江苏省南京市、盐城市2013届高三数学一模试题(含解析)苏教版

1 20132013 年江苏省南京市 盐城市高考数学一模试卷年江苏省南京市 盐城市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 计分 计 7070 分分 不需写出解答过程 请把答案写在不需写出解答过程 请把答案写在 答题纸的指定位置上答题纸的指定位置上 1 5 分 2013 盐城一模 已知集合 U 1 0 1 2 A 1 1 则 UA 0 2 考点 补集及其运算 专题 计算题 分析 直接利用补集的概念进行运算 解答 解 由 U 1 0 1 2 A 1 1 所以 UA 0 2 故答案为 0 2 点评 本题考查了补集的概念及运算 是基础的会考题型 2 5 分 2013 盐城一模 复数 1 2i 2的共轭复数是 3 4i 考点 复数代数形式的混合运算 复数的基本概念 专题 计算题 分析 先利用两个复数代数形式的乘法法则求得 z 再根据共轭复数的定义求得它的共轭复 数 解答 解 复数 1 2i 2 1 4i 4i2 3 4i 故复数 1 2i 2的共轭复数是 3 4i 故答案为 3 4i 点评 本题主要考查复数的基本概念 两个复数代数形式的乘法 虚数单位 i 的幂运算性 质 属于基础题 3 5 分 2013 盐城一模 已知某人连续 5 次投掷飞镖的环数分别是 8 9 10 10 8 则该组数据的方差 s2 0 8 考点 极差 方差与标准差 专题 计算题 分析 先计算数据的平均数 然后利用方差公式直接计算即可 2 解答 解 8 9 10 10 8 的平均分为 9 该组数据的方差 s2 8 9 2 9 9 2 10 9 2 10 9 2 8 9 2 0 8 故答案为 0 8 点评 本题主要考查了方差公式 解题的关键是正确运用方差公式 同时考查了计算能力 属于基础题 4 5 分 2013 盐城一模 袋中装有 2 个红球 2 个白球 除颜色外其余均相同 现从中 任意摸出 2 个小球 则摸出的两球颜色不同的概率为 考点 排列 组合及简单计数问题 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数 让两个球颜色不相同的 情况数除以总情况数即为所求的概率 解答 解 从袋中任意地同时摸出两个球共种情况 其中有 CC种情况是两个球颜 色不相同 故其概率是 故答案为 点评 此题考查概率的求法 如果一个事件有 n 种可能 而且这些事件的可能性相同 其 中事件 A 出现 m 种结果 那么事件 A 的概率 P A 5 5 分 2013 盐城一模 在等差数列 an 中 若 a3 a5 a7 9 则其前 9 项和 S9的值为 27 考点 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 由条件可得 3a5 9 由此可得 a5 的值 再根据前 9 项和 S9 9a5 求得 结果 解答 解 在等差数列 an 中 若 a3 a5 a7 9 故有 3a5 9 a5 3 3 则其前 9 项和 S9 9a5 27 故答案为 27 点评 本题主要考查等差数列的定义和性质 等差数列的前 n 项和公式的应用 属于中档 题 6 5 分 2013 盐城一模 设 x y 满足约束条件 则目标函数 z 2x 3y 的最大值为 26 考点 简单线性规划 专题 计算题 不等式的解法及应用 分析 作出题中不等式组表示的平面区域 得如图的 ABC 及其内部 再将目标函数 z 2x 3y 对应的直线进行平移 可得当 x 4 y 6 时 z 2x 3y 取得最大值 26 解答 解 作出不等式组表示的平面区域 得到如图的 ABC 及其内部 其中 A 2 0 B 4 6 C 0 2 O 为坐标原点 设 z F x y 2x 3y 将直线 l z 2x 3y 进行平移 当 l 经过点 B 时 目标函数 z 达到最大值 z最大值 F 4 6 26 故答案为 26 点评 本题给出二元一次不等式组 求目标函数 z 2x 3y 的最大值 着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识 属于基础题 7 5 分 2013 盐城一模 如图所示是一算法的伪代码 执行此算法时 输出的结果是 3 4 考点 伪代码 专题 计算题 概率与统计 分析 由程序中的变量 各语句的作用 结合流程图所给的顺序 可知当 s 15 时 用 s n 的值代替 s 得到新的 s 值 并且用 n 1 代替 n 值得到新的 n 值 直到条件不能满足 时结束循环体并输出最后的值 由此即可得到本题答案 解答 解 根据题中的程序框图 可得 该程序经过第一次循环 因为 s 0 15 所以得到新的 S 0 6 6 n 5 然后经过第二次循环 因为 s 6 15 所以得到新的 S 6 5 11 n 4 然后经过第三次循环 因为 s 11 15 所以得到新的 S 11 4 15 n 3 接下来判断 因为 s 15 不满足 s 15 所以结束循环体并输出最后的 n 