2014届高考数学总复习提升练习：《古典概型》（苏教版）

古典概型古典概型 A 组 一 填空题 1 2012 高考广东卷 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 解析 分类讨论法求解 个位数与十位数之和为奇数 则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数 所以可以分 两类 1 当个位为奇数时 有 5 4 20 个 符合条件的两位数 2 当个位为偶数时 有 5 5 25 个 符合条件的两位数 因此共有 20 25 45 个 符合条件的两位数 其中个位数为 0 的两位数有 5 个 所以 所求概率为P 5 45 1 9 答案 1 9 2 一个盒子中有 2n个完全相同的球 分别标以号码 1 2 3 2n 从中任取一球 则此球的号码为偶数的概率为 解析 任取一球 共有 2n种可能的结果 而 号码为偶数 这个事件含 2 4 6 8 10 2n 共n种结果 故所求概率为 n 2n 1 2 答案 1 2 3 2011 高考陕西卷 甲乙两人一起去游 2011 西安世园会 他们约定 各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览 每个景点参观 1 小时 则最后一小时他们同在一个 景点的概率是 解析 若用 1 2 3 4 5 6 代表 6 处景点 显然甲 乙两人对最后一个景点的选 择结果为 1 1 1 2 1 3 6 6 共 36 种 其中满足题意的 同一景点 相遇 包括 1 1 2 2 3 3 6 6 共 6 个基本事件 所以所求的概率为 1 6 答案 1 6 4 2011 高考四川卷 在集合 1 2 3 4 5 中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原 点为起点的向量 a b 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻 边作平行四边形 记所有作成的平行四边形的个数为n 其中面积等于 2 的平行四边形 的个数为m 则 m n 解析 向量 的坐标有 2 1 2 3 2 5 4 1 4 3 4 5 共 6 种 情况 以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有 15 个 以a b为邻边所作平行四边形的面积为 S a b sin a b a b 1 cos2 a b a b 1 a b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a b 2 分别以a 2 1 b 4 1 a 2 1 b 4 3 a 4 5 b 2 3 为邻 边的平行四边形面积为 2 故m 3 所以 m n 3 15 1 5 答案 1 5 5 2011 高考江苏卷 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机地取两个数 则其中一个数是 另一个数的两倍的概率是 解析 采用枚举法 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 基本事件为 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共 6 个 符合 一个数是另一个 数的两倍 的基本事件有 1 2 2 4 共 2 个 所以所求的概率为 1 3 答案 1 3 6 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m n作为P点的坐标 则点P落在圆x2 y2 16 内的概率是 解析 以 2 颗骰子的点数作为P点的坐标有 36 个 其中落在圆x2 y2 16 内的点有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 共 8 个 于是所求概率为P 8 36 2 9 答案 2 9 7 2012 高考浙江卷 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中 随机 等可能 取两点 则该两点间的距离为的概率是 2 2 解析 设正方形ABCD的中心为O 从A B C D O五点中 随机取两 点 所有可能结果为AB AC AD AO BC BD BO CD CO DO 共 10 种 其中距离为的结果有AO BO CO DO共 4 种 故所求概率为 2 2 4 10 2 5 答案 2 5 二 解答题 8 有编号为A1 A2 A10的 10 个零件 测量其直径 单位 cm 得到下面数据 编号 A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 直径 1 511 491 491 511 491 511 471 461 531 47 其中直径在区间 1 48 1 52 内的零件为一等品 1 从上述 10 个零件中 随机抽取一个 求这个零件为一等品的概率 2 从一等品零件中 随机抽取 2 个 用零件的编号列出所有可能的抽取结果 求这 2 个零件直径相等的概率 解 1 由所给数据可知 一等品零件共有 6 个 设 从 10 个零件中 随机抽取一个 为一等品 为事件A 则P A 6 10 3 5 2 一等品零件的编号为A1 A2 A3 A4 A5 A6 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个 所有可能的结果有 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A2 A6 A3 A4 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共有 15 种 从一等品零件中 随机抽取的 2 个零件直径相等 记为事件B 的所有可能结果有 A1 A4 A1 A6 A4 A6 A2 A3 A2 A5 A3 A5 共有 6 种 所以P B 6 15 2 5 9 2011 高考陕西卷 如图 A地到火车站共有两条路径L1和L2 