08. 一元二次方程专项训练（八）

第十二章第十二章 一元二次方程专项训练 八 一元二次方程专项训练 八 例题精选例题精选 例例 1 解方程组 解解 由 得 xy 3 把 代入 得 yyy 34321 22 整理得 yy 2 120 yy 12 34 把代入 得y13 x 6 把代入 得 y24 x 1 原方程组的解为 x y x y 6 3 1 4 小结小结 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组 一般可用代入消元法解 当求出一个未知数的值后 一定要代入到二元一次方 程中去求另一个未知数的值 例例 2 解方程组 解法一解法一 由 得 yx 26 将 代入 得 xxxx 22 5266 260 即1538720 2 xx 解得xx 12 4 18 5 把代入 得x14 y12 把代入 得x2 18 5 y2 6 5 原方程组的解为 x y x y 1 1 2 1 4 2 18 5 6 5 解法二解法二 由 得 xyxy xyxy 230 2030或 原方程组可化为两个二元一次方程组 26 20 26 30 xy xy xy xy 原方程组的解为 x y x y 1 1 2 1 4 2 18 5 6 5 例例 3 解方程组 解法一解法一 由 得 y x 113 2 把 代入 得 x xxx x x 2 2 4113 2 4 113 2 2 113 2 20 整理得 421270 2 xx xx 12 3 9 4 把代入 得x13 y11 把代入 得x2 9 4 y2 17 8 原方程组的解为 x y x y 1 1 2 2 3 1 9 4 17 8 解法二解法二 方程 可化为 xyxy xyxy xyxy 2220 22210 220210 2 即 于是原方程组可化为 xy xy xy xy 220 32110 210 32110 和 分别解得 x y x y 1 1 2 2 3 1 9 4 17 8 例例 4 解方程组 解析解析 此题可用代入法解 对于这个方程组 也可以根据一元二次方程的 根与系数的关系 把看作一个一元二次方程的两个根 通过解这个一元二x y 次方程来求 x y 解解 设原方程组的是一元二次方程x y zz 2 7120 的两个根 解这个方程 得 zz 34 或 所以原方程组的解是 x y x y 1 1 2 2 3 4 4 3 小结小结 1 设原方程组的的两个根 xyzz 是一元二次方程 2 7120 所设的一元二次方程的未知数 这里是这样才能避zm nx y 也可以是 应异于 免字母的混乱 2 当解出一元二次方程的解得出原方程组的解zz 12 34 后 x y 1 1 3 4 这是两个对称解 解这类题时 注意别丢掉一组解 x y 2 2 4 3 例例 5 解方程组 解析解析 先将分式方程组化为整式方程组 解解 由 得 65100 xxyy 由 得 2360 xy 解由 组成的二元二次方程组 由 得 x y 36 2 将 代入 6 36 2 36 2 5100 2 yyy y 解得yy 12 4 14 3 将代入 y14 x13 将代入 y2 14 3 x210 经检验原方程组的解为 x y 1 1 3 4 x y 2 2 10 14 3 例例 6 解方程组 解析解析 首先要将第 个方程化为有理方程 解解 由 得 xy 20 由 得 xxyxy 2 250 于是原方程组变为 xy xxyxy 20 250 2 解这个方程组 得 x y 3 5 经检验 原方程组的解为 x y 3 5 小结小结 方程组中含有分式方程或无理方程 要注意验根 例例 7 甲 乙两辆汽车在 A B 两地间相向而行 甲车比乙车每小时快 10 千米 若甲车比乙车晚出发 40 分钟 两车在两地中点处相遇 若两车同时出发 经过 3 小时两车相遇后又相距 25 2 千米 求乙车速度及两地距离 解析解析 甲车速度 乙车速度 10 甲走 AB 距离的一半所用时间比乙走 AB 距 离一半所用的时间少 40 分钟 即甲走 AB 一半所用的时间乙走 AB 一半所 2 3 用的时间 利用这一关系可列一个方程 另外根据题目中 甲 乙两车同时相向出发 3 小时 则两车相遇后又相距 25 2 千米 可得 3 甲速 乙速 AB 距离 25 2 解解 设乙车速度为 x 千米 小时 两地距离为 y 千米 依题意得 由 得 yx 648 由 得 220150 2 xxy 把 代入 得 xx 2 35360 解这个方程得xx 12 361 把代入 得x136 y12208 把代入 得x21 y212 经检验方程组的解为 x y x y 1 1 2 2 36 2208 1 12 但不合题意 舍去 x y 2 2 1 12 答答 乙的速度为 36 千米 小时 AB 两地间的距离为 220 8 千米 例例 8 解方程组 xyxy xyxy 22 22 01 2312 解析解析 在这个方程组里 因为方程 1 的右边是零 而左边又可以分解为 所以方程 1 可以化为两个一次方程 从而原方程组可以转 xyxy 1 化成两个第一种类型的二元二次方程组 解解 由 1 得 xyxy 10 所以 xyxy 010 或 因此 原方程组可以化为两个方程组 xy xyxy xy xyxy 0 231 10 231 2222 解这个两个方程组 得原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 533 4 533 4 533 4 533 4 3 2 1 2 1 2 例例 9 解方程组 xxyy xxyyxy 22 22 201 2202 解法一解法一 由 得120 xyxy xyxy020 原方程组可化为 xy xxyyxy xy xxyyxy 0 220 20 220 2222 解这两个方程组 得原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 2 1 2 4 2 2 1 解法二解法二 由 得120 xyxy xyxy xyxy xyxy xy xy xy xy xy xy xy xy 020 2210 2010 0 20 0 10 20 20 