财务管理作业期权-二叉树

财务管理作业 22 1 期权的价值是股票的价格减去执行价的现值 所以 C0 80 70 1 06 13 96 美元 2 防止套利的存在 得出看涨期权的价值是 80 95 75 95 90 C 75 1 06 所以 C0 2 31 美元 23 1 期权的价值是股票的价格减去执行价的现值 所以 C0 70 45 1 05 27 14 美元 2 防止套利的存在 得出看涨期权的价值是 70 2 C0 60 1 05 所以 C0 6 43 美元 24 利用买卖期权平价求解看跌期权的价格 61 P 65e 0 026 3 12 4 12 所以 P 7 70 美元 30 看张期权的期限 Delia 是 N d1 所以 d1 87 85 0 05 0 562 2 0 75 75 0 56 0 0 3678 所 以 N d1 0 6435 所以看张期权的 Delia 是 0 64 看跌期权的 Delia 0 64 1 0 36 Delia 表示一个标的资产每变化 1 美元时 期权价格的变化量 31 用 B S 模型期权定价模型 股票价格为 160 万美元 执行价格 为 175 美元 所以 d1 0 05 0 022 2 12 12 0 20 0 098112 12 d2 0 0981 0 20 0 298112 12 进而求得 N d1 0 4609 N d2 0 3828 将这些值 代入 B S 公式 可得 C 0 4609 0 05 1 0 3828 18 美元 34 股票价格可能增长 15 也可能下降 15 所以到期时股票价格 可能为 股票价格 增长 75 1 0 15 86 25 美元 股票价格 下降 75 1 0 15 63 75 美元 两种情况下的收益都是股票的价格减去执行价格与 0 的最大值 所以 股价上升的收益 Max 86 25 70 0 16 25 美元 股票下降的收益 Max 63 75 70 0 0 美元 股价上升时风险中性的概率是 股价上升的概率 0 15 0 12 0 15 0 15 0 90 股价下降的概率 1 0 90 0 10 所以 看涨期权风险中性的价值是 看涨期权的价值 0 90 16 25 0 10 0 1 0 08 13 06 美元 35 股票价格上升或下降 期权收益将保持不变 因为股价的变化 量 是一样的 股票的价格增长后新的风险中性概率为 股票价格上升概率 0 08 0 15 0 15 0 15 0 7667 股票价格下降概率 1 0 7667 0 2333 所以看涨期权价格的风险中性价值为 看涨期权价值 0 7667 16 25 0 2333 0 1 0 15 11 54 美元 36 如果行权价格为 0 看涨期权价值等于股票价值 即 85 美元 44 1 为了用二叉树模型解决这个问题 首先需要画出一个包含 股票当前价格和期权到期时股票的可能价格的股票价格二叉树 然 后 还需要给期权画一个类似的二叉树 该二叉树指明在两种可能 的股价变动下 到期时期权的价值是多少 股票价格 110 美元执行价格的看涨期权 今天 一年后 今天 一年后 125 15 Max 0 125 110 100 80 0 Max 0 80 110 今天的股票价格是 100 美元 1 年后它可能上涨到 125 美元 也 可能下跌到 80 美元 如果股票上涨到 125 美元 看涨期权执行价格 是 110 美元 那么到期时其持有者将获得 15 美元的收益 如果股票 下降到 80 美元 期权持有者不会执行期权 到期时收益为 0 如果股票的价格上升 期间收益率为 25 如果 股票价格下降 期间收益率为 20 可用下面的表达式来确定股票价格上升时的风 险中性概率 无风险利率 股价上涨率 增长受益 股价下跌概率 下降收益 0 025 股价上涨概率 0 25 1 股价上涨概率 0 20 得 股价上涨概率 50 这就是说 股票价格下降的风险中性概率为 股价下跌概率 1 0 5 50 用风险中性概率 可以得到看涨期权在到期日的期望收益 到期日的期望收益 0 50 15 0 50 0 7 50 美元 应为这个收益在 1 年以后才发生 必须折现 由于适应风险中性概率 还可以利用无风险收益率 所以 到期日期望收益的现值 7 50 1 025 7 32 美元 所以 给定 1 年后股价波动信息 一个行权价为 110 美元 1 年后 到期的欧式看涨期权的现值是 7 32 美元 2 是的 有办法创设一种和刚才描述的看涨期权具有相同收益情 况的合成的看涨期权 为了做到这一点 需要以无风险利率借入资 金购买股票 购买股票的数量取决于期权的 Delia 值 而 Delia 又 由下面的等式决定 Delia 15 45 0 3333 因此 创设一个合成看涨期权的第一步应该购买 1 3 份股票 股票 的现价为 100 美元每股 所以购买 1 3 股票花费 33 33 美元 为了 决定借款量 需要比较看涨期权的收益和到期时 