综上所述 可得最后输出的结果是 3 故答案为 3 点评 本题给出程序框图 求最后输出的 n 值 属于基础题 解题的关键是先根据已知条 件判断程序的功能 构造出相应的数学模型再求解 从而使问题得以解决 8 5 分 2013 盐城一模 将函数 y sin 2x 的图象向左平移 0 个单位 后 所得到的图象对应的函数为奇函数 则 的最小值为 考点 函数 y Asin x 的图象变换 正弦函数的奇偶性 专题 三角函数的图像与性质 分析 根据函数 y Asin x 的图象变换规律 变换后所得函数的解析式为 y sin 2x 2 再由它是奇函数 可得 2 k k z 由此求得 的最小值 解答 解 将函数 y sin 2x 的图象向左平移 0 个单位后 5 所得到的图象对应的函数解析式为 y sin 2 x sin 2x 2 再由 y sin 2x 2 为奇函数 可得 2 k k z 则 的最小值为 故答案为 点评 本题主要考查函数 y Asin x 的图象变换规律 正弦函数的奇偶性 属于中 档题 9 5 分 2013 盐城一模 现有如下命题 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 如果两个平行平面和第三个平面相交 那么所得的两条交线平行 如果两个平面相互垂直 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第 一个平面内 则所有真命题的序号是 考点 命题的真假判断与应用 专题 证明题 分析 过平面外一点可作唯一一条直线与该平面垂直 过平面外一点有无数条直线与 该平面平行 由平面与平面平行的性质定理可得 由平面与平面垂直的性质定 理可得 解答 解 过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直 正确 过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 错误 应该是有无数条直线与该 平面平行 如果两个平行平面和第三个平面相交 那么所得的两条交线平行 正确 由平面 与平面平行的性质定理可得 如果两个平面相互垂直 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线 必在第一个平面内 正确 由平面与平面垂直的性质定理可得 故答案为 点评 本题考查命题真假的判断 涉及空间中的线面的位置关系 属基础题 10 5 分 2013 盐城一模 在 ABC 中 若 9cos2A 4cos2B 5 则的值为 考点 余弦定理 专题 解三角形 6 分析 由条件 9cos2A 4cos2B 5 利用二倍角公式求得 再由正弦定理可得 从而得到答案 解答 解 在 ABC 中 9cos2A 4cos2B 5 9 1 2sin2A 4 1 2sin2B 5 化简可得 9sin2A 4sin2B 故有 由正弦定理可得 故答案为 点评 本题主要考查二倍角公式 正弦定理的应用 属于中档题 11 5 分 2013 盐城一模 如图 在等腰三角形 ABC 中 底边 BC 2 若 则 0 考点 平面向量数量积的运算 专题 平面向量及应用 分析 在等腰三角形 ABC 中 底边 BC 2 因此可取 BC 的中点 O 作为坐标原点距离平面直角 坐标系 利用向量的坐标运算解决共线与数量积即可得出答案 解答 解 在等腰三角形 ABC 中 底边 BC 2 可取 BC 的中点 O 作为坐标原点距离平面 直角坐标系 则 B 1 0 C 1 0 设 A 0 a a 0 D 1 a 解得 7 0 故答案为 0 点评 熟练掌握通过建立平面直角坐标系 利用向量的坐标运算解决共线和数量积是解题 的关键 12 5 分 2013 盐城一模 已知 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 点 P 是椭 圆上的任意一点 则的取值范围是 考点 椭圆的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 利用椭圆的性质 当 PF2 a c 时 即 取得最大值 即可得出 解答 解 椭圆 a b 2 c 设 k 则当 PF1 PF2 时 k 取得最小值 0 当 PF2 a c 时 即 8 时 k 取得最大值 k 的取值范围是 故答案为 点评 熟练掌握椭圆的性质 当 PF2 a c 时 则 取得最大值是解题的关键 13 5 分 2013 盐城一模 已知向量 a sin x cos x b cos x cos x 0 函数的图象的两相邻对称轴间的距离 为 1 求 值 2 若时 求 cos4x 的值 3 若 x 0 且 f x m 有且仅有一个实根 求实数 m 的值 考 点 三角函数的周期性及其求法 平面向量数量积的运算 两角和与差的余弦函数 两角 和与差的正弦函数 专 题 计算题 分 析 1 先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理 然后利用两相邻对称轴 