永磁同步电动机三相坐标系的数学模型

4 2 永磁同步电动机三相坐标系的数学模型 为方便分析起见 将三相永磁的同步电动机看作是理想的电机 也就是说 它符合下列假设 1 转子上面没有阻尼绕组 定子中各个绕组的电枢电阻 电感值相等 三相定子的绕组按对称的星形分布 2 其气隙磁场服从正弦分布而且各次谐波忽略不计 感应电动势也服从 正弦分布 3 永磁体的等效的励磁电流恒定不改变 电机中的涡流 趋肤效应 电 机铁芯饱和和磁滞损耗的影响均忽略不计 温度与频率不影响电机的参数 坐标系正方向的选取 1 转子逆时针方向旋转为正 2 正向电流生出正向磁链 3 电压 电流的正方向按照电动机的惯例 则静止三相坐标系里永磁同步电动机的定子侧电压方程 4 1 3333ssss uRip 静止三相坐标系里永磁同步电动机的定子侧磁链方程 4 2 3333 sssfs LiF 式中 3 A sB C i ii i 3 00 00 00 s R RR R 3 A sB C 3 A sB C u uu u 3 sin sin 120 sin 120 s F 333 1cos120cos240100 cos1201cos120010 cos240cos1201001 sml LLL 电机统一理论和机电能量转换告诉我们 电机的电磁力矩 37 4 3 Im s s ep Tni 式中 代表取共轭复数 Im代表取虚部 4 3 永磁同步电动机 dq 坐标系的数学模型 三相交流电机是一个耦合强 非线性 阶次高的多变量系统 它在三相静 止的坐标系里的数学模型相当复杂 应用传统的控制策略对其实现交流调速有 很大的困难 所以对于一般的三相交流电机常常应用矢量控制的方法 采用坐 标变换 把三相交流的绕组等效变换成两相互相垂直的交流绕组或者旋转的两 相直流的绕组 等效变换以后其产生的磁动势相等 系统的变量之间得到了部 分的解耦 它的数学模型得到了大大简化 使得对于系统的分析和控制也简化 了很多 使得它的数学模型与比较简单的直流电机类似 52 N2i N3iA N3iC N2i 60 N3iB A B C 60 N3i 图 4 1 静止的三相和两相坐标系坐标变换采用的空间矢量位置图 通常会用到如下的六种坐标变换 三相和两相正交坐标系间变换 3s 2s变换 两相正交坐标系和三相坐标系间变换 2s 3s变换 静止两相和旋转两相坐标系 间变换 2s 2r变换 旋转两相和静止两相坐标系间变换 2r 2s变换 三相静止和 两相旋转坐标系间变换 3s 2r变换 两相旋转和三相静止间变换 2r 3s变换 根 据磁动势和功率相等的等效原则 两相与三相的合成磁动势相等 即图4 1中 两相与三相绕组的磁动势在坐标轴上投影相等 即 4 4 2 1 2 1 3 cos 3 cos 33332CBACBA iiiNiNiNiNiN 4 5 2 3 3 sin 3 sin 3332CBCB iiNiNiNiN 其矩阵形式为 4 6 C B A i i i N N i i 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 2 3 要使变换之后总功率保持不变 可证 匝数比应等于 3 2 2 3 N N 所以 可以求得 4 7 C B A i i i i i 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2 所以 三相和两相正交坐标系间变换的变换矩阵 4 8 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2 2 3ss C 又因为 所以 可得 0 CBA iii 4 9 C B A i i i i i 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2 0 所以 三相和正交坐标系间变换的变换矩阵为 0 4 10 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2 这是一个正交矩阵 所以 4 11 0 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 01 3 2 i i i i i C B A 所以 两相正交坐标系和三相坐标系间变换的变换矩阵 4 12 2 3 2 1 2 3 2 1 01 3 2 3 2ss C N2i N2id N2i F d N2iq q 图4 2 静止的两相坐标系和旋转的两相坐标系 由图4 2可知 4 