1 3 份股票的收益 看涨期权 如果股票价格上涨为 125 美元 收益 15 美元 如果股票价格下跌为 80 美元 收益 0 1 3 份股票到期时的收益 股票价格上升到 125 美元 收益 1 3 125 41 66 美元 股票价格下降到 80 美元 收益 1 3 80 26 66 美元 合成看涨期权的收益应该跟实际看涨期权收益相同 可是买入 1 3 份股票在到期时无论股票上升还是下降都获得了超过实际期权收益 26 66 美元的收益 为了使到期日的收益降低 26 66 美元 应该借 入 26 66 美元的现值 一年后支付该 26 66 美元的债务降低收益 使其与实际到期收益相同 所以为了创设跟一执行价为 110 美元一 年后到期的看涨期权一样的收益的合成期权 只需要购买 1 3 的股 票和借款 26 01 美元 3 因为购买 1 3 的股票的成本是 33 33 美元 借款是 26 01 美 元 该合成期权的成本为 合成期权的成本 33 33 26 01 7 32 美元 这也是跟实际看涨期权有相同的价格 由于合成期权和实际期权的 收益是一样的 公司对两者所愿意投入的资金也是一样的 45 1 为了用二叉树模型解决这个问题 首先需要画出一个包含 股票当前价格和期权到期时股票的可能价格的股票价格二叉树 接 下来 还要为期权画一个类似的二叉树 该二叉树指明在两种可能 的股价变动下 到期是期权的价值为多少 股票价格 执行价格为 40 美元的看跌期权价格 今天 半年后 今天 半年后 60 0 Max 0 40 60 30 15 25 Max 0 40 25 今天的股票价格是 30 美元 半年后它可能下跌为 15 美元 也可能 上涨为 60 美元 如果股票下跌为 15 美元 看跌期权将会被执行 相应的收益为 25 美元 如果股价上涨为 60 美元 看跌期权不会被 执行 收益为 0 若股票价格上升 期间收益率是 100 如果股票价格下降 期间收 益率是 50 可以用下面表达式来确定股票价格上升的风险中性概 率 无风险利率 股价上涨的概率 增长收益 股价下跌的概率 下降收 益 0 10 股价上涨的概率 1 1 股价上涨的概率 50 股价上涨的概率 40 进而求得 股价下跌的概率 1 40 60 用风险中性概率 可以得到看涨期权在到期日的期望收益为 到期日的期望收益 0 40 0 0 60 25 15 00 美元 现值为 PV 期望收益 15 00 1 21 1 2 13 64 美元 所以该欧式看涨期权今天的现价是 13 64 美元 2 是的 有办法创设一种和刚才描述的看跌期权具有相同收益情 况的合成的看跌期权 为了做到这一点 需要卖出股票并将获得资 金以无风险利率借出去 需要卖出去的股票的数量取决于期权的 Delia 值 而 Delia 值由下式决定 Delia 期权价格的变动 股价的变动 因为股票价格上升期权价为 0 股票价格下降期权价为 25 美元 所 以期权的涨落为 25 美元 因为到期时股票价格或者是 60 美元或者 是 15 美元 所以股价的涨落为 45 美元 所以有 Delia 25 45 5 9 因此 创设合成看跌期权的第一步是卖出 5 9 份股票 目前的股票 交易价格是每股 30 美元 所有通过卖出 5 9 份股票可获得 16 67 美 元 5 9 30 的收益 为了决定借出去的资金数量 需要比较实际 看跌期权的收益和 5 9 份股票到期时的收益 看跌期权的收益 股价上涨至 60 美元 收益为 0 美元 股价下跌至 15 美元 收益为 25 美元 5 9 份股票的收益 股价上涨至 60 美元 收益 5 9 60 33 33 美元 股价下跌至 15 美元 收益 5 9 15 8 33 美元 合成看跌期权的收益应该与实际看跌期权的收益相同 但是 无论 股价是上涨还是下跌 卖出 5 9 份股票都会使收益下降 33 33 美元 为了到期时的收益增加 33 33 美元 应该借出现值为 33 33 美元的 资金 6 个月后 将收到 33 33 美元 这将使得收益刚好等于实际 看跌期权的价值 因此 借出的数额为 借出的数额 33 33 1 211 2 30 30 美元 3 因为卖出股票将产生正的 16 67 美元的现金流 借出数额为 30 30 美元 合成看跌期权的总成本为 合成看跌期权的总成本 30 30 16 67 13 64 美元 这跟实际看跌期权的价格相同 由于合成期权和实际期权的收益是 一样的 公司对两者所愿意投入的资金也是一样的 46 1 公司会购买 3 个月到期 行权价格为 375 美元 盎司的看涨 期权 当黄金的价格上涨超过 375 美元 盎司时 这个看涨期权能够 弥补价格上涨给公司带来的损失 它使得公司购买黄金的最高价格 为 375 美元 盎司 2 为了用二叉树模型解决这个问题 首先需要画出一个包括标的 资产当前价格和标的资产在期权到期时的可能价值的价格二叉树 接下来 