上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：不等式

上海交通大学附中上海交通大学附中 20132013 届高三数学一轮复习单元训练 不等式届高三数学一轮复习单元训练 不等式 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 下列关系式中 正确的是 A cbcaba B 22 baba C 22 bcacba D ba ba 11 0 答案 D 2 不等式 2 1 x x 0 的解集是 A 2 B 1 2 C 1 D 1 2 答案 D 3 给出如下四个命题 yzxyzyx yxyaxa 22 d b c a abcddcba 0 2 0 11 bab ba 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 答案 B 4 已知变量 x y 满足条件 1 0 290 x xy xy 则 x y 的最大值是 A 2B 5C 6D 8 答案 C 5 已知 a b R 下列不等式不成立的是 A a b 2 B a2 b2 2ab ab C ab 2 D a b 2 a b 2 ab 答案 A 6 已知yx 满足条件 50 0 3 xy xy x 则yxz42 的最小值为 A 6B 6C 5D 5 答案 B 7 给出下列四个不等式 对于 10 a a a aa 1 1log1log a a aa 1 1log1log a a aa 1 1 1 a a aa 1 1 1 其中成立的是 A B C D 答案 D 8 某厂产值第二年比第一年增长 p 第三年比第二年增长 q 又这两年的平均增长率为 S 则 S 与 2 pq 的大小关系是 A 2 pq S B 2 pq S C 2 pq S D 2 pq S 答案 C 9 已知0 0 ba 以下三个结论 2 2ba ba ab 22 22 baba ba b a a b 22 其中正确的个数是 A 0B 1C 2D 3 答案 D 10 实数 a b满足01ab 则下列不等式正确的是 A ba ab B bb ab C ab ab D bb ba 答案 A 11 设 M 2a a 2 3 N a 1 a 3 a R 则有 A M NB M N C M ND M N 答案 B 12 若实数 xy 满足约束条件 0 0 1 y x yx 则 zyx 的最大值为 A 1B 0C 1 D 2 答案 A 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 在平面直角坐标系xOy中 已知点P在曲线 0 1 xxy上 点P在x轴上的射影为M 若点P在直线0 yx的下方 当 MPOM OP 2 取得最小值时 点P的坐标为 答案 62 2 62 2 x y 14 若存在实数 1 2 x 满足 2 2xax 则实数a的取值范围是 答案 8 15 函数 x xxf 2 1 1 的定义域为 答案 1 22 16 已知实数 x y 满足 2 2 03 xy xy y 则2zxy 的最大值是 答案 5 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 1 当1a 时 证明不等式 2 1 2x x eax xe 对0 x恒成立 2 对于在区间 1 0 中的任一个常数a 问是否存在正数 0 x使得 2 1 0 0 2 0 0 x x eax xe 成立 如果存在 求出符合条件的一个 0 x 否说明理由 答案 证明 1 当0 x 时 只需证 2 1 2 xx ax eex 即需证 2 2 1 1 2 xx ax exe 令 2 2 1 2 xx ax m xexe 求导数得 2 1 xx m xxeea x 令 1 x xea x 则 1 0 aaex x x 在 0 上为增函数 故 0 10 xa 从而0 xm m x在 0 上为减函数 则 0 1m xm 从而 式得证 2 解 将 2 1 0 0 2 0 0 x x eax xe 变形为01 1 2 0 0 2 0 x e xax 要找一个0 0 x 使 式成立 只需找到函数 2 1 1 2 x axx t x e 的最小值 满足0 min xt即可 对 t x求导数 1 x t xx a e 令 0t x 得 1 x e a 则axln 取axln 0 当axln0 时 0t x 当axln 时 0t x 即 t x在axln 0 时 取得最小值 2 0 ln ln1 1 2 a t xaaa 下面只需证明 2 ln ln1 0 2 a aaaa 在01a 时成立即可 又令 2 ln ln1 2 a p aaaaa 对 p a关于a求导数 则 2 1 ln 0 2 p aa 从而 p a为增函数 则 1 0p ap 从而 2 ln ln10 2 a aaaa 得证 于是 t x的最小值 ln 0ta 因此可找到一个常数 0 ln 01 xaa 使得 式成立 18 已知 26 辆货车以相同速度 v 由 A 地驶向 400 千米处的 B 地 每两辆货车间距离为 d 千米 现 已知 d 与 v 的平方成正比 且当 v 20 千米 时 时 d 1 千米 1 写出 d 与 v 的函数关系 2 若不计货车的长度 则 26 辆货车都到达 B 地最少需要多少小时 此时货车速度是多少 答案 1 设 d kv2 其中 k 为比例系数 k 0 由 v 20 d 1 得 k 400 1 d 2 400 1 v 2 每两列货车间距离为 d 千米 最后一列货车与第一列货车间距离为 25d 最后一列货 车达到 B 地的时间为 t v d v 25400 代入 d 2 400 1 v得 t 16 400v v 2 16 400 v v 10 当且仅当 v 80 千米 时等号成立 26 辆货车到达 B 地最少 用 10 小时 此时货车速度为 80 千米 时 19 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问该长 方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 答案 设长方体的宽为 x m 则长为 2x m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长方体的体积为 2 3 0 m69 35 4 2 3322 xxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 V x 0 解得 x 0 舍去 或 x 1 因此 x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 3 2 时 V x 0 故在 x 1 处 V x 取得极大值 并且这个极大值就是 V x 的最大值 从而最大体积 V V x 9 12 6 13 m3 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m 高为 1 5 m 时 体积最大 最大体积为 3 m3 20 已知 x y z均为正数 求证 111 xyz yzzxxyxyz 答案 因为 x y z 均为正数 所以 12 xyxy yzzxz yxz 同理可得 22 yzzx zxxyx xyyzy 当且仅当xyz 时 以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 111 xyz yzzxxyxyz 21 a b c R 求证 3 2 abc bccaab 答案 左端变形111 abc bccaab 111 abc bccaab 只需证此式 9 2 即可 4 分 2 3 1 1 1 111 111119 1 1 1 222 abcabc bccaCbbcaccb abc bccaab bccaab bccaab 证明 93 3 22 abc bcacab 10 分 注 柯西不等式 a b R 则2abab 推论 2 11 4 1 1 ab ab 其中a b R 2 111 9 1 1 1 abc abc 其中a b c R 22 某商场预计全年分批购入每台价值为 2 000 元的电视机共 3 600 台 每批都购入 x 台 x N 且每批均需付运费 400 元 贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机 的总价值 不含运费 成正比 比例系数为 0 k k 若每批购入 400 台 则全年需用去运 输和保管总费用 43 600 元 1 求 k 的值 2 现在全年只有 24 000 元资金用于支付这笔费用 请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够 用 写出你的结论 并说明理由 答案 1 依题意 当每批购入 x 台时 全年需用保管费 S k