江苏省苏州市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

第 1 页 共 20 页 2016 2017 学年江苏省苏州市高一 上 期末数学试卷学年江苏省苏州市高一 上 期末数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 分 1 已知集合 A 1 0 1 B 0 1 2 则 A B 2 已知 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x x 1 则 f 1 3 若 tan 3 则 tan 等于 4 已知 A 3 4 B 5 2 则 5 函数 y e2x 1 的零点是 6 把函数 y sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 纵坐标不变 再 将图象上所有点向右平移个单位 所得函数图象所对应的解析式为 7 若函数 f x 则 f log23 8 函数的单调递增区间为 9 设是两个不共线向量 若 A B D 三点共线 则实数 P 的值是 10 若 则 sin2 的值为 11 f x x2 若对任意的 x t t 2 不等式 f x t 2f x 恒成立 则 实数 t 的取值范围是 12 如图 O 是坐标原点 M N 是单位圆上的两点 且分别在第一和第三象 限 则的范围为 第 2 页 共 20 页 13 如图 将矩形纸片的右下角折起 使得该角的顶点落在矩形的左边上 若 则折痕 l 的长度 cm 14 函数是奇函数 且 f 2 f x f 2 则 a 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分 分 15 已知 1 2 3 1 求 设的夹角为 求 cos 的值 若向量与互相垂直 求 k 的值 16 已知 I 求 tan2 的值 II 求 的值 17 已知函数 f x 满足 f x 1 lg 2 x lg x 1 求函数 f x 的解析式及定义域 2 解不等式 f x 1 3 判断并证明 f x 的单调性 18 某厂生产某种零件 每个零件的成本为 40 元 出厂单价定为 60 元 该厂 为鼓励销售商订购 决定当一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 订购的 全部零件的出厂单价就降低 0 02 元 但实际出厂单价不低于 51 元 1 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 第 3 页 共 20 页 2 设一次订购量为 x 个 零件的实际出厂单价为 p 元 写出函数 p f x 的 表达式 3 当销售商一次订购多少个时 该厂获得的利润为 6000 元 工厂售出一 个零件的利润 实际出厂单价 成本 19 如图 1 在 ABC 中 点 D 是 BC 的中点 I 求证 II 直线 l 过点 D 且垂直于 BC E 为 l 上任意一点 求证 为常 数 并求该常数 III 如图 2 若 F 为线段 AD 上的任意一点 求的范 围 20 已知 g x x2 2ax 1 在区间 1 3 上的值域 0 4 1 求 a 的值 2 若不等式 g 2x k 4x 0 在 x 1 上恒成立 求实数 k 的取值范围 3 若函数有三个零点 求实数 k 的取值范围 第 4 页 共 20 页 2016 2017 学年江苏省苏州市高一 上 期末数学试卷学年江苏省苏州市高一 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 分 1 已知集合 A 1 0 1 B 0 1 2 则 A B 0 1 考点 交集及其运算 分析 利用交集的性质求解 解答 解 集合 A 1 0 1 B 0 1 2 A B 0 1 故答案为 0 1 2 已知 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x x 1 则 f 1 2 考点 函数的值 分析 由题意得当 x 0 时 f x x 1 由此能求出 f 1 解答 解 f x 是偶函数 当 x 0 时 f x x 1 当 x 0 时 f x x 1 f 1 1 1 2 故答案为 2 3 若 tan 3 则 tan 等于 考点 两角和与差的正切函数 分析 由正切的差角公式 tan 解之即可 第 5 页 共 20 页 解答 解 tan 故答案为 4 已知 A 3 4 B 5 2 则 10 考点 平面向量坐标表示的应用 分析 由题意 已知 A 3 4 B 5 2 将此两点坐标代入向量求模的 公式 计算即可得到 的值 解答 解 由题意 A 3 4 B 5 2 10 故答案为 10 5 函数 y e2x 1 的零点是 0 考点 函数的零点 分析 令 y 0 求出 x 的值 即函的零点即可 解答 解 令 y 0 即 e2x 1 解得 x 0 故答案为 0 6 把函数 y sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 纵坐标不变 再 将图象上所有点向右平移个单位 所得函数图象所对应的解析式为 y sin 2x 考点 函数 y Asin x 的图象变换 分析 把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 得到 y sin2x 再函数 y sinx 的图象上所有点向右平移个单位 得到 y sin 2 x 写出要求 第 6 页 共 20 页 的结果 