还要为期权画一个类似的二叉树 该二叉树指明在两种可 能的股价变动下 到期时期权的价值为多少 黄金价格 行权价为 375 美元的看涨期权 今天 三个月后 今天 三个月后 400 25 Max 0 400 375 350 325 0 Max 0 325 375 今天黄金价格为每盎司 350 美元 如果价格上涨到 400 美元 公 司将行使行权价为 375 美元的看涨期权 并在到期日获得 25 美元的 回报 如果黄金价格跌到 325 美元 该公司将不会行使期权 回报 为 0 如果黄金价格上升 在此期间的收益率是 14 29 400 350 1 如果黄金价格下降 在此期间的收益率是 7 14 325 350 1 使 用下边的表达是来确定黄金价格上涨的风险中性概率 无风险利率 股价上升的概率 上升的收益率 1 股价上升的概率 下降的收益率 0 04 股价上升的概率 0 1429 1 股价上升的概率 0 0714 股价上升的概率 52 下降的概率 1 52 48 用风险中性的概率 可以得到看涨期权在到期日的期望收益为 到期日的期望收益 0 52 25 0 48 0 13 美元 因为这个收益是发生在 3 个月以后 因此 必须用无风险利率对 其 进行折现 算出 PV PV 到期日的期望收益 13 1 6991 4 12 5 美元 因此知道黄金价格在未来三个月变动的情况 这份行权价为 375 美元 三个月到期的欧式看涨期权在今天价值是 12 5 美元 3 可以 有一种方法可以复制上述期权 首先 公司需要购买 黄金并在无风险的利率水平上借款 购买多少黄金取决于期权的 Delia 计算公式是 Delia 看涨期权价格的变动 黄金价格的变动 因为如果黄金价格上升 那么期权的价值将会是 25 美元 如果黄 金价格下降 期权的价值将会为 0 那么期权的涨落为 25 美元 由 于黄金的价格或者是 400 美元或是 325 美元 所以黄金价格的涨落 为 75 美元 根据以上信息计算 Delia Delia 期权价格的变动 黄金价格的变动 25 75 1 3 因此复制期权的第一步是购买 1 3 盎司的黄金 因为当前黄金价格 是 350 美元每盎司 因此公司会为此支付 116 67 美元 为了计算出 应该借多少钱 将 1 3 盎司黄金的到期收益和期权的到期收益相比 1 看涨期权的到期收益 如果黄金价格上升为 400 美元 收益 25 美元 如果黄金价格下降为 325 美元 收益 0 2 1 3 盎司黄金的到期收益 如果黄金价格上升为 400 美元 收益 1 3 400 133 33 美元 如果黄金价格下降为 325 美元 收益 1 3 325 108 33 美元 因为 这个合成看涨期权的收益要和实际看涨期权的收益相同 然而不管黄金的价格上涨还是下跌 购买 1 3 盎司黄金都会使我们 的收益高出 108 33 美元 为了将公司在到期日的收益减少 108 33 美元 应该借入现值为 108 33 美元的资金 因为三个月后 公司需 要偿还 108 33 美元 这就抵消了高出来的收益 当期需要借入的资 金量 当前需要借入的钱 108 33 1 16991 4 104 17 美元 4 因为公司为了购买黄金支付了 116 67 美元 又以无风险 利率借入了 104 17 美元 为了购买这个期权公司总共投入 12 5 美 元 这同前面计算的期权的价格是相同的 由于合成期权和实际期 权的收益是一样的 公司对两者所愿意投入的资金也是一样的 48 1 复利计算现值 pv 30000 0 05 2 27145 12 e 2 用 BS 模型计算权益价值 d1 13000 30000 0 05 0 602 2 2 0 60 ln2 0 4434 d2 0 4434 0 6 1 29192 求得 N d1 0 3287 N d2 0 0982 将结果代入 BS 模型 E 13000 0 3287 30000 0 05 2 0 0982 1608 19 e 利用买卖期权的平等式 看跌期权价格 30000 0 05 2 1608 19 13000 15753 31 e 风险债券的价值等于无风险债券的价值减去公司权益看跌期权 的价值 风险债券的价值 27145 12 15753 31 11391 81 连续复利计算债券的收益率 1139 81 30000 R 2 e 得 R 1 2 0 37973 48 42 ln 五年后到期 收益率为无风险利率的债券的价值 PV 30000 0 05 5 23364 02 e 应用 BS 模型计算权益的价值 d1 13000 30000 0 05 0 602 2 5 0 60 ln5 0 2339 d2 0 2339 0 6 1 10785 求得 N d1 0 5925 N d2 0 134 把求得的数值代入 BS 模型的 E 13000 0 5925 30000 0 05 5 0 134 4571 62 e 运用买卖期权平等式 计算看跌期权的价格为 