13 cossin sincos iii iii q d 其矩阵形式为 4 14 i i C i i i i rs q d 2 2 cossin sincos 进而 可求得 4 15 q d sr q d i i C i i i i 2 2 cossin sincos 所以 静止两相和旋转两相坐标系间变换矩阵 4 16 cossin sincos 2 2rs C 旋转两相和静止两相坐标系间变换矩阵 4 17 cossin sincos 2 2sr C 三相静止和两相旋转坐标系间变换的变换矩阵 4 18 3 2 coscos 120 cos 120 2 sinsin 120 sin 120 3 111 222 sr C 加之 4 19 90 变换阵可变为下面的形式 4 20 3 2 sinsin 120 sin 120 2 coscos 120 cos 120 3 111 222 sr C 其逆变换矩阵是 4 21 2 33 2 T rssr CC 所以 4 22 32 32srsr xCx 4 23 23 23rsrs xCx 式中 可以是电流 电压 也可以是磁 3 T sABC xx x x 20 T rdq xx x x xiu 链 将式 4 2 3s 2r 变换 可以得到 4 24 1 3 233 233 23 233 23 srssrssrsrsfsrs CCL CCiCF 式中 0 32 3 q d srs C 0 32 3 i i i iC q d srs 1 3 233 2srssr CL C 33 sinsin 120 sin 120 10 50 5100 2 coscos 120 cos 120 0 510 5010 3 0 50 51001 111 222 ml LL 33 33 3 sinsin 120 sin 120 1 500 2 coscos 120 cos 120 01 50 3 00 111 222 T ml ml l LL LL L 3 23 fsrs CF 设 4 25 333 1 5 dml LLL 333 1 5 qml LLL 033l LL 则 坐标系中定子侧的磁链方程为 0dq 4 26 3 3 030 001 5 000 000 ddd qqqf l Li Li Li 从式 4 1 可推出 4 27 AAA uRip 从式 4 20 至 4 23 推出 4 28 0 21 sincos 32 Adq xxxx 把式 4 27 代入式 4 28 000 1 sin cos 0 3 dddsqddqsq uRipuRipuRip 4 29 要使任意值都能使得式 4 29 成立 须满足如下条件 sinsin 120 sin 120 sin1 5 2 coscos 120 cos 120 sin 120 0 3 sin 120 0 111 222 ff 4 30 000 dddsq qqqsd uRip uRip uRip 因为式 4 3 中的零序分量与机电能量转换无关 所以只要考虑坐标 0 idq 系中的直轴 交轴的分量 4 31 s dq s dq j iiji 式 4 3 和 4 31 可推出 Im s s ep Tni Im pdqdq njiji pd qq d nii 将式 4 26 代入得 4 32 33 1 5 epf qdqd q TniLLi i 由上述推导可以求得坐标系中三相永磁同步电动机的定子侧电压方程为 dq 4 33 dddsq qqqsd uRip uRip 坐标系中三相永磁同步电动机的定子侧磁链方程为 dq 4 34 3 3 1 5 dddf qqq L i L i 坐标系中三相永磁同步电动机的定子侧电磁转矩为 dq 4 35 33 1 5 epf qdqd q TniLLi i 式 4 33 4 35 中 是定子电压的轴分量 是定子电流 d u q u dq d i q i 的轴分量 R是定子的电阻 为定子磁链的轴分量 是同步电 dq d q dq s 角速度 代表轴电感分量 代表极对数 代表永磁体磁 3d L 3q L dq p n f 链 代表微分算子 37 p d dt 4 4 永磁同步电动机矢量控制 正弦波 PMSM 有永磁转子与定子的三相分布绕组 定子绕组里的感应的电 动势 通常采用交流的 PWM 变压变频器供给的定子电流 电压均是正弦波 永磁同步电动机通常没有励磁绕组和阻尼绕组 转子是用永磁体材料做的 正 弦波 PMSM 的转子磁动势方向随转子位置变化而且幅值恒定不变 PMSM 的矢 