2014届高三理科数学一轮复习基础提升训练：十五第6课《不等式的证明》2（苏教版）

不等式的证明 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 1 设 a b c 为正数 且 a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 证明 法一 构造两组数 abc 1 a 1 b 1 c 因此根据柯西不等式有 2 2 2 abc 1 a 2 1 b 2 1 c 2 2 a 1 a b 1 b c 1 c 即 a b c 32 9 1 a 1 b 1 c 当且仅当 即 a b c 时取等号 a 1 a b 1 b c 1 c 又 a b c 1 所以 9 1 a 1 b 1 c 法二 a b c 均为正数 1 a b c 3 3 abc 又 3 1 a 1 b 1 c 3 1 abc 3 3 abc 1 3 3 9 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 abc 即 9 1 a 1 b 1 c 2 已知 x2 2y2 3z2 求 3x 2y z 的最小值 18 17 解 x2 2y2 3z2 32 2 2 1 3 2 2 3x 2y z 2 3x 2y 2 3z 1 3 当且仅当 x 3y 9z 时 等号成立 3x 2y z 2 12 即 2 3x 2y z 2 33 当 x y z 时 9 3 17 3 3 17 3 17 3x 2y z 2 最小值为 2 33 3 2012 常州一中期中 设正实数 a b 满足 a2 ab 1 b 2 3 求证 a b 1 2 证明 由 a2 ab 1 b 2 3 得 ab 1 a b 1 2 3 又正实数 a b 满足 a b 1 2 ab 1 即 ab 1 当且仅当 a b 时取 a b 1 2 4 a b 1 2 3 a b 1 2 a b 1 2 4 4 已知 an n N 求证 1 22 33 4n n 1 ann n n 1 n2 n n n 1 an 1 2 3 n 1 22 3n n 1 n n 1 2 n n 1 n n 1 2 an 1 2 2 2 3 2 3 4 2 n n 1 2 2 3 n 1 2 n 1 2 n n 2 2 综上得 an n n 1 2 n n 2 2 5 2013 宁波模拟 已知 x y z 均为正数 求证 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 证明 因为 x y z 均为正数 所以 x yz y zx 1 z x y y x 2 z 同理可得 y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y 当且仅当 x y z 时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 6 2011 徐州二模 已知 a b 都是正实数 且 ab 2 求证 1 2a 1 b 9 证明 法一 因为 a b 都是正实数 且 ab 2 所以 2a b 2 4 2ab 所以 1 2a 1 b 1 2a b 2ab 9 法二 因为 a b 都是正实数 所以由柯西不等式可知 1 2a 1 b 12 2 12 2 1 2 2ab2ab 又 ab 2 所以 1 2 9 所以 1 2a 1 b 9 2ab 法三 因为 ab 2 所以 1 2a 1 b 1 2a 5 2 1 2 a a 1 a 因为 a 为正实数 所以 a 2 2 1 a a 1 a 所以 1 2a 1 b 9 法四 因为 a b 都是正实数 所