间的距离求得函数的周期 进而根据周期公式求得 2 根据 1 中整理函数解析式 依据和同角三角函数的基本关系求 得 cos 4x 的值 进而根据利用两角和公式求得 答案 3 根据和余弦函数的单调性求得 x 的范围 令 g x m 则可作出 f x 和 g x 的图象 利用数形结合的方法求得 m 的值 解 答 解 由题意 9 1 两相邻对称轴间的距离为 2 2 由 1 得 3 且余弦函数在 0 上是减函数 令 g x m 在同一直角坐标系中作出两个函 数的图象 可知 m 1 或 m 点 评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法 两角和公式的化简求值 正弦函数和余 弦函数的单调性 考查了三角函数基础知识的综合运用 14 5 分 2013 盐城一模 已知函数 f x 若关 于 x 的方程 f x kx k 0 有且仅有四个根 其最大根为 t 则函数 g t 6t 7 的值域为 1 考点 根的存在性及根的个数判断 函数的值域 专题 函数的性质及应用 分析 同一坐标系内作出函数 y f x 的图象和直线 y kx 因为两图象有且仅有四个公共 点 得出最大根 t 的取值范围 再利用二次函数的性质 即可得到函数 g t 10 6t 7 的值域 解答 解 作出函数 f x 当 0 x 4 时的图象 如右图中红色的三个半圆 将直线 y kx 围绕坐标原点进行旋转 可得当直线介于与第二个半圆相切和与第三个 半圆相切之间时 两图象有且仅有四个不同的公共点 此时 其最大根 t 则函数 g t 6t 7 t 的值域为 1 故答案为 1 点评 本题以分段函数为例 求方程的最大根 并且用这个根来求值域 着重考查了函数 与方程的关系 以及数形结合思想 属于中档题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 计小题 计 9090 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 请把答案写在答题纸的指定区域内骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 14 分 2013 盐城一模 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC D 为棱 CC1上任一 点 1 求证 直线 A1B1 平面 ABD 2 求证 平面 ABD 平面 BCC1B1 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 11 专题 空间位置关系与距离 分析 1 根据直棱柱的性质判定线线平行 再由线线平行证线面平行即可 2 先由线线垂直证线面垂直 再由线面垂直证明面面垂直即可 解答 证明 1 由直三棱柱 ABC A1B1C1 得 A1B1 AB 又 EF 平面 ABD AB 平面 ABD EF 平面 ABD 2 三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 AB BB1 AB BC AB 平面 BCC1B1 又 AB 平面 ABD 平面 ABD 平面 BCC1B1 点评 本题考查面面垂直及线面平行的判定 16 14 分 2013 盐城一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 cos A sinA 求 A 的值 2 若 cosA 4b c 求 sinB 的值 考点 余弦定理 三角函数中的恒等变换应用 专题 解三角形 分析 1 在 ABC 中 由 cos A sinA 求得 tanA 从而得到 A 的值 2 若 cosA 4b c 由余弦定理可得 a b 利用同角三角函数的基本关系 求得 sinA 的值 再由正弦定理求得 sinB 的值 解答 解 1 在 ABC 中 若 cos A sinA 则有 cosAcos sinAsin sinA 化简可得cosA sinA 显然 cosA 0 故 tanA 所以 A 12 2 若 cosA 4b c 由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bc cosA 解得 a b 由于 sinA 再由正弦定理可得 解得 sinB 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数的基本关系 正弦定 理和余弦定理的应用 属于中档题 17 14 分 2013 盐城一模 近年来 某企业每年消耗电费约 24 万元 为了节能减排 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网 安装这种供电设备的工本费 单位 万元 与太阳能电池板的面积 单位 平方米 成正比 比例系数约为 0 5 为 了保证正常用电 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式 