量控制也是基于磁场定向的 这点和电励磁同步电动机一样 只是 PMSM 的转 子永磁体的磁场恒定不变 再加上它的参数和结构各不相同 因此它的控制方 法与其他电机不太一样 假想 PMSM 转子有一个虚拟的励磁绕组 当绕组上通过虚拟励磁电流的 f I 时候 它和 PMSM 的转子磁动势相等 所以 PMSM 可以和常见的电励磁同步 电动机等效 它们的唯一区别就在于前者虚拟励磁电流恒定不变 也就是说虚 拟励磁电流 并且 等效于虚拟的励磁绕组是由恒定电流源 f I0 dt dI f 为其供电 52 因为它的定子绕组和电励磁的同步电动机没有区别 将式 4 34 代入 4 33 并考虑到是一个常数 定子电压方程式可写为 f 0 dt d f 4 36 dt d dt di LiLRiu f d dqqsdd 5 1 33 4 37 fs q qddsqq dt di LiLRiu 5 1 33 写成矩阵形式为 4 38 f s q d q d q d ds qs q d i i dt d L L i i RL LR u u 5 1 0 0 0 3 3 3 3 用作为扰动输入 F 为转子与负载之间的粘性摩擦系数 L T d u q u 作为输入变量 作为状态变量 那么可得到 PMSM 的状态方程 f d i q i 4 39 sL p dqqd p sLe p F J T J n ii J n F J TT J n dt d 1 1 2 4 40 33 3 3d d q d qs d d d L u i L L i L R dt di 4 41 3333 3 5 1 q q q fs q q ds q d q L u L i L R i L L dt di PMSM 的数学模型比电励磁的同步电动机阶次低 非线性强 耦合程度减 弱 PMSM 一般根据转子磁链定向控制 基频之下恒转矩工作区里 控制定子 电流矢量在 q 轴上面 也就是让 这时候的磁链方程 4 34 变成 sq ii 0 d i 4 42 qqq fd iL 3 5 1 这时候的电磁转矩方程变成 4 43 1 5 epf q Tni 可见 实施的控制方案起来比较简单 因为恒定不变 所以电磁 0 d i f 转矩和定子电流成正比 只需要精确地检测出转子在轴的空间位置 然后控 d 制逆变器让三相定子的合成电流矢量或者磁动势矢量落在轴上就行了 q PMSM的矢量控制变频调速与直流他励电动机的调压调速有同样的品质 37 检 测电动机转子位置的方法不少 可使用霍尔磁检测器和磁性材料 光电编码器 等直接检测方法 间接位置检测方法通过检测电枢绕组的感应电流和电动势 然后再根据电机模型 应用状态观测估计转子位置 因为没有使用机械式的位 置传感器 系统的成本和可靠性均有改善 所以在国际上PMSM的无传感器的 控制方法的研究得到了广泛研究和普遍重视 PMSM的转子位置估计方法 一 种是适用电机高速 中速运行的根据定子绕组反向电势进行估计的方法 因为 电机低速运行的时候反电势相当小 转子估计误差会变得比较大 另一种方法 适宜于电机任意转速包括静止状态的根据磁路的不对称特性进行估计 有人提 出吸收两种方法的优点 当电机以较高的速度运行的时候根据反电势模型 采 用Kalman滤波技术估计电机转子的位置 当电机以较低的速度 运行时 2 0 s 或者静止时 根据定子齿槽部分的磁饱和特性 给定子绕组加上检测电压并且 监测电流的变化率 从而获得相电感变化量 又因为相电感是转子位置的函数 从而计算出转子位置角 该方案效果较好 不过 因为状态观测方法大多根据 电机的电流模型或者电压模型 参数变化或者模型不准确都将影响观测结果 对于提高PMSM的性能不利 通常用在对精度和可靠性要求不高的系统 无位 置PMSM的速度闭环系统的稳定性还需要进一步研究 53 由式 4 20 至式 4 23 可知 4 44 2 33 2 1 sincos 2 21 sin 120 cos 120 32 1 sin 120 cos 120 2 T rssr CC 4 45 0 2 1 120cos 120sin 2 1 120cos 120sin 2 1 cossin 3 2 i i i i i i q d C B A 4 46 2 1 sincos 3 2 0 iiii dqA 4 47 2 1 3 2 sin 3 2 cos 3 2 0 iiii dqB 4 48 2 1 3 2 sin 3 2 cos 3 2 0 iiii dqC 式中的角可以采用转子位置检测器检测出来 将电流给定信号正弦调 s