构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式 或已知不等式在某个范围内恒成立求参数 取值范围 讨论一些方程解的个数等类型问题时 常常需要构造辅助函数 并 求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决 题目本身特点不同 所构造的函 数可有多种形式 解题的繁简程度也因此而不同 这里是几种常用的构造技 巧 技法一 技法一 比较法比较法 构造函数构造函数 典例 2017 广州模拟 已知函数 f x ex ax e 为自然对数的底数 a 为 常数 的图象在点 0 1 处的切线斜率为 1 1 求 a 的值及函数 f x 的极值 2 证明 当 x 0 时 x2 ex 解 1 由 f x ex ax 得 f x ex a 因为 f 0 1 a 1 所以 a 2 所以 f x ex 2x f x ex 2 令 f x 0 得 x ln 2 当 x ln 2 时 f x 0 f x 单调递减 当 x ln 2 时 f x 0 f x 单调递增 所以当 x ln 2 时 f x 取得极小值 且极小值为 f ln 2 eln 2 2ln 2 2 ln 4 f x 无极大值 2 证明 令 g x ex x2 则 g x ex 2x 由 1 得 g x f x f ln 2 0 故 g x 在 R 上单调递增 所以当 x 0 时 g x g 0 1 0 即 x2 ex 方法点拨方法点拨 在本例第 2 问中 发现 x2 ex 具有基本初等函数的基因 故可选择对要证 明的 x2 ex 构造函数 得到 g x ex x2 并利用 1 的结论求解 对点演练 已知函数 f x 直线 y g x 为函数 f x 的图象在 x x0 x0 1 处的切线 x ex 求证 f x g x 证明 函数 f x 的图象在 x x0处的切线方程为 y g x f x0 x x0 f x0 令 h x f x g x f x f x0 x x0 f x0 则 h x f x f x0 1 x ex 1 x0 e 1 x e 1 x0 ex e 设 x 1 x e 1 x0 ex 0 x 则 x e 1 x0 ex 0 x x0 1 x 0 x 在 R 上单调递减 又 x0 0 当 x x0时 x 0 当 x x0时 x 0 当 x x0时 h x 0 当 x x0时 h x 0 h x 在区间 x0 上为增函数 在区间 x0 上为减函数 h x h x0 0 f x g x 技法二 技法二 拆分法拆分法 构造函数构造函数 典例 设函数 f x aexln x 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线为 bex 1 x y e x 1 2 1 求 a b 2 证明 f x 1 解 1 f x aex x 0 ln x 1 x bex 1 x 1 x2 由于直线 y e x 1 2 的斜率为 e 图象过点 1 2 所以Error 即Error 解得Error 2 证明 由 1 知 f x exln x x 0 2ex 1 x 从而 f x 1 等价于 xln x xe x 2 e 构造函数 g x xln x 则 g x 1 ln x 所以当 x 时 g x 0 0 1 e 当 x 时 g x 0 1 e 故 g x 在上单调递减 0 1 e 在上单调递增 1 e 从而 g x 在 0 上的最小值为 g 1 e 1 e 构造函数 h x xe x 2 e 则 h x e x 1 x 所以当 x 0 1 时 h x 0 当 x 1 时 h x 0 故 h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 从而 h x 在 0 上的最大值为 h 1 1 e 综上 当 x 0 时 g x h x 即 f x 1 方法点拨方法点拨 对于第 2 问 aexln x 1 的证明 若直接构造函数 h x aexln x bex 1 x 1 求导以后不易分析 因此并不宜对其整体进行构造函数 而应先将 bex 1 x 不等式 aexln x 1 合理拆分为 xln x xe x 再分别对左右两边构 bex 1 x 2 e 造函数 进而达到证明原不等式的目的 对点演练 已知函数 f x 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 aln x x 1 b x x 2y 3 0 1 求 a b 的值 2 证明 当 x 0 且 x 1 时 f x ln x x 1 解 1 f x x 0 a x 1 x ln x x 1 2 b x2 由于直线 x 2y 3 0 的斜率为 且过点 1 1 1 2 故Error 即Error 解得Error 2 证明 由 1 知 f x x 0 ln x x 1 1 x 所以 f x ln x x 1 1 1 x2 2ln x x2 1 x 考虑函数 h x 2ln x x 0 x2 1 x 则 h x 2 x 2x2 x2 1 x2 x 1 2 x2 所以当 x 1 时 h x 0 而 h 1 0 故当 x 0 1 时 h x 0 可得h x 0 1 1 x2 当 x 1 时 h x 0 可得h x 0 1 1 x2 从而当 x 0 且 x 1 时 f x 0 ln x x 1 即 f x ln x x 1 技法三 技法三 换元法换元法 构造函数构造函数 典例 已知函数 f x ax2 xln x a R 的图象在点 1 f 1 处的切线与直 线 x 3y 0 垂直 1 求实数 a 的值 2 求证 当 n m 0 时 ln n ln m m n n m 解 1 因为 f x ax2 xln x 所以 f x 2ax ln x 1 因为切线与直线 x 3y 0 垂直 