假设在此模式下 安装后该 企业每年消耗的电费 C 单位 万元 与安装的这种太阳能电池板的面积 x 单位 平方米 之间的函数关系是 C x x 0 k 为常数 记 F 为该村安装这种太阳能供电 设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和 1 试解释 C 0 的实际意义 并建立 F 关于 x 的函数关系式 2 当 x 为多少平方米时 F 取得最小值 最小值是多少万元 考点 函数最值的应用 专题 应用题 函数的性质及应用 分析 1 C 0 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用 依题意 C 0 24 可求得 k 从而得到 F 关于 x 的函数关系式 2 利用基本不等式即可求得 F 取得的最小值及 F 取得最小值时 x 的值 解答 解 1 C 0 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 2 分 由 C 0 24 得 k 2400 3 分 所以 F 15 0 5x 0 5x x 0 7 分 2 因为 0 5 x 5 2 5 2 2 5 57 5 10 分 当且仅当 0 5 x 5 即 x 55 时取等号 13 分 所以当 x 为 55 平方米时 F 取得最小值为 57 5 万元 14 分 点评 本题考查函数最值的应用 着重考查分析与理解能力 考查基本不等式的应用 属 于难题 13 18 16 分 2013 盐城一模 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 1 a b 0 经过点 M 3 椭圆的离心率 e F1 F2分别是椭 圆的左 右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A B 若直线 MA 过坐标原点 O 试求 MAF2外接圆的方程 若 AMB 的平分线与 y 轴平行 试探究直线 AB 的斜率是否为定值 若是 请给予证明 若不是 请说明理由 考点 直线与圆锥曲线的关系 直线的斜率 椭圆的标准方程 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 利用椭圆的离心率化简方程 根据椭圆过点 M 3 即可求椭圆 C 的 方程 2 求得 MA 的中垂线方程 MF2的中垂线方程 从而可得圆心与半径 即可求 MAF2外接圆的方程 直线与椭圆方程联立 利用韦达定理 结合斜率公式 即可得到结论 解答 解 1 由椭圆的离心率 e 可得 a2 9b2 故椭圆方程为 3 分 又椭圆过点 M 3 则 解得 b2 4 所以椭圆的方程为 5 分 2 记 MAF2的外接圆的圆心为 T 因为 所以 MA 的中垂线方程为 y 3x 又由 M 3 F2 0 得 MF1的中点为 而 1 所以 MF2的中垂线方程为 14 由 得 T 8 分 所以圆 T 的半径为 故 MAF2的外接圆的方程为 10 分 3 设直线 MA 的斜率为 k A x1 y1 B x2 y2 x2 x1 由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反数 直线 MB 的斜率为 k 联立直线 MA 与椭圆方程 可得 9k2 1 x2 x 162k2 108k 18 0 x1 x2 13 分 又 为定值 16 分 点评 本题考查椭圆的标准方程 考查三角形的外接圆 考查直线与椭圆的位置关系 考 查学生的计算能力 属于中档题 19 16 分 2013 盐城一模 对于定义在区间 D 上的函数 f x 若任给 x0 D 均有 f x0 D 则称函数 f x 在区间 D 上封闭 1 试判断 f x x 1 在区间 2 1 上是否封闭 并说明理由 1 若函数 g x 在区间 3 10 上封闭 求实数 a 的取值范围 1 若函数 h x x3 3x 在区间 a b a b Z 上封闭 求 a b 的值 考点 函数恒成立问题 专题 新定义 分析 1 由函数 f x x 1 在区间 2 1 上是增函数求出在 2 1 上的值域 不 15 满足在区间上封闭的概念 2 把给出的函数 g x 变形为 3 分 a 3 a 3 a 3 三种情况进 行讨论 利用函数在区间 3 10 上封闭列式求出 a 的取值范围 3 求出函数 h x x3 3x 的导函数 得到三个不同的单调区间 然后对 a b 的取值分类进行求解 解答 解 1 f x x 1 在区间 2 1 上单调递增 所以 f x 的值域为 3 0 而 3 0 2 1 所以 f x 在区间 2 1 上不是封闭的 2 因为 g x 3 当 a 3 时 函数 g x 的值域为 3 3 10 适合题意 当 a 3 时 函数 g x 3 在区间 3 10 上单调递减 故它的值域为 由 3 10 得 解得 3 a 31 故 3 a 31 当 a 3 时 在区间 3 10 上有 显然不合题意 综上所述 实数 a 的取值范围是 