i 制以后 计算得到三相电流给定信号 采用三相电流闭环控制让实际 A i B i C i 的电流信号快速地跟随给定信号 达到期望的控制效果 实施方案有 使用电流和转速双闭环控制与使用电流滞环控制 58 0 d i 严格说起来电流滞环控制也使用了电流和转速双闭环控制 不同的是其电流环 控制应用了 BANG BANG 控制 58 采用的转子磁链定向控制 具有以下几个特点 0 d i 1 因为定子电流轴分量等于零 PMSM的数学模型得以简化 励磁和 d 轴阻尼绕组是一对简单耦合线圈 和定子电流没有相互作用 从而让轴和 dd 定子绕组之间完全解耦 转矩方程里的磁链和电流也解耦 转子的永磁磁 f q i 通和定子电流相互解耦 控制系统结构简单 转矩相当稳定 脉动比较小 调 速范围比较宽 特别适合用在高性能的机器人和数控机床等场合 2 当负载 定子电流增大的时候 因为电枢反应的影响 从而导致气隙 合成磁链增大 会大幅提升电机的定子电压 PMSM的电压升高 那么变压器 与电控装置的容量要比较大 使得有效利用率降低 所以该方法并不经济 另 外 定子电压与电流矢量的夹角也会变大 使得PMSM的功率因数降低 所以 该控制方式适合小容量交流伺服系统 37 4 5 永磁同步电机的协调控制系统仿真 4 5 1 单个永磁同步电动机的矢量控制系统仿真 在Matlab Simulink环境下搭建单个永磁同步电动机的矢量控制仿真模型 如图4 3 所示 其中的Speed Ref为参考转速 这里设为30rad s 因为我们采 用浙江蓝翔机电设备制造有限公司的TYFX30 4 82永磁三相同步电动机的调速范 围为180 2460rad min 即3 41rad s 采用的是的转子磁链定向控制 0 d i Permanent Magnet Synchronous Machine 永磁同步电动机 的参数设置如 下 电机的极对数 定子的相绕组电阻 永磁体磁链4 p n 875 2 s R 定子dq轴的电感 均取0 85mH 转动惯量 转Wb f 175 0 d L q L 2 0008 0 mKgJ 子与负载之间的粘性摩擦系数 59 系统空载起动进入稳态后 在 0 F 的时候突然加入负载 st04 0 mNTL 10 由式 4 42 得 4 49 qqqq fd iiL Wb 4 3 105 8 2625 0 175 0 5 15 1 将电机参数及式 4 49 代入式 4 39 至 4 41 得永磁同步电动机的状态 方程 sL p dqqd p F J T J n ii J n dt d 1 2 4 50 Lq Ti 33 1051025 5 4 51 dqs d d q d qs d d sd ui L u i L L i L R dt di 5 1176 33 3 3 3333 3 5 1 q q q fs q q s ds q d q L u L i L R i L L dt di 4 52 qsq ui 5 1176 8 308 4 3382 图4 3 单个永磁同步电动机的矢量控制系统的Simulink仿真模型 电机的转速反馈后与参考转速比较 转速差送入PID速度控制模块 其结 构如图4 4所示 输出为参考电流 图中 P为PID控制器的比例参数 这里取 q i 为0 8 I为PID控制器的积分参数 这里取为35 D为微分参数 这里取为 0 Saturation为饱和限幅模块 它的作用是将输出的参考电流限幅在要求的范 围之内 图4 4 PID速度控制模块框图 模块将坐标系的两相参考电流变换为三相坐标系里的三相电流 dqtoabcdq dqtoabc模块的结构图如图4 5所示 分别为坐标系里的两相参 iqrefidrefdq 考电流 为 为转子位置信号 q i d iioref 0 i the 图4 5 dqtoabc模块内部结构框图 图中的 分别为计算三相坐标系 iACalculate iBCalculate iCCalculate 中的三相电流的表达式 由式 4 46 式 4 47 式 4 48 结合图4 5 可知 的表达式分别为 iACalculate iBCalculate iCCalculate u 3 sqrt 1 2 sin u 4 u 2 cos u 4 u 1 sqrt 2 3 u 3 sqrt 1 2 pi 3 2 sin u 4 u 2 pi 3 2 cos u 4 u 1 sqrt 2 3 u 3 sqrt 1 2 pi 3 2sin u 4 u 2 pi 3 2cos u 4 u 1 sqrt