五年高考精萃数学汇编：第八章第二节点、线、面的位置关系

第二节第二节 点 线 面的位置关系点 线 面的位置关系 一 选择题选择题 1 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D 有两个动点 E F 且 2 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D 异面直线 AE BF所成的角为定值 2 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两 个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 解析 选 D 3 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧面 11 BBC C的中 心 则AD与平面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 取 BC 的中点 E 则AE 面 11 BBC C AEDE 因此AD与平面 11 BBC C 所成角即为ADE 设ABa 则 3 2 AEa 2 a DE 即有 0 tan3 60ADEADE 4 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 5 C 命题意图 此题主要考查立体几何的线面 面面的位置关系 通过对平行和垂直的考 查 充分调动了立体几何中的基本元素关系 解析 对于 A B D 均可能出现 l 而对于 C 是正确的 6 设 m n 是平面 内的两条不同直线 1 l 2 l是平面 内的两条相交直线 则 的 一个充分而不必要条件是 A m 且 l B m l 且 n l2 C m 且 n D m 且 n l2 答案 B 解析 若 1212 ml nl mn 则可得 若 则存在 1221 ml nl 7 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2AAAB E为 1 AA中点 则异面直线BE与 1 CD 所成的角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 解解 令1AB 则 1 2AA 连 1 AB 1 C D 1 AB 异面直线BE与 1 CD所成的角即 1 AB 与BE所成的角 在 1 ABE 中由余弦定理易得 1 3 10 cos 10 ABE 故选故选 C 8 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 1 AB与底面ABCD成 60 角 则 11 AC 到底面ABCD 的距离为 A 3 3 B 1 C 2 D 3 答案答案 D 解析解析 本题主要考查正四棱柱的概念 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 第 4 题解答图 属于基础知识 基本运算的考查 依题意 1 60B AB 如图 1 1 tan603BB 故选 D 9 已知二面角l 的大小为 0 50 P为空间中任意一点 则过点P且与平面 和 平面 所成的角都是 0 25的直线的条数为 A 2B 3C 4D 5 答案 B 10 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 顶点 1 B到对角线 1 BD和到平面 11 ABCD的距离分别 为h和d 则下列命题中正确的是 A 若侧棱的长小于底面的边长 则 h d 的取值范围为 0 1 B 若侧棱的长小于底面的边长 则 h d 的取值范围为 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的边长 则 h d 的取值范围为 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的边长 则 h d 的取值范围为 2 3 3 C 11 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 900 ACC1 600 BCC1 450 侧棱 CC1的长为 1 则 该三棱柱的高等于 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 3 3 A 12 正方体 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D的棱上到异面直线 AB C 1 C的 距离相等的点的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 13 平面六面体ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D中 既与AB共面也与 1 CC共面的棱的条数为 C A 3 B 4 C 5 D 6 14 如图 正四面体ABCD的顶点A B C分别在两两垂直的三 条射线Ox Oy Oz上 则在下列命题中 错误的为 A OABC 是正三棱锥 y x z O A B C D B 直线OB 平面ACD C 直线AD与OB所成的角是45 D 二面角DOBA 为45 答案答案 B 15 如图 已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六边形 2PAABC PAAB 平面 则 下列结论正确的是 PBAD 平面PABPBC 平面 C 直线BC 平面PAE PDABC 直线与平面所成的角为45 答案 D 二 填空题二 填空题 16 如图 在长方形ABCD中 2AB 1BC E为DC的中点 F为线段EC 端 点除外 上一动点 现将AFD 沿AF折起 使平面ABD 平面ABC 在平面ABD内 过点D作DKAB K为垂足 设AKt 则t的取值范围是 答案 1 1 2 解析 此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时 1t 随着 F 点到 C 点时 因 CBAB CBDKCB 平面ADB 即有CBBD 对于 2 1 3CDBCBD 又1 2ADAB 因此有ADBD 则有 1 2 t 因此 t的取值范围是 1 1 2 17 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面 1 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 