xm mm 2 2 27是一个正比例函数时 的值是 A B mm 42或m 4 C D m 2mm 42或 2 一次函数的图象位于二 三 四象限 则下列结论中正确的是ykxb A B kb 00 kb 00 C D kb 00 kb 00 3 直线轴的交点坐标为yxx 32与 A B C D 0 2 3 2 0 2 3 0 2 3 2 4 若的图象不过abbcy a b x b c 00 则函数 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 5 已知两个一次函数yxkyxyk 326和的图象交点在 轴上 则 的值为 A 1B 2C 2D 3 二 填空题 二 填空题 1 函数的图象向平移个单位而得到 yxyx 252的图象是将 2 直线与交点坐标 ykxk 2526过点 则 x轴 3 已知一次函数图象与正比例函数图象平行 且过 0 5 点 则yx 2 3 此一次函数解析式为 4 已知函数的图象过点 yxb 2 1 3 和 则a bab 5 函数的图象过一 二 四象限 则 k0 bykxb 0 6 已知一次函数符合下列各条件 求字母的取值范围 yaxb 324a b 当取时 值的增大而增大 ayx随 当时 b时 图象与 y 轴的交点在 x 轴上方 a 当时 b时 图象过第二 三 四象限 a 函数图象与轴交点坐标分别为 xy轴 2 005 则ab 7 当时 函数值的增大而减小 k取yk xyx 23中 的值随 8 已知一次函数 4 则此函数的解析ykxbk 的图象过点且 2 3b 1 式为 9 已知当轴的交点坐标为xy xb y 2 3 4 3 时 函数的值为 则函数 与轴的交点坐标为 x 10 已知直线相交 交点在ykxbyxyx 与直线平行且与直线35 y轴上 则k b 三 解答题 三 解答题 1 已知成反比例 当yyyyxyx 121 2 2 1 其中 与成正比例 与 x 0时 y 3212 当时 试求当时相应的 值 xyxy 2 一次函数 且两图象ymxbbykx 其中与的图象交于点06 6 3 与轴围成的三角形面积为 求这两个函数解析式 x9 3 3 已知一次函数的图象都过点 A 4 3 yxbyk x 122 3 5 15 和 试求出这两个一次函数的表达式 并在同一坐 标系里画出它们的图象 求出这两个函数的图象与 x 轴围成的三角形的 面积 4 正比例函数与一次函数的图象如图所示 其 中交点坐标为 A 4 3 B 为一次函数与 y 轴交点 且 OA 2 OB 1 求正比例函数与一次函数的解析式 2 求 AOB 的面积 5 已知直线 轴分别交于lyxlxy是的图象 且 与 轴 3 2 3 如图所示 另一条直线经过其中一AB 两点l1 个交点 且与坐标轴及直线 所围成的面积是直线l 与坐标轴所围成的面积的 2 倍 求直线的解析式 ll1 答案答案 一 选择题 一 选择题 1 B2 D3 C4 B5 C 二 填空题 二 填空题 1 上 5 2 1 4