解答 解 把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 得到 y sin2x 再函数 y sin2x 的图象上所有点向右平移个单位 得到 y sin 2 x sin 2x 对图象 所求函数的解析式为 y sin 2x 故答案为 y sin 2x 7 若函数 f x 则 f log23 9 考点 函数的值 分析 由 log23 log22 1 得到 f log23 由此利用对数性质及运算 法则能求出结果 解答 解 函数 f x log23 log22 1 f log23 9 故答案为 9 8 函数的单调递增区间为 考点 复合三角函数的单调性 分析 令 2k 2x 2k k z 求得 x 的范围 即可得到函数的 第 7 页 共 20 页 增区间 解答 解 令 2k 2x 2k k z 求得 k x k k z 故函数的增区间为 故答案为 9 设是两个不共线向量 若 A B D 三点共线 则实数 P 的值是 1 考点 向量加减混合运算及其几何意义 分析 要求三点共线问题 先求每两点对应的向量 然后再按两向量共线进 行判断 本题知道 要根据和算出 再用向量共线的充要条件 解答 解 A B D 三点共线 2 2 p p 1 故答案为 1 10 若 则 sin2 的值为 考点 两角和与差的正弦函数 二倍角的正弦 二倍角的余弦 第 8 页 共 20 页 分析 由三角函数公式化简已知式子可得 cos sin 0 或 cos sin 平方 可得答案 解答 解 2cos2 sin 2 cos2 sin2 cos sin cos sin 0 或 cos sin 平方可得 1 sin2 0 或 1 sin2 sin2 1 或 sin2 若 sin2 1 则 cos2 0 代入原式可知应舍去 故答案为 11 f x x2 若对任意的 x t t 2 不等式 f x t 2f x 恒成立 则 实数 t 的取值范围是 考点 函数恒成立问题 分析 问题转化为 x t x 在 t t 2 恒成立 去掉绝对值 得到关于 t 的不等式 求出 t 的范围即可 解答 解 f x x2 x t t 2 不等式 f x t 2f x f x 在 t t 2 恒成立 即 x t x 在 t t 2 恒成立 即 x 1 t 在 t t 2 恒成立 或 x 1 t 在 t t 2 恒成立 第 9 页 共 20 页 解得 t 或 t 故答案为 12 如图 O 是坐标原点 M N 是单位圆上的两点 且分别在第一和第三象 限 则的范围为 0 考点 向量在几何中的应用 分析 设的夹角为 则 cos 1 0 2 2 2cos 即可 解答 解 设的夹角为 则 cos 1 0 2 2 2cos 0 2 的范围为 0 故答案为 0 13 如图 将矩形纸片的右下角折起 使得该角的顶点落在矩形的左边上 若 则折痕 l 的长度 cm 考点 三角形中的几何计算 第 10 页 共 20 页 分析 根据图形判断直角三角形 利用直角三角形求解 AE GEcos2 lsin cos2 由 AE BE lsin cos2 lsin 6 求解即可 解答 解 由已知及对称性知 GF BF lcos GE BE lsin 又 GEA GFB 2 AE GEcos2 lsin cos2 又由 AE BE lsin cos2 lsin 6 得 l 故答案为 14 函数是奇函数 且 f 2 f x f 2 则 a 考点 函数奇偶性的性质 分析 由 f 0 0 可求 c 根据 f 2 f x f 2 利用基本不等式 即可得出结论 解答 解 函数是奇函数且定义域内有 0 f 0 0 解得 c 0 故 f x 第 11 页 共 20 页 x 0 a 0 f x ax 时取等号 f 2 f x f 2 2a a 故答案为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 计小题 计 90 分 分 15 已知 1 2 3 1 求 设的夹角为 求 cos 的值 若向量与互相垂直 求 k 的值 考点 平面向量数量积的运算 数量积判断两个平面向量的垂直关系 分析 利用两个向量坐标形式的加减运算法则 进行运算 把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算 因为向量与互相垂直 所以 它们的数量积等于 0 解方程求 得 k 的值 解答 解 1 2 2 3 1 1 6 2 2 7 0 因为向量与互相垂直 所以 0 即 因为 5 所以 5 10k2 0 解得 16 已知 I 求 tan2 的值 II 求 的值 第 12 页 共 20 页 考点 两角和与差的正切函数 分析 I 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin tan 进而利用二 倍角的正切函数公式即可求得 tan2 II 由已知可求范围 利用同角三角函数基本关系式可求 cos 的值 进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解 cos 的值 结 合范围 可求 解答 本题满分为 14 分 解 I 可得 sin 2 分 tan 2 4 分 tan2 7 分 II 又 cos 9 分 cos cos cos cos sin sin 14 分 17 已知函数 f x 满足 f x 1 lg 2 x lg x 第 13 页 共 20 页 1 求函数 f x 的解析式及定义域 2 解不等式 f x 1 3 判断并证明 f x 的单调性 考点 指 