看跌期权的价格 30000 0 05 5 4571 62 13000 14935 64 e 因此 风险债券的价值 23364 02 14935 64 8428 38 连续复利计算债券的收益率 负债的收益率 8428 38 30000 R 5e 得 R 1 5 0 28095 25 39 ln 负债价值的减少是因为货币具有时间价值 直到股东收到权益货币 的时间价值才变为零 但是 债券的必要收益率下降 在现有的情 形下 公司没有足够的资金去偿还债务 在新的计划下 公司运行 五年 期间公司资产的价值满足或者超过债务的面值的的可能性比 公司运行两年的可能性要高 49 答 1 利用连续复利计算公司 PV 6000 e 0 06 5 44444 09 2 运用 B S 模型计算股票的价值 D1 ln 57000 60000 0 06 0 502 2 0 50 50 5 0 7815 D2 0 7815 0 50 50 5 0 3366 进而求得 N D1 0 7827 N D2 0 3682 E 57000 0 7827 60000e 0 06 5 0 3682 28248 84 看跌期权的价值 60000e 0 06 5 28248 84 57000 15697 93 3 风险债券的价值 44449 09 15697 93 28751 16 28751 16 60000e R 5 解得 R 1 5 ln0 47919 14 71 4 利用连续复利计算公式 PV 60000 e 0 06 5 44449 09 美元 利用 Black Scholes 计算股票的价值 d1 ln 57000 60000 0 06 0 602 2 5 0 60 51 2 0 8562 d2 0 8562 0 60 51 2 0 4854 进而求得 N d1 0 8041 N d2 0 3137 将上述数据带人 Black Scholes E 57000 0 8041 60000 e 0 06 5 0 3137 31890 02 美元 运用期权平价计算看跌期权的价值 看跌期权的价值 60000 e 0 06 5 31890 02 57000 19339 11 美 元 风险债券的价值等于无风险债券的价值减去公司股票看跌期权的 价值 风险债券的价值 44449 09 19339 11 25109 18 美元 利用连续复利计算公式计算债券的收益率 25109 98 60000 e 0 06 5 解得 R 1 5 ln0 41853 17 42 负债的价值下降了 因为公司资产的标准上升了 债券面值的看 跌期权的价值上升 是的债券当前的价值下降 5 从 3 和 4 中债券持有人损失 25109 98 28751 16 3641 18 美元 从 3 和 4 中股票持有人获得 31890 02 28248 84 3641 18 美元 对于债券持有者来说 这是一个代理问题 以增加股东利益为目的 的管理层 会损害债权人的李毅 债权人的损失正好等于股东的所 得 50 1 因为在同时用股权和债权融资的的公司的股东可以看做持有 一份看股期权 其标的是公司的资产 行权价是公司债务的面值 期限等于公司负债的期限 所以折价公司股权的价值等于一份看股期 权 行权价为美元 期限为 1 年 为了计算期权的价值 引入二叉数模型 首先画出当前包含前公 司价值和期权到期日公司可能的价值二叉树 然后画出一个相似的 期权二叉树 确定在这两种情况下在到期日的价值 公司当前价值是 4 亿美元 由于近期引进新的项目 未来它的价值要么增长到 5 亿 美元要么减少到 3 2 亿美元 如果公司价值增长到 5 亿美元 股东 会执行期权 他们在行权日将获利 1 2 亿美元的收益 然而如果公 司价值减少到 3 2 亿元 股东不会行权 行权日他们获得的收入为 0 公司的价值 行权价为 3 8 亿美元的股东 的看涨期权的价格 单位 亿美元 单位 亿美 元 今天 一年后 今天 一年 后 5 1 2 Max 0 5 3 8 4 3 2 0 Max 0 3 2 3 8 如果项目成功 公司价值上涨 上涨幅度为 25 500 400 1 如果项目失败 公司价值下跌 下跌的幅度为 20 320 400 1 可以确定公司价值上涨的风险为中性概率 无风险利率 价值上升的概率 上升的利益 价值下跌的概率 下跌的收益 0 07 价值上升概率 0 25 1 价值上升的概率 0 02 解得 价值上升概率 60 进而求得 公司价值下跌的概率 1 60 40 利用风险中性概率 可以得到到期时权益所有者看涨期权的期望 收益 到期日的期望收益 0 60 0 40 0 美元 因为这个收益是 1 年以后的收益 因此必须对其折现 算出其现 值 PV 1 07 美元 因此 公司权益目前的价值为美元 公司当前的价值等于权益加 负债 公司的总价值减去权益的价值就可以得出负债的价值 VL 负债 权益 负债 解得 负债 美元 2 每