3 a 31 3 因为 h x x3 3x 所以 h x 3x2 3 3 x 1 x 1 当 x 1 时 h x 0 当 x 1 1 时 h x 0 所以 h x 在 1 上单调递增 在 1 1 上递减 在 1 上递 增 当 a b 1 时 h x 在区间 a b 上递增 所以 即 解得 2 a 0 或 a 2 b 2 或 0 b 2 又 a b 1 此 时无解 当 a 1 且 1 b 1 时 因 h x max h 1 2 b 矛盾 不合题意 当 a 1 且 b 1 时 因为 h 1 2 h 1 2 都在函数的值域内 故 a 2 b 2 又 得 解得 2 a 0 或 a 2 b 2 或 0 b 2 从而 a 2 b 2 当 1 a b 1 时 h x 在区间 a b 上递减 即 16 而 a b Z 经检验 满足 1 a b 1 的整数组 a b 均不合 式 当 1 a 1 且 b 1 时 因 h x min h 1 2 a 矛盾 不合题意 当 b a 1 时 h x 在区间 a b 上递增 所以 即 解得 2 a 0 或 a 2 b 2 或 0 b 2 又 b a 1 此时 无解 综上所述 所求整数 a b 的值为 a 2 b 2 点评 本题是新定义题 考查了利用导数求闭区间上的最值 考查了分类讨论得数学思想 方法 解答此题的关键是正确分类 因该题需要较细致的分类 对学生来说是有一 定难度的题目 20 16 分 2013 盐城一模 若数列 an 是首项为 6 12t 公差为 6 的等差数列 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 3n t 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 若数列 bn 是等比数列 试证明 对于任意的 n n N n 1 均存在正整数 Cn 使得 bn 1 a 并求数列 cn 的前 n 项和 Tn 3 设数列 dn 满足 dn an bn 且 dn 中不存在这样的项 dt 使得 dk dk 1与 dk dk 1 同时成立 其中 k 2 k N 试求实数 t 的取值范围 考点 等差数列与等比数列的综合 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 1 根据等差数列的通项公式 可得 an 6n 12t 再由数列前 n 项和与第 n 项的关 系 即可算出 bn 的通项公式 2 由 bn 是等比数列 结合 1 的通项公式可得 bn 2 3n 1 算出出 t 1 从而得 到 an 6n 12t 通过变形整理 得到 bn 1 6 3n 1 2 12 从而得到存在 cn 3n 1 2 N 使 bn 1成立 由等比数列求和公式即可算出 cn 的前 n 项和 Tn 3 根据 1 的结论 得 由此进行作 差 得 dn 1 dn 8 n 2t 3n n 2 因此 分 t 2和 m m N 且 m 3 三种情况加以讨论 分别根据数列 dn 的单调性解 17 关于 t 的不等式 最后综合即可得到实数 t 的取值范围 解答 解 1 an 是首项为 6 12t 公差为 6 的等差数列 an 6 12t n 1 6 6n 12t 2 分 而数列 bn 的前 n 项和为 Sn 3n t 所以 当 n 2 时 bn 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 又 b1 S1 3 t 4 分 2 数列 bn 是等比数列 b1 3 t 2 31 1 2 解之得 t 1 因此 bn 2 3n 1 且 an 6n 12 5 分 对任意的 n n N n 1 由于 bn 1 2 3n 6 3n 1 6 3n 1 2 12 令 cn 3n 1 2 N 则 6 3n 1 2 12 bn 1 所以命题成立 7 分 数列数列 cn 的前 n 项和为 Tn 2n 3n 2n 9 分 3 根据 1 的结论 得 由于当 n 2 时 dn 1 dn 4 n 1 2t 3n 1 4 n 2t 3n 8 n 2t 3n 因此 可得 若 2t 2 即 t 时 则 dn 1 dn 0 可得 dn 1 dn 当 n 2 时 dn 是递增数列 结合题意得 d1 d2 即 6 3 t 1 2t 36 2 2t 解之得 t 13 分 若 2 即 则当 n 3 时 dn 是递增数列 结合题意得 d2 d3 4 2t 2 32 4 2t 3 33 解之得 t 14 分 若 m m N 且 m 3 即 t m N 且 m 3 则当 2 n m 时 dn 是递减数列 当 n m 1 时 dn 是递增数列 结合题意 得 dm dm 1 即 4 2t m 3m 4 2t m 1 3m 1 解之得 t 15 分 综上所述 t 的取值范围是 t 或 t m N 且 m 2 16 分 点评 本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列 求它们的通项公式并找出由它们的 18 