《数列》学案4（苏教版必修5）

高中苏教数学高中苏教数学 2 1 2 2 数列 等差数列教材解读 数列 等差数列教材解读 一 数列的概念与简单表示法 数列的有关概念 1 定义 按照一定次序排列的一列数叫做数列 解读 其中的 次序 指的是要明确每一个数的序号 即要先明确哪个数是第 1 项 哪个 数是第 2 项 哪个数是第 n 项 然后将这些数按序号从小到大的次序排列起来 就 构成了数列 数列只强调有 次序 而不强调数字特点和规律 若干个不都相等的数 若 它们的排列次序不同 则构成的数列也不同 数列一般记为或简记为 12n aaa n a 与是不同的 前者表示数列 而后者仅表示这个数列的第 n 项 n a n a 12n aaa 2 数列的分类 数列按项数分为有穷数列和无穷数列 解读 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列 3 数列的本质 数列的定义符合函数的概念 因此 数列的本质是函数 是一类特殊的 函数 特殊性在于其定义域为正整数集 或它的有限子集 N 12 3k 解读 数列是函数 但函数不一定是数列 由数列的本质可得数列的图象应为一系列孤 立的点 且只分布在直角坐标系中的第一 四象限或 x 轴的正半轴上 我们可以利用函数 的思想方法来研究数列问题 2 数列的表示法 1 通项公式法 解析式法 如果数列的第 n 项与序号 n 之间的关系可用一个公式 n a 来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 解读 并非所有的数列都有通项公式 如我们随意写出的一列数就有可能没有通项公式 有 的数列的通项公式有多个 如数列的通项公式为 或1010 1 0 n n n a 是奇数 是偶数 1 1 1 2 n n a 2 递推公式法 也属于解析式法 用来反映一个数列的项与项之间关系的式子叫做数 列的递推式 解读 当已知数列的第 1 项或前几项 即递推的基础 时 递推公式才能表示一个确切的 数列 递推公式和通项公式一样 都可以用来求出数列的项 它的本质也是函数 3 难点问题 1 根据数列的前几项猜想数列的通项公式或先根据递推公式写出前几项 再猜想数列的 通项公式 解答的关键是由各项的特点 找出各项的构成规律及各项与序号的关系 若为分 数 可分别观察分子组成的数列特征与分母组成的数列特征 若为正负相间的项 则可用 1 的幂进行符号变换 2 图形中的数列问题 即把若干图形中子图形的个数用一个数列来表示 可根据图形的 变化特点 如例 1 和数字的变化特点 如例 2 来总结 例 1 一张长方形桌子可坐 6 人 按下图把桌子拼在一起 n 张桌子可坐 人 解析 本题实际上是让我们通过观察归纳出数列的通项公式 通过观察上图我们会发现 每张桌子的上 下共有 2 人 n 张桌子有 2n 人 每个图中左右始终共有 4 人 所以 n 张桌 子可坐 2n 4 人 例 2 根据下列各图中三角形的个数 推断第 n 个图中有 个三角形 解析 1 2 3 4 5 图中的三角形的个数依次为 3 6 10 15 21 这 些数和项数的关系很难归纳 但如果我们将这些数都乘以 2 它们就变成了 6 12 20 30 42 依次等于 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 规律特征就十分明显了 由此得第 n 个图有个三角形 1 2 2 nn 二 等差数列 定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差都等于同一 个常数 那么这个数列叫等差数列 解读 有一项做不到或所有的差不等于同一个常数就不是等差数列 定义式 递推式 为 d 为常数 可用来判定一个数列是否是等差数列 1nn aad n N 2 通项公式 1 1 n aand 解读 通项公式可化为 它是关于 n 的一次函数 常数列除外 一次项系 1 n adnad 数是公差 3 等差中项 若三个数组成等差数列 则叫做 a 与 b 的等差中项 aAb A 解读 等差中项 可利用等差中项的定义证明三个数成等差数列或利用 2 ab A 证明数列是等差数列 12 2 nnn aaa n a 4 主要性质 1 若 则 特别地 当时 有mnpq mnpq aaaa mnpq N 2mnp 2 mnp aaa 2 nm aanm d mn N 3 若数列是等差数列 则数列 是常数 也是等差数列 n a n ab n kab k