所以切线的斜率为 3 所以 f 1 3 即 2a 1 3 故 a 1 2 证明 要证 ln n ln m m n n m 即证 ln 只需证 ln 0 n m m n n m n m m n n m 令 x 构造函数 g x ln x x x 1 n m 1 x 则 g x 1 1 x 1 x2 因为 x 1 所以 g x 1 0 1 x 1 x2 故 g x 在 1 上单调递增 由已知 n m 0 得 1 n m 所以 g g 1 0 n m 即证得 ln 0 成立 所以命题得证 n m m n n m 方法点拨方法点拨 对 待证不等式 等价变形为 ln 0 后 观察可知 对 进行换 n m m n n m n m 元 变为 ln x x 0 构造函数 g x ln x x x 1 来证明不等式 可 1 x 1 x 简化证明过程中的运算 对点演练 已知函数 f x x2ln x 1 求函数 f x 的单调区间 2 证明 对任意的 t 0 存在唯一的 s 使 t f s 3 设 2 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s g t 证明 当 t e2时 有 2 5 ln g t ln t 1 2 解 1 由已知 得 f x 2xln x x x 2ln x 1 x 0 令 f x 0 得 x 1 e 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 1 e 1 e 1 e f x 0 f x 极小值 所以函数 f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 0 1 e 1 e 2 证明 当 0 x 1 时 f x 0 t 0 当 0 x 1 时不存在 t f s 令 h x f x t x 1 由 1 知 h x 在区间 1 上单调递增 h 1 t 0 h et e2tln et t t e2t 1 0 故存在唯一的 s 1 使得 t f s 成立 3 证明 因为 s g t 由 2 知 t f s 且 s 1 从而 ln g t ln t ln s ln f s ln s ln s2ln s ln s 2ln s ln ln s u 2u ln u 其中 u ln s 要使 成立 只需 0 ln u 2 5 ln g t ln t 1 2 u 2 当 t e2时 若 s g t e 则由 f s 的单调性 有 t f s f e e2 矛盾 所以 s e 即 u 1 从而 ln u 0 成立 另一方面 令 F u ln u u 1 F u u 2 1 u 1 2 令 F u 0 得 u 2 当 1 u 2 时 F u 0 当 u 2 时 F u 0 故对 u 1 F u F 2 0 因此 ln u 成立 u 2 综上 当 t e2时 有 2 5 ln g t ln t 1 2 技法四 二次技法四 二次 甚至多次甚至多次 构造函数构造函数 典例 2017 广州综合测试 已知函数 f x ex m x3 g x ln x 1 2 1 若曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线斜率为 1 求实数 m 的值 2 当 m 1 时 证明 f x g x x3 解 1 因为 f x ex m x3 所以 f x ex m 3x2 因为曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线斜率为 1 所以 f 0 em 1 解得 m 0 2 证明 因为 f x ex m x3 g x ln x 1 2 所以 f x g x x3等价于 ex m ln x 1 2 0 当 m 1 时 ex m ln x 1 2 ex 1 ln x 1 2 要证 ex m ln x 1 2 0 只需证明 ex 1 ln x 1 2 0 设 h x ex 1 ln x 1 2 则 h x ex 1 1 x 1 设 p x ex 1 则 p x ex 1 0 1 x 1 1 x 1 2 所以函数 p x h x ex 1 在 1 上单调递增 1 x 1 因为 h e 2 0 h 0 e 1 0 1 2 1 2 所以函数 h x ex 1 在 1 上有唯一零点 x0 且 1 x 1 x0 1 2 0 因为 h x0 0 所以 ex0 1 1 x0 1 即 ln x0 1 x0 1 当 x 1 x0 时 h x 0 当 x x0 时 h x 0 所以当 x x0时 h x 取得最小值 h x0 所以 h x h x0 ex0 1 ln x0 1 2 x0 1 2 0 1 x0 1 综上可知 当 m 1 时 f x g x x3 方法点拨方法点拨 本题可先进行适当放缩 m 1 时 ex m ex 1 再两次构造函数 h x p x 对点演练 2016 合肥一模 已知函数 f x ex xln x g x ex tx2 x t R 其中 e 为自然对数的底数 1 求函数 f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程 2 若 g x f x 对任意的 x 0 恒成立 求 t 的取值范围 解 1 由 f x ex xln x 知 f x e ln x 1 则 f 1 e 1 而 f 1 e 则所求切线方程为 y e e 1 x 1 即 y e 1 x 1 2 f x ex xln x g x ex tx2 x t R g x f x 对任意的 x 0 恒成立等价于 ex tx2 x ex xln x 0 对 任意的 x 0 恒成立 即 t 对任意的 x 0 恒成立 ex x ex xln x x2 令 F x ex x ex xln x x2 则 F x xex ex 2ex xln x x3 1 x2