公共项构成的新数列规律 并依此求新数列的前 n 项和 着重考查了等差数列 等 比数列的通项公式 等差数列 等比数列的前 n 项和公式 考查了分类讨论的数学 思想和数列中的猜想 类比与递推的思想 对数学的综合能力要求较高 属于难 题 三 三 选做题选做题 在在 2121 2222 2323 2424 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题题 每小题每小题 1010 分分 计计 2020 分分 请把答案请把答案 写在答题纸的指定区域内写在答题纸的指定区域内 21 10 分 2013 盐城一模 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 圆 O 的直径 AB 8 C 为圆周上一点 BC 4 过 C 作圆的切线 l 过 A 作直线 l 的垂 线 AD D 为垂足 AD 与圆 O 交于点 E 求线段 AE 的长 考点 与圆有关的比例线段 专题 直线与圆 分析 连接 OC BE AC 由圆的直径所对圆周角为直角的性质可得 BE AE 由 BC 4 OB OC 可得 OBC 为正三角形 因此 ABC 60 可得 COB 60 又直线 l 切 O 于 C 利用切线的性质可得 OC l 于是 OC AD 可得 EAB COB 60 在 Rt BAE 中 由 EBA 30 即可得出 AE 解答 解 连接 OC BE AC 则 BE AE BC 4 OB OC BC 4 即 OBC 为正三角形 CBO COB 60 又直线 l 切 O 与 C OC l AD l AD OC EAB COB 60 在 Rt BAE 中 EBA 30 点评 熟练掌握圆的性质 切线的性质 等边三角形的判定 含 30 角的直角三角形的性 质是解题的关键 22 10 分 2013 盐城一模 B 选修 4 2 矩阵与变换 19 已知矩阵 M的一个特征值为 3 求 M 的另一个特征值及其对应的一个特征向 量 考点 特征值与特征向量的计算 二阶矩阵 矩阵特征值的定义 特征向量的定义 专题 计算题 分析 根据特征多项式的一个零点为 3 可得 x 1 再回代到方程 f 0 即可解出另一 个特征值为 2 1 最后利用求特征向量的一般步骤 可求出其对应的一个特征向 量 解答 解 矩阵 M 的特征多项式为 f 1 x 4 1 3 方程 f 0 的一根 3 1 3 x 4 0 可得 x 1 M 方程 f 0 即 1 1 4 0 2 2 3 0 可得另一个特征值为 2 1 设 2 1 对应的一个特征向量为 则由 2 M 得 得 x y 可令 x 1 则 y 1 所以矩阵 M 的另一个特征值为 1 对应的一个特征向量为 点评 本题给出含有字母参数的矩阵 在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应 的特征向量 考查了特征值与特征向量的计算的知识 属于基础题 23 2013 盐城一模 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 A 为曲线 2 2 cos 3 0 上的动点 B 为直线 cos sin 7 0 上的动点 求 AB 的最小值 考点 简单曲线的极坐标方程 专题 计算题 分析 化极坐标方程为直角坐标方程 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距 离 则圆上的动点 A 到直线上的动点 B 的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半 径 解答 解 由 2 2 cos 3 0 得 x2 y2 2x 3 0 即 x 1 2 y2 4 所以曲线是以 1 0 为圆心 以 2 为半径的圆 再由 cos sin 7 0 得 x y 7 0 20 所以圆心到直线的距离为 d 则圆上的动点 A 到直线上的动点 B 的最小距离为 点评 本题考查了简单曲线的极坐标方程 考查了极坐标与直角坐标的互化 训练了点到 直线的距离公式 是基础题 24 2013 盐城一模 D 选修 4 5 不等式选讲 设 a1 a2 an 都是正数 且 a1 a2 an 1 求证 1 a1 1 a2 1 an 2n 考点 不等式的证明 专题 计算题 证明题 不等式的解法及应用 分析 根据基本不等式 得 1 a1 2 1 a2 2 1 an 2 再由不等式的 各项都大于 0 将此 n 个不等式左右两边对应相乘 结合 a1 a2 an 1 即可证出要证 明的不等式成立 解答 解 a1 0 根据基本不等式 得 1 a1 2 同理可得 1 a2 2 1 a3 2 1 an 2 注意到所有的不等式的两边都是正数 将这 n 个不等式的左右两边对应相乘 得 1 a1 1 a2 1 a3 1 an 2n a1 a2 an 1 1 a1 1 a2 1 a3 1 an 2n 1 2n 即原不等式成立 点评 本题给出 n 个正数 a1 a2 an 求证关于 a1 a2