的三条高线的交点 2 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高所在直线异面 3 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 4 y x z O A B C D 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 5 解析 18 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC上的射影为BC的 中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 D A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解 设BC的中点为 D 连结 1 AD AD 易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所 成 的角 由三角余弦定理 易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 故选 D 19 已知二面角 l 为60o 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 C A B 2 C 2 3 D 4 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 PDlD 于 连 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP 即AP点与点重合时取最小值 故答案选 C 20 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是 侧 棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小 是 答案 90 21 如图 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面连长为 2 高 为 4 则异面直线 1 BD与 AD 所成角的大小是 结果 用反三角函数表示 答案 6 30 arcsin 6 6 cos5arctan are 三 解答题 22 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F 分别是 1 AB 1 AC的中 点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面得位置关系 考 查 空间想象能力 推理论证能力 满分 14 分 23 本小题满分 14 分 如图 6 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2 点E是正方形 11 BCC B的中心 点 F G分别是棱 111 C D AA的中点 设点 11 E G分别是点E G在平面 11 DCC D内的正投 影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的正投影为底面边界的棱锥的体 积 2 证明 直线 1 FG平面 1 FEE 3 求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值 解 1 依题作点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 E 1 G 则 1 E 1 G分别为 1 CC 1 DD的中点 连结 1 EE 1 EG ED 1 DE 则所求为四棱锥 11FG DEE 的体积 其底 面 11FG DE面积为 221 2 1 22 2 1 又 1 EE面 11FG DE 1 1 EE 3 2 3 1 1 1111 EESV FGDEFGDEE 2 以D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别作x轴 y轴 z轴 得 1 2 0 1 E 1 0 0 1 G 又 1 0 2 G 2 1 0 F 1 2 1 E 则 1 1 0 1 FG 1 1 1 FE 1 1 0 1 FE 01 1 0 1 FEFG 01 1 0 11 FEFG 即FEFG 1 11 FEFG 又FFEFE 1 1 FG平面 1 FEE 3 0 2 0 11 GE 1 2 1 EA 则 6 2 cos 11 11 11 EAGE EAGE EAGE 设异 面直线 11 E GEA与所成角为 则 3 3 3 2 1sin 24 本小题满分 12 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中点 AF AB BC FE 1 2 AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 方法一 解 由题设知 BF CE 所以 CED 或其 补角 为异面直线 BF 与 DE 所成的角 设 P 为 AD 的中 点 连结 EP PC 因为 FE AP 所以 FA EP 同理 AB PC 又 FA 平面 ABCD 所以 EP 平面 ABCD 而 PC AD 都在平面 ABCD 内 故 EP PC EP AD 由 AB AD 可 得 PC AD 设 FA a 则 EP PC PD a CD DE EC a2 故 CED 60 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 II 证明 因为 CEMPMP CEDMCEM 则连结的中点 所以为且DEDC CDEAMDCDECE AMDCEMDMMP平面 所以平面平面而平面 故又 III 因为 所以因为 的中点 连结为解 设 CDEQDECE EQPQCDQ ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角 故 所以 由 I 可得 2 2 2 6 EQaPQaPQEP 中 于是在 3 3 cosEPQRt EQ PQ EQP 25 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PD 平面ABCD ADCD DB平分ADC E为 的PC中点 1 2 2ADCDDB 1 证明 PA平面BDE 2 证明 AC 平面PBD 3 求直线BC与平面PBD所成角的正切值 