20 10 由 得 原方程组可化为 解得原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 2 1 2 4 2 2 1 以下例 10 例 13 为补充的类型 例例 10 解方程组 xxy xyy 2 2 3281 272 解析解析 这个方程组的两个方程都不含未知数的一次项 消去常数项后就可 得到形如的方程 解由这个方程与原方程组的任何一个方程axbxycy 22 0 组成的方程组 就可以求得原方程组的解 解解 1 2 4 得 xxyy xyxy xyxy 22 540 40 040 或 因此 原方程组可化为两个方程组 xy xyy xy xyy 0 27 40 27 22 解这两个方程组 得原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 7 7 7 7 4 1 4 1 例例 11 解方程组 xy xy 22 51 22 解析解析 这个方程组可以象例 10 那样消去常数项 但根据方程组的特点 也 可以把方程 1 加上方程 2 2 得到一个新方程 它的左边是一个完全平 方式 右边是常数 通过两边开平方 就可以得到两个一次方程 同样 把方 程 1 减去方程 2 2 也可以由此得到两个一次方程 这两对一次方程一 共可以组成四个二元一次方程组 解这四个二元一次方程组 就可以得到原方 程组的所有的解 解解 1 2 2 得 xy 2 9 xy xy xy 33 1221 14 2 得 由 3 4 原方程组可化为四个方程组 xy xy xy xy xy xy xy xy 3 1 3 1 3 1 3 1 解这四个方程组 得原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 1 1 2 1 2 2 1 例例 12 解方程组 xyy xyx 22 22 211 2462 解析解析 这个方程组的两个方程的二次项系数对应成比例 把方即 1 2 2 4 程 2 减去方程 1 2 就可得到一个一次方程 解由这个一次方程和原方 程组的任何一个方程组成的方程组 就可以求得原方程组的解 解解 2 1 2 得 xy 24 xy 423 把 3 代入 1 并整理 得 217150 2 yy 解这个方程 得 yy 12 1 15 2 把 yx 11 132 代入 得 把 yx 22 15 2 311 代入 得 所以原方程组的解为 x y x y 1 1 2 2 2 1 11 15 2 例例 13 解方程组 39262101 323302 22 22 xxyyxy xxyyxy 解析解析 在这个方程组的两个方程中 含 x 的项的系数对应成比例 用加减法可以得到一个只含未知数的方程 解这个方程求即 3 1 9 3 6 2 y 出 再代入原方程组的任何一个方程 就可求得 x y 解解 2 3 1 得 yy 2 680 解这个方程 得 yy 24 或 原方程组可化为两个方程组 y xxyyxy y xxyyxy 2 32330 4 32330 22 22 解这两个方程组 得原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 415 2 415 2 742 4 742 4 例例 14 方程组有一个实数解 求的值 并解方程组 xy xym 2 25 6 m 解析解析 方程组有一个实数解 就是通过消元得到的那个一元二次方程有两 个相同的实数根 解解 xy xym 2 251 62 由 得代入 整理得261yxm xxm m 2 2 62503 64250 令 解出 m 34 当时 方程 有两个相同的解 原方程组有一个实数解 m xx x y 343 3 3 16 12 例例 14 已知一元二次方程有两个不等实根 且两根互为axbxca 2 00 倒数 如果方程组有两组相同的实数解 yx yaxbxc 2 1 试用关于ab的代数式表示 2 如果求方程组的解 a 1 4 解解 1 方程两根互为倒数 axbxc 2 0 c a ac axbxc bac baba ba 1 10 140 141212 2 2 22 12 即 整理方程组得 方程组有两组相同实数解 得 2 方程有两个不等实根axbxc 2 0 ba baaaa aa baaxaxa axxyy baa aa x y x 22 1 22 2 1212 2 1 1 2 40 1212414 1 4 140 1220 011 1214 1 4 140 0 1 1 若则 把代入方程组并整理得 若则 与条件不合 舍去 方程组的解是 1 1 2 y 专项训练专项训练 一 选择题 单选题 一 选择题 单选题 1 二元二次方程组的实数解的个数是 A 最多有两组 最少有一组 B 最多有四组 最少有一组 C 最多有四组 也可能无解 D 最多有两组 也可能无解 2 解方程组的较好方法应当是先 25320 52780 2 2 xxyxy xyxxy A 消去一个未知数B 消去二次项 C 将一个方程分解因式D 消去常数项 3 解方程组的较好方法应当是 xxyy xxyy 22 22 560 7 A 消去二次项B 消去一个未知数 C 将一个方程分解因式D 消去一次项 4 解方程组的较好的方法应当是 xxy xy 2 621101 2102 A 由消去B 由 2 得到代入中 221 yyx 21 1 C 由 2 得到代入 中D 不同于以上方法x y 1 2 1 5 方程组的解是 xya xyb 22 A 有唯一一组解 B 当时 方程组无解 时 有一组解 a 0a 0 C 当 方程组无解 当 时 方程组有无穷多组a 0b 0a 0b 0 解 当 有唯一一组解 a 0 D 不同于以上答案 二 解下列方程组 二 解下列方程组 1 21 1010 22 xy xyx 2 xxyyxy xy 22 44220 32110 3 xxyy xyxy 22 2 29 320 4 xy xy 18 323 5 xy xy xy 9 2 三 解答题 三 解答题 1 关于 x y 的方程组有一个实数解 求的值 并解方程组 xy xym 2 25 6 m 2 A B 两人共同完成一