对数不等式的解法 函数解析式的求解及常用方法 分析 1 可令 t x 1 则 x t 1 代入可得 f t 即 f x 的解析式 再由 对数的真数大于 0 可得函数的定义域 2 运用对数的运算性质和对数函数的单调性 可得不等式 解不等式可得解 集 3 f x 在 1 1 上为增函数 由单调性定义 分设值 作差 变形和定 符号 下结论 注意运用对数函数的性质 即可得证 解答 解 1 f x 1 lg 2 x lg x 可令 t x 1 则 x t 1 可得 f t lg 1 t lg 1 t 即有 f x lg 1 x lg 1 x 由 1 x 0 且 1 x 0 解得 1 x 1 则函数 f x 的定义域为 1 1 2 由 f x 1 即 lg 1 x lg 1 x 1 即为 lg 1 x lg10 1 x 可得 0 1 x 10 1 x 解得 1 x 则不等式的解集为 1 3 证明 f x 在 1 1 上为增函数 理由 设 1 m n 1 则 f m f n lg 1 m lg 1 m lg 1 n lg 1 n 第 14 页 共 20 页 lg lg lg lg 由于 1 m n 1 可得 1 m 1 n 0 1 n 1 m 0 可得 0 1 0 1 则 0 1 即有 lg 0 则 f m f n 0 即 f m f n 故 f x 在 1 1 上为增函数 18 某厂生产某种零件 每个零件的成本为 40 元 出厂单价定为 60 元 该厂 为鼓励销售商订购 决定当一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 订购的 全部零件的出厂单价就降低 0 02 元 但实际出厂单价不低于 51 元 1 当一次订购量为多少个时 零件的实际出厂单价恰降为 51 元 2 设一次订购量为 x 个 零件的实际出厂单价为 p 元 写出函数 p f x 的 表达式 3 当销售商一次订购多少个时 该厂获得的利润为 6000 元 工厂售出一 个零件的利润 实际出厂单价 成本 考点 函数模型的选择与应用 分段函数的应用 分析 1 根据当一次订购量超过 100 个时 每多订购一个 订购的全部零 件的出厂单价就降低 0 02 元 可求得一次订购量为 550 个时 每个零件的实际 出厂价格恰好降为 51 元 2 函数为分段函数 当 0 x 100 时 p 为出厂单价 当 100 x 550 时 当 x 550 时 p 51 故可得结论 3 根据工厂售出一个零件的利润 实际出厂单价 成本 求出利润函数 利用 利润为 6000 元 可求得结论 解答 解 1 设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时 一次订购量 第 15 页 共 20 页 为 x0个 则 个 因此 当一次订购量为 550 个时 每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元 2 当 0 x 100 时 p 60 当 100 x 550 时 当 x 550 时 p 51 所以 3 设销售商的一次订购量为 x 个时 工厂获得的利润为 L 元 则 当 0 x 100 时 L 2000 当 x 500 时 L 6050 当 100 x 550 时 由 解得 x 500 答 当销售商一次订购 500 个时 该厂获得的利润为 6000 元 19 如图 1 在 ABC 中 点 D 是 BC 的中点 I 求证 II 直线 l 过点 D 且垂直于 BC E 为 l 上任意一点 求证 为常 数 并求该常数 III 如图 2 若 F 为线段 AD 上的任意一点 求的范 围 第 16 页 共 20 页 考点 向量在几何中的应用 分析 I 延长 AD 到 A1使得 AD DA1 连接 CA1 A1B 证明四边形 ACA1B 是平行四边形 即可证明 II 证明 即可得出 为常数 并求该常数 III 确定 2x x 利用基本不等式 求的范 围 解答 I 证明 延长 AD 到 A1使得 AD DA1 连接 CA1 A1B D 是 BC 的中点 四边形 ACA1B 是平行四边形 II 证明 DE BC 0 III 解 ABC 中 2 1 cosA 第 17 页 共 20 页 同理 2 2 设 x 则 x 0 2x x 2 1 当且仅当 x 时取等号 0 1 20 已知 g x x2 2ax 1 在区间 1 3 上的值域 0 4 1 求 a 的值 2 若不等式 g 2x k 4x 0 在 x 1 上恒成立 求实数 k 的取值范围 3 若函数有三个零点 求实数 k 的取值范围 考点 函数恒成立问题 根的存在性及根的个数判断 分析 1 对 g x 配方 求出对称轴 x a 讨论若 1 a 3 时 若 a 3 时 若 a 1 由单调性可得最小值 解方程 即可得到所求 a 的值 第 18 页 共 20 页 2 由题意可得 2x 2 2 2x 1 k 4x 0 化为 k 2 x 2 2 2 x 1 令 t 2 x 求 出 t 的范围 求得右边函数的最小值即可得到 k 的范围 3 令 y 0 可化为 2x 1 2 2 2x 1 1 2k 3k 2x 1 0 2x 1 0 有 3 个不同 的实根 令 t 2x 1 讨论 t 的范围和单调性 t2 3k 2 t 1 2k 0 有两个不同 的实数解 t1 t2 已知函数有 3 个零点等价为 0 t1 1 t2 1 或 0 t1 1 t2 1 记 m t t2 3k 2 t 1 2k 由二次函数图象可得不等式组 解不等式可得 k 的范围 解答 解 1 g x x2 2ax 1