26 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面 BOE 并求点M到OA OB的距离 证明 I 如图 连结 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由题意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向 量为 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG 又直线FG不在 平面BOE内 因此有 FG平面BOE II 设点 M 的坐标为 00 0 xy 则 00 4 3 FMxy 因为 FM 平面 BOE 所以有 FMn 因此有 00 9 4 4 xy 即点 x y z M 的坐标为 9 4 0 4 在平面直角坐标系xoy中 AOB 的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy 经检验 点 M 的坐标满足上述不等式组 所以在ABO 内存在一点M 使 FM 平面BOE 由点 M 的坐标得点M到OA OB的距离为 9 4 4 27 本题满分 14 分 如图 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB P Q分别为 AE AB的中 点 I 证明 PQ平面ACD II 求AD与平面ABE所成角的正弦值 28 证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所 以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 29 本小题满分 12 分 如图 已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 M N 分别为 AB DF 的中点 I 若平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 I 解法一 取 CD 的中点 G 连接 MG NG 设正方形 ABCD DCEF 的边长为 2 则 MG CD MG 2 NG 2 因为平面 ABCD 平面 DCED 所以 MG 平面 DCEF 可得 MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角 因为 MN 6 所以 sin MNG 3 6 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分 30 本小题满分 13 分 如图 ABCD 的边长为 2 的正方形 直线 l 与平面 ABCD 平行 g 和 F 式 l 上的两个不同点 且EA ED FB FC 和是平面 ABCD 内的两点 和 都与平面 ABCD 垂直 证明 直线垂直且平分线段 AD 若 EAD EAB 60 EF 2 求多面 体 ABCDEF 的体积 思路 根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面 体体积 体现的是一种部分与整体的基本思想 解析 1 由于 EA ED 且 EDABCDE DE C 面 点 E 在线段 AD 的垂直平分线上 同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上 又 ABCD 是四方形 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上 所以 直线 E F 垂直平分线段 AD 2 连接 EB EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E ABCD 和正四面体 E BCF 两部分 设 AD 中点为 M 在 Rt MEE 中 由于 ME 1 3 2MEEE E V ABCD 2 114 2 22 333 SABCD EE 四方形 又 E V BCF VC BEF VC BEA VE ABC 2 1112 2 22 3323 ABC SEE A 多面体 ABCDEF 的体积为 VE ABCD VE BCF 2 2 31 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点 M 在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M 在侧棱SC的中点 II 求二面角SAMB 的大小 I 解法一 作MN SD交CD于 N 作NEAB 交AB于 E 连 ME NB 则MN 面ABCD MEAB 2NEAD 设MNx 则NCEBx 在RT MEB 中 60MBE 3MEx 在RT MNE 中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x 从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M 解法二 过M作CD的平行线 解法三 利用向量处理 详细可见 09 年高考参考答案 II 分析一分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了 三垂线定理 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定 理的方法求作二面角 过M作MJ CD交SD于J 作SHAJ 交AJ于H 作 HKAM 交AM于K 则JM CD JM 面SAD 面 SAD 面MBA SH 面AMB SKH 即为所求二面角 的补角 分析二分析二 利用二面角的定义 在等边三角形ABM中过点B作BFAM 交AM于点 F 则点F为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证GFAM 则GFB 即为所求 二面角 分析三分析三 利用空间向量求 在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可 另外 利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等 这些方法也能奏效 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 32 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC D E分别为 1 AA 1 BC的中点 DE 平面 1 BCC I 证明 ABAC II 设二面角ABDC 为 60 求 1 BC与平面BCD所成的角的大小 I 分析一分析一 连结 BE 111 ABCABC 为直三棱柱 1 90 B BC E 为 1 BC的中点 BEEC 又DE 平面 1 BCC BDDC 射影相等的两条斜线段相等 而DA 平面ABC ABAC 相等的斜线段的射影相等 分析二分析二 取BC的中点F 证四边形AFED为平行四边形 进而证AF DE AFBC 得ABAC 也可 分析三分析三 利用空间向量的方法 具体解法略 II 分析一分析一 求 1 BC与平面BCD所成的线面角 只需求点 1 B到面BDC的距离即可 作AGBD 于G 连GC 则GCBD AGC 为二面角ABDC 的平面角 60AGC 不妨设2 3AC 则2 4AGGC 在RT ABD 中 由 AD ABBD AG 易得6AD 设点 1 B到面BDC的距离为h 1 BC与平面 BCD所成的角为 利用 1 11 33 B BCBCD SDESh 可求得h 2 3 又 可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即 1 BC与平面BCD所成的角为30 分析二分析二 作出 1 BC与平面BCD所成的角再行求解 如图可证得BCAFED 面 所以 面AFEDBDC 面 由分析一易知 四边形AFED为正方形 连AEDF 并设 交点为O 则EOBDC 面 OC 为EC在面BDC内的射影 ECO 即为所求 以下略 分析三 分析三 利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n 则 1 BC与平面BCD所成的角即 为 1 BC 与法向量n 的夹角的余角 具体解法详见高考试题参考答案 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况 命题人在这里一定会兼顾双方的利益 34 本小题共 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 解法解法 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考查 空间想象能力 运算能力和推理论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 解法解法 2 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC E 为 PC 的中点 13131 0 44242 DaaaEaa 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE AD与平面PAC所成的角的大小 14 arccos 4 同解法 1 36 本小题共 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 解法解法 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 平面与平面垂 直 直线与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PDABCD 底面 PD AC AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 O E 分别为 DB PB 的中点 OE PD 1 2 OEPD 又 PDABCD 底面 OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 12 22 OEPDABAO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 37 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 如题 19 图 在四棱锥SABCD 中 ADBCA 且ADCD 平 面CSD 平面ABCD 22CSDS CSAD E为BS的中点 2 3CEAS 求 点A到平面BCS的距离 二面角ECDA 的大小 39 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 如题 18 图 在五面体 ABCDEF 中 AB DC BAD 2 CD AD 2 四边形 ABFE 为平行四边形 FA 平面 ABCD FC 3 ED 7 求 直线 AB 到平面 EFCD 的距离 二面角 F AD E 的平面角的正切值 40 本小题满分 12 分 如图 4 在正三棱柱 111 ABCABC 中 2ABAA D 是 11 AB的中点 点 E 在 11 AC上 且DEAE I 证明平面ADE 平面 11 ACC A II 求直线AD和平面ABC所成角的正弦值 解 I 如图所示 由正三棱柱 111 ABCABC 的性质知 1 AA 平面 111 ABC 又 DE 平面 A1B1C1 所以 DE AA1 而 DE AE AA1 AE A 所以 DE 平面 AC C1A1 又 DE 平面 ADE 故平面 ADE 平面 AC C1A1 2 解法解法 1 如图所示 设 F 使 AB 的中点 连接 DF DC CF 由正三棱柱 ABC A1B1C 1的性质及 D 是 A1B 的中点知 A1B C1D A1B DF 又 C1D DF D 所以 A1B 平面 C1DF 而 AB A1B 所以 AB 平面 C1DF 又 AB 平面 ABC 故 平面 AB C1 平面 C1DF 过点 D 做 DH 垂直 C1F 于点 H 则 DH 平面 AB C1 连接 AH 则 HAD 是 AD 和平面 ABC1所成的角 由已知 AB 2A A1 不妨设 A A1 2 则 AB 2 DF 2 D C1 3 C1F 5 AD 2 2 1 ADAA 3 DH FC DCDF 1 1 5 32 5 30 所以 sin HAD AD DH 5 10 即直线 AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为 5 10 41 本小题满分 12 分 如图 3 在正三棱柱 ABC 1 A 1 B 1 C中 AB 4 A 1 A 7 点 D 是 BC 的中点 点 E 在 AC 上 且 DE 1 AE 证明 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 