2014届江苏海门市包场高级中学高三数学一轮复习学案：《圆锥曲线的综合问题》

圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 二 课前热身 二 课前热身 1 2010 江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线上一点 M 点 M 的横坐1 124 22 yx 标是 3 则 M 到双曲线右焦点的距离是 2 在平面直角坐标系xOy中 双曲线的左准线为 则以 为准线的抛物线的1 3 2 2 y xll 标准方程是 3 已知椭圆 y2 1 的左 右焦点分别为F1 F2 点P为椭圆上一动点 若 F1PF2为钝 x2 4 角 则点P的横坐标的取值范围是 4 若点O和点F分别是椭圆 1 的中心和左焦点 点P为椭圆上的任意一点 x2 4 y2 3 则 的最大值为 OP FP 5 2012 盐城调研 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 1 a b 0 的左焦点为F x2 a2 y2 b2 右顶点为A 点P是椭圆上一点 l为左准线 PQ l 垂足为Q 若四边形PQFA为平行四 边形 则椭圆的离心率e的取值范围是 三 典型例题 三 典型例题 例 2013 南京金陵中学模拟 设椭圆 y2 1 的右顶点为A 过椭圆长轴所在直线上 x2 4 的一个定点M m 0 不同于A 任作一条直线与椭圆相交于P Q两点 直线AP AQ的斜率 分别记为k1 k2 1 当PQ x轴时 求 2 求证 k1 k2 AP AQ 等于定值 例 2 2012 苏锡常镇四市一模 如图 已知椭圆E 1 的上顶点为A x2 100 y2 25 直线y 4 交椭圆E于B C两点 点B在点C的左侧 点P在椭圆E上 1 若点P的坐标为 6 4 求四边形ABCP的面积 2 若四边形ABCP为梯形 求点P的坐标 3 若 m n m n为实数 求m n的最大值 BP BA BC 例 3 2013 南通模拟 已知椭圆的右焦点为 离心率为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 2 1 F 1 若 求椭圆的方程 2 设 A B 为椭圆上关于原点对称的两点 e 2 2 e 的中点为 M 的中点为 N 若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上 证明点 A 在定圆 1 AF 1 BF 上 设直线 AB 的斜率为 若 求离心率的取值范围 k3 ke 五 课堂小结 五 课堂小结 六 六 感悟反思 1 设椭圆恒过点 1 2 则椭圆的中心到准线的距离的最小值是 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 设F1 F2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 若在直线x 上存在点P使线 x2 a2 y2 b2 a2 c 段PF1的中垂线过点F2 则椭圆离心率e的取值范围是 3 已知F1 F2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 过F1作垂直于x轴的直线 x2 a2 y2 b2 交椭圆于A B两点 若 ABF2为锐角三角形 则椭圆的离心率的范围是 4 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程y 离心率e M是椭圆上的动 43 3 3 2 点 若C D的坐标分别是 0 0 则MC MD的最大值为 33 5 2010 苏锡模拟 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆 C 的左焦点为 F 右顶点为 A 动点 M 为右准线上一点 异于右准线 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 与 x 轴的交点 设线段 FM 交椭圆 C 于点 P 已知椭圆 C 的离心率为 点 M 的横坐标为 3 2 1 求椭圆 C 的标准方程 2 设直线 PA 的斜率为 直线 2 9 1 k MA 的斜率为 求的取值范围 2 k 21 kk 6 如图 已知椭圆的离心率为 且过点 1 求椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 1 0 A 的方程 2 过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M N 两点 求证 直线 MN 恒过 定点 5 3 0 P 7 2012 苏北四市二模 如图 已知椭圆C y2 1 A B是四条直线 x2 4 x 2 y 1 所围成的两个顶点 1 设P是椭圆C上任意一点 若 m n 求证 动点Q m n 在定圆上运动 并求 OP OA OB 出定圆的方程 2 设M N是椭圆C上两个动点 且直线OM ON的斜率之积等于直线OA OB的斜率之积 试探求 OMN的面积是否为定值 说明理由 答案 例 1 解 当PQ x轴时 将x m代入方程 y2 1 x2 4 得P Q m 1 m2 4 m 1 m2 4 又A 2 0 所以 AP AQ m 2 1 m2 4 m 2 1 m2 4 m 2 2 m2 4m 3 1 m2 4 5 4 2 证明 当直线PQ的斜率不存在时 因为k1 k2 1 m2 4 m 2 1 m2 4 m 2 所以k1 k2 因为M为定点 1 m2 4 m 2 2 m2 4 4 m 2 2 m 2 4 m 2 所以m为定值 所以k1 k2 为定值 m 2 4 m 2 当直线PQ的斜率存在时 设直线PQ的斜率为k 其方程为y k x m 与椭圆方程 y2 1 联立得 4k2 1 x2 8k2mx 4k2m2 4 0 x2 4 设直线PQ与椭圆的交点P Q的坐标分别为 x1 k x1 m x2 k x2 m 则x1 x2 x1 x2 8k2m 1 4k2 4k2m2 4 4k2 1 则k1 k2 k x1 m x1 2 k x2 m x2 2 k1 k2 k2 x1 m x2 m x1 m x2 m k2 x1x2 m x1 x2 m2 x1x2 m x1 x2 m2 k2 4k2m2 4 1 4k2 m 8k2m 1 4k2 m2 4k2m2 4 1 4k2 16k2m2 1 4k2 4 k2 m2 4 4k2 m 2 2 m 2 4 m 2 因为M为定点 所以m为定值 所以k1 k2 为定值 m 2 4 m 2 例 2 解 1 A 0 5 B 6 4 C 6 4 S四边形ABCP S三角形ABC S三角形ACP 12 4 5 8 6 78 1 2 1 2 2 要使四边形ABCP为梯形 当且仅当CP AB kAB 直线CP的方程为y 4 x 6 即y x 13 3 2 3 2 3 2 又 1 即x2 4y2 100 0 x2 100 y2 25 由 得 5x2 78x 288 0 即 x 6 5x 48 0 x 6 或x 48 5 点C 6 4 点P 48 5 7 5 3 6 9 12 0 x 6 y 4 m n BA BC BP BP BA BC x 6 6m 12n y 4 9m 则m n m n y 4 9 3x 2y 10 36 3x 2y 26 36 令 3x 2y t x2 4y2 100 0 x2 t 3x 2 100 0 即 10 x2 6tx t2 100 0 由 0 得 36t2 40 t2 100 0 即t2 1 000 10 t 10 1010 t的最大值为 10 此时x 3 y 1010 10 2 m n的最大值为 510 13 18 6 1 证明 易知A 2 1 B 2 1 设P x0 y0 则 y 1 由 m n 得Error 所以 m n x2 0 42 0 OP OA OB 4 m n 2 4 2 1 即m2 n2 故点Q m n 在定圆x2 y2 上 1 2 1 2 2 解 设M x1 y1 N x2 y2 则 y1y2 x1x2 1 4 平方得x x 16y y 4 x 4 x 即x x 4 2 1 2 22 1 2 22 12 22 12 2 因为直线MN的方程为 x2 x1 x y2 y1 y x1y2 x2y1 0 所以O到直线MN的距离为d