求周期方波（见图14）的傅里叶级数（复指数函数形

1 1 求周期方波 见图 1 4 的傅里叶级数 复指数函数形式 划出 cn 和 n 图 并与表 1 1 对比 图 1 4 周期方波信号波形图 0 t x t T0 2 T0 2 0 T A A T0 解答 在一个周期的表达式为 0 0 0 2 0 2 T At x t T At 积分区间取 T 2 T 2 00 000 0 0 0 22 0 2000 2 111 d d d cos 1 0 1 2 3 TT jntjntjnt T Tn cx t etAetAet TTT A jnn n 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 00 1 1 cos jntjnt n nn A x tc ejne n 0 1 2 3 n 1 cos 0 1 2 3 0 nI nR A cn nn c 22 2 1 3 1 cos 00 2 4 6 nnRnI A n A cccn n n n 1 3 5 2 arctan1 3 5 2 00 2 4 6 nI n nR n c n c n 没有偶次谐波 其频谱图如下图所示 cn n 2 2 0 03 05 0 3 05 0 2A 2A 3 2A 5 幅频图相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A 5 2A 3 2A 0 3 0 5 0 0 3 0 5 0 1 2 求正弦信号的绝对均值和均方根值 0 sinx tx t x rms x 解答 0000 2 2 0 0 000 224211 dsindsindcos T T TT x xxxx x ttx t t t t t TTTT T 2 222 00 rms0 000 111 cos2 dsindd 22 TTT xx t xx ttx t tt TTT 1 3 求指数函数的频谱 0 0 at x tAeat 解答 2 22 0 22 0 2 2 2 2 ajf t jf tatjf t eAA ajf X fx t edtAeedtA ajfajfaf 22 2 k X f af Im 2 arctanarctan Re X ff f X fa 单边指数衰减信号频谱图 f X f A a 0 f f 0 2 2 1 5 求被截断的余弦函数 见图 1 26 的傅里叶变换 0 cos t 0 cos 0 ttT x t tT 解 0 cos 2 x tw tf t w t 为矩形脉冲信号 2 sinc 2 W fTTf 00 22 0 1 cos 2 2 jf tjf t f tee 所以 00 22 11 22 jf tjf t x tw t ew t e 根据频移特性和叠加性得 00 00 11 22 sinc 2 sinc 2 X fW ffW ff TT ffTT ff 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱 一分为二 各向左右移动 f0 同时谱线高度减小一半 也说明 单一频率的简谐信号由于 截断导致频谱变得无限宽 f X f T f0 f0 被截断的余弦函数频谱 1 6 求指数衰减信号的频谱 0 sin at x te t 指数衰减信号 x t 解答 图 1 26 被截断的余弦函 数 t tT T T T x t w t 1 0 0 1 1 00 0 1 sin 2 jtjt tee j 所以 00 1 2 jtjtat x teee j 单边指数衰减信号的频谱密度函数为 1 0 0 at x teat 11 22 0 1 j tatj t aj Xfx t edteedt aja 根据频移特性和叠加性得 00 1010 2222 00 222 000 22222222 0000 11 22 2 ajaj XXX jj aa aa j aaaa 0 0 X 指数衰减信号的频谱图 1 7 设有一时间函数 f t 及其频谱如图 1 27 所示 现乘以余弦型振荡 在这个关系中 函数 f t 叫做调制信号 余弦振荡叫做载波 00 cos m t 0 cos t 试求调幅信号的傅里叶变换 示意画出调幅信号及其频谱 又问 若 0 cosf t t 时将会出现什么情况 0m 图 1 27 题 1 7 图 F 0 f t 0t m m 解 0 cos x tf tt Ff t F 00 0 1 cos 2 jtjt tee 所以 00 11 22 jtjt x tf t ef t e 根据频移特性和