求直线 AD 和平面 1 ADE所成角的正弦值 解 如图所示 由正三棱柱 ABC 1 A 1 B 1 C的性质知 1 AA 平面ABC 又 DE 平面 ABC 所以 DE A 1 A 而 DE A 1 A 111 AAAEA 所以 DE 平面 11 ACC A 又 DE 平面 1 ADE 故平面 1 ADE 平面 11 ACC A 解法 1 1 过点 A 作 AF 垂直 1 AE于点F 连接 DF 由 知 平面 1 ADE 平面 11 ACC A 所以 AF 平面 1 ADE 故ADF 直线 AD 和 平面 1 ADE 所成的角 因为 DE 11 ACC A所以 DE AC 而 ABC 是边长为 4 的正三角形 于是 AD 2 3 AE 4 CE 4 1 2 CD 3 又因为A 1 A 7 所以 1 AE 22 1 AAAE 2 7 3 4 1 1 3 7 4 AEAA AF AE 21 sin 8 AF ADF AD 即直线 AD 和平面 1 ADE所成的角的正弦值为 21 8 42 本小题满分 12 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中点O为球心 AC为直径的球面交PD于点M 交PC于点N 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3 求点N到平面ACM的距离 20 解 方法一 1 依题设知 AC 是所作球面的直径 则 AM MC 又因为 P A 平面 ABCD 则 PA CD 又 CD AD 所以 CD 平面 则 CD AM 所以 A M 平面 PCD 所以平面 ABM 平面 PCD 2 由 1 知 AMPD 又PAAD 则M是PD的中点可得 2 2AM 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAM MC 设 D 到平面 ACM 的距离为h 由 D ACMMACD VV 即2 68h 可求得 2 6 3 h 设所求角为 则 6 sin 3 h CD 6 arcsin 3 N O D M C B P A 1 可求得 PC 6 因为 AN NC 由 PNPA PAPC 得 PN 8 3 所以 5 9NC PC 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 5 9 又因为 M 是 PD 的中点 则 P D 到平面 ACM 的距离相等 由 2 可知所求距离为 510 6 927 h 43 本小题满分 12 分 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相 垂直 ABE是等腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段CD的中点为P 在直线AE上是否存在一点M 使得PMBCEA平面 若 存在 请指出点M的位置 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 III 求二面角FBDA 的大小 19 本小题主要考察平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与平面平行 二面角 等基础知识 考察空间想象能力 逻辑推理能力和数学探究意识 考察应用向量 知识解决数学问题的能力 解法一 因为平面ABEF 平面ABCD BC 平面ABCD 平面ABEF 平面ABCDAB 所以BC 平面ABEF 所以BC EF 因为ABE 为等腰直角三角形 ABAE 所以45AEB 又因为45AEF 所以454590FEB 即EF BEB 所以EF 平面BCE 4 分 存在点M 当M为线段 AE 的中点时 PM 平面BCE 取 BE 的中点 N 连接 AN MN 则 MN 1 2 AB PC 所以 PMNC 为平行四边形 所以 PM CN 因为 CN 在平面 BCE 内 PM 不在平面 BCE 内 所以 PM 平面 BCE 8 分 由 EA AB 平面 ABEF 平面 ABCD 易知 EA 平面 ABCD 作 FG AB 交 BA 的延长线于 G 则 FG EA 从而 FG 平面 ABCD 作 GH BD 于 G 连结 FH 则由三垂线定理知 BD FH 因此 AEF 为二面角 F BD A 的平面角 因为 FA FE AEF 45 所以 AFE 90 FAG 45 设 AB 1 则 AE 1 AF 2 2 FG AF sinFAG 1 2 在 Rt FGH 中 GBH 45 BG AB AG 1 1 2 3 2 GH BG sinGBH 3 2 2 2 3 2 4 在 Rt FGH 中 tanFHG FG GH 2 3 故二面角 F BD A 的大小为 arctan 2 3 12 分 第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 2011 年高考题年高考题 2005 2008 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 20082008 上海上海 1313 给定空间中的直线L及平面 条件 直线L与平面 内无数 条直线都垂直 是 直线L与平面 垂直 的 条件 A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 既非充分又非必要 答案答案 C 2 20082008 天津天津 5 5 设ba 是两条直线 是两个平面 则ba 的一个充分条件是 A ba B ba C ba D ba 答案答案 C 3 20082008 安徽安徽 4 4 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中 正确的是 A mnmn 若则 B 若则 C mm 若则 D mnmn 若则 答案答案 D D 4 4 20082008 湖南湖南 5 5 设有直线m n和平面 下列四个命题中 正确的是 A 若m n 则m n B 若m n m n 则 C 若 m 则m D 若 m m 则m 答案答案 D D 5 5 20082008 全国全国 11 11 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面 ABC内的射影为ABC 的中心 则 1 AB 与底面ABC所成角的正弦值等于 A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 答案答案 C 6 20082008 全国全国 10 10 已知正四棱锥SABCD 的侧棱长与底面边长都相等 E是SB 的中点 则AESD 所成的角的余弦值为 A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 答案答案 C 7 7 2 2008008 四川四川 设直线l 平面 过平面 外一点A与 l 都成 0 30角的直线 有且只有 A 条 B 条 C 条 D 条 答案答案 B B 8 20082008 湖南湖南 9 9 长方体ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上 且 AB 2 AD 3 AA1 1 则顶点A B间的球面距离是 C A 22 B 2 C 2 2 D 2 4 答案答案 C 9 20082008 陕西陕西 9 9 如图 lABAB 到l的距离分别是a 和b AB与 所成的角分别是 和 AB在 内的射影分别是m和n 若ab 则 A mn B mn C mn D mn 答案答案 D D 11 2007 2007 北京理北京理 3 3 平面 平面 的一个充分条件是 A 存在一条直线aa B 存在一条直线aaa C 存在两条平行直线ababab D 存在两条异面直线abaab 答案答案 D D 12 20072007 安徽理安徽理 2 2 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 l 是 lm 且 ln 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 13 20072007 福建理福建理 8 8 已知m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 则下列命 题中正确的是 A mnmn B mnmn C mmnn D mn nm 答案答案 D D 14 20072007 湖北理湖北理 4 4 平面 外有两条直线m和n 如果m和n在平面 内的射影分别是 1 m和 1 n 给出下列四个命题 1 m 1 n m n m n 1 m 1 n 1 m与 1 n相交 m与n相交或重合 1 m与 1 n平行 m与n平行或重合 其中不正确的命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 D D A Ba b l 15 20072007 江苏理江苏理 4 4 已知两条直线 m n 两个平面 给出下面四个命题 mn mn mnmn mn mn mn mn 其中正确命题的序号是 A B C D 答案答案 C 16 20072007 全国全国 理理 7 7 如图 正四棱柱 1111 DCBAABCD 中 ABAA2 1 则异面直线 11 ADBA与所成角的余弦值为 A 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 答案答案 D D 17 20072007 福建理福建理 10 10 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AB 1 AA1 则A C两点间的球面距离为 A 4 B 2 C 2 4 D 2 2 答案答案 B B 18 18 20072007 四川理四川理 4 4 如图 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的是 A BD 平面CB1D1 B AC1 BD C AC1 平面CB1D1 D 异面直线AD与CB1角为 60 答案答案 D D 19 2006 2006 福建 福建 对于平面 和共面的直线 m n 下列命题中真命题是 A 若 m m n 则 n B 若 m n 则 m n C 若 m n 则 m n D 若 m n 与 所成的角相等 则 n m 答案答案 C 20 2006 广东 广东 给出以下四个命题 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和 交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 其中真命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 答案答案 B 21 2006 湖南卷 湖南卷 过平行六面体 ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线 其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 答案答案 D D 22 2006 全国全国 II 如图 平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角分别为 和 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足 4 6 为 A B 则 AB A B A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 4 3 答案答案 A 23 2006 重庆卷重庆卷 对于任意的直线 l 与平同 a 在平面 a 内必有直线 m 使 m 与 l A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 答案答案 C 24 2005 上海春上海春 13 已知直线nml 及平面 下列命题中的假命题是 A 若 lm mn 则 ln B 若l n 则ln C 若lm mn 则ln D 若 l n 则 ln 答案答案 D D 25 2005 上海上海 14 若空间中有四个点 则 这四个点中有三点在同一直线上 是 这四个 点在同一平面上 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 答案答案 A 二 填空题二 填空题 26 26 20082008 陕西陕西 1414 长方体 1111 ABCDABC D 的各顶点都在球O的球面上 其中 1 1 1 1 A B C D D C B A A B A B 1 1 1 2AB AD AA AB 两点的球面距离记为m 1 AD 两点的球面距离 记为n 则 m n 的值为 答案答案 1 2 27 200827 2008 全国全国 16 16 等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB 二面角 CABD 的余弦值为 3 3 MN 分别是ACBC 的中点 则EMAN 所成 角的余弦值等于 答案答案 6 1 28 28 20082008 安徽安徽1616 已知 A B C D 在同一个球面上 ABBCD 平平 BCCD 若 6 AB 2 13 AC 8AD 则 B C两点间的球面距离是 答案答案 4 3 29 29 20082008 辽宁辽宁 1414 在体积为4 3 的球的表面上有A B C三点 AB 1 BC 2 A C两点的球面距离为 3 3 则球心到平面ABC的距离为 答案答案 3 2 30 2007 四川理四川理 14 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱长为2 底面三角形的边长为 1 则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角是 答案答案 6 31 2007 浙江理浙江理 16 16 已知点 O 在二面角AB 的棱上 点 P 在 内 且 45POB 若对于 内异于 O 的任意一点 Q 都有45POQ 则二面角 AB 的大小是 答案答案 90 三 解答题三 解答题 32 2008 北京北京 16 如图 在三棱锥PABC 中 2ACBC 90ACB APBPAB PCAC A C B P 求证 PCAB 求二面角BAPC 的大小 求点C到平面APB的距离 证明证明 取AB中点D 连结PDCD APBP PDAB ACBC CDAB PDCDD AB 平面PCD PC 平面PCD PCAB 解解 ACBC APBP APCBPC 又PCAC PCBC 又90ACB 即 ACBC 且ACPCC BC 平面PAC 取AP中点E 连结BECE ABBP BEAP EC 是BE在平面PAC内的射影 CEAP BEC 是二面角BAPC 的平面角 在BCE 中 90BCE 2BC 3 6 2 BEAB 6 sin 3 BC BEC BE 二面角BAPC 的大小为 6 arcsin 3 解解 由 知AB 平面PCD 平面APB 平面PCD 过C作CHPD 垂足为H 平面APB 平面PCDPD CH 平面APB CH 的长即为点C到平面APB的距离 由 知PCAB 又PCAC 且ABACA PC 平面ABC CD 平面ABC A C B D P A C B E P A C B D P H PCCD 在RtPCD 中 1 2 2 CDAB 3 6 2 PDPB 22 2PCPDCD 3 32 PD CDPC CH 点C到平面APB的距离为 2 3 3 第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编 2011 年联考题年联考题 一 选择题选择题 1 山东省平邑第一中学山东省平邑第一中学 2011 届高三元旦竞赛试题届高三元旦竞赛试题 设cba 是空间三条直线 是空间两 个平面 则下列命题中 逆命题不成立的是 A 当 c时 若 c 则 B 当 b时 若 b 则 C 当 b 且 c 是 a 在 内的射影时 若cb 则ba D 当 b 且 c时 c 则cb 答案答案 B 2 厦门市第二外国语学校厦门市第二外国语学校 2008 2011 学年高三数学第四次月考学年高三数学第四次月考 设ba 是两条直线 是 两个平面 则ba 的一个充分条件是 A ba B ba C ba D ba 答案答案 C 3 2011 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E是AD的中点 则异面直线 1 C E与BC所成的角的余弦值是 A 5 10 B 10 10 D1 B1 C1 A1 D C B A C 3 1 D 3 22 答案答案 C 4 四川省成都市四川省成都市 2011 届高三入学摸底测试届高三入学摸底测试 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 若 E 是 AD 的中点 则异面直线 1 AB与 1 C E所成角的大小是 A 6 B 4 C 3 D 2 答案答案 D D 5 安徽省潜山县三环中学安徽省潜山县三环中学 2011 届高三上学期第三次联考届高三上学期第三次联考 是两个不重合的平面 在下 列条件中 可判断平面 平行的是 A nm 是平面 内两条直线 且 nm B 内不共线的三点到 的距离相等 C 都垂直于平面 D nm 是两条异面直线 nm 且 nm 答案答案 D D 6 四川省成都市高中数学四川省成都市高中数学 2011 级九校联考级九校联考 设地球的半径为R 若甲地位于北纬45 东经 120 乙地位于南纬75 东经120 则甲 乙两地的球面距离为 A 3R B 6 R C 5 6 R D 2 3 R 答案答案 D D 7 广东省高明一中广东省高明一中 2011 届高三上学期第四次月考届高三上学期第四次月考 在正方体 1111 ABCDABC D 中 NM 为的棱AADB与的中点 则异面直线NM与 1 BD所成角的余弦值是 A 10 15 B 1 2 C 6 2 D 6 3 答案答案 D D 8 8 广东省湛江师范学院附中广东省湛江师范学院附中 2011 年高考模拟试题年高考模拟试题 已知直线ab 是异面直线 直线 cd 分别与ab 都相交 则直线cd 的位置关系 A 可能是平行直线 B 一定是异面直线 C 可能是相交直线 D 平行 相交 异面直线都有可能 答案答案 C 9 9 安徽省巢湖市安徽省巢湖市 2011 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 下列命题不正确的是 A PAPBB 为垂足 且A与B不重合 则PAB 为PA与平面 所成的 角 B l Ol OAOB OAl OBl 则AOB 为二面角 l 的平 面角 C Al ABB 为垂足 则AB为直线l到平面 的距离 D ABAB 则AB为平面 与平面 的距离 答案答案 C 1010 浙江省 浙江省 0909 年高考省教研室第一次抽样测试数学试题 理 年高考省教研室第一次抽样测试数学试题 理 设 m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题正确的是 A 若 mn mn 则 B 若 mn 则 mn C 若 mn 则mn D 若 mn mn 则 答案答案 C 二 填空题二 填空题 11 广东省湛江市实验中学广东省湛江市实验中学 2011 届高三第四次月考届高三第四次月考 给出下面四个命题 过平面外一点 作与该平面成 角的直线一