现随机抽取 100 位从 A地到达火车站的人进行调查 调查结果如下 所用时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 选择L1的人数 612181212 选择L2的人数 0416164 1 试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率 2 分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率 3 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允 许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 解 1 由已知共调查了 100 人 其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为 0 44 2 选择L1的有 60 人 选择L2的有 40 人 故由调查结果得频率为 所用时间 分钟 10 2020 3030 4040 5050 60 L1的频率 0 10 20 30 20 2 L2的频率 00 10 40 40 1 3 A1 A2分别表示甲选择L1和L2时 在 40 分钟内赶到火车站 B1 B2分别表示乙选择L1和L2时 在 50 分钟内赶到火车站 由 2 知P A1 0 1 0 2 0 3 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 P A1 P A2 甲应选择L1 P B1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 P B2 P B1 乙应选择L2 B 组 一 填空题 1 2012 高考上海卷 三位同学参加跳高 跳远 铅球项目的比赛 若每人都选择其中两 个项目 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 结果用最简分数表示 解析 由题意可知 每人都选择其中两个项目 则三人共有 C 3 27 种选法 有且 2 3 仅有两人选择的项目完全相同的有 C C C 18 种选法 所以所求事件概率为P 2 31 31 2 18 27 2 3 答案 2 3 2 2012 高考重庆卷 某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文 数学 外语三门文化课 和其它三门艺术课各 1 节 则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课 的概率为 用数字作答 解析 相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课 可以分两类 第一类 文化课之间不排艺术课 设此事件为A 则P A 1 5 第二类 文化课之间排艺术课 设此事件为B 三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为 2C A A 1 3 3 3 3 3 三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为 A A A P B 3 3 2 3 2 2 2 5 P P A P B 1 5 2 5 3 5 答案 3 5 3 2013 山东模拟冲刺 从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛 已知三 人中至少有一人是女生的概率是 则n 34 35 解析 三人中没有女生的概率为 三人中至少有一人是女生的概率为 1 由题意得 1 解得n 4 34 35 答案 n 4 4 2013 浙江金华十校模拟 下课后教室里最后还剩下 2 位男同学和 2 位女同学 如果没 有 2 位同学一块走 则第二位走的是男同学的概率是 解析 每个同学均可能在第二位走 故共有 4 种情况 而男同学有 2 个 故所求概率 为P 2 4 1 2 答案 1 2 5 2013 苏南八校三模 某种饮料每箱装 6 听 其中有 4 听合格 2 听不合格 现质检人 员从中随机抽取 2 听进行检测 则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 解析 从 6 听饮料中任取 2 听饮料 这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有 15 个 而 抽到不合格饮料 含有 9 个基本事件 所以检测到不合格饮料的概率为P 9 15 3 5 答案 3 5 6 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 乙从该正方形四个顶点中任意选择 两个顶点连成直线 则所得的两条直线相互垂直的概率是 解析 正方形四个顶点可以确定 6 条直线 甲乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本 事件 两条直线相互垂直的情况有 5 种 4 组邻边和对角线 包括 10 个基本事件 所 以概率等于 5 18 答案 5 18 7 2013 镇江模拟 一袋中装有大小相同 编号分别为 1 2 3 4 5 6 7 8 的八个 球 从中有放回地每次取一个球 共取 2 次 则取得两个球的编号和不小于 15 的概率 为 解析 基本事件为 1 1 1 2 1 8 2 1 2 2 8 8 共 64 种 两球编号之和不小于 15 的情况有三种 分别为 7 8 8 7 8 8 所求 概率为 3 64 答案 3 64 二 解答题 8 2013 常州模拟 将一颗骰子先后抛掷 2 次 观察向上的点数 求 1 两数中至少有一个奇数的概率 2 以第一次向上的点数为横坐标x 第二次向上的点数为纵坐标y的点 x y 在圆 x2 y2 15 的内部的概率 解 将一颗骰子先后抛掷 2 次 此问题中含有 36 个等可能基本事件 1 记 两数中至少有一个奇数 为事件B 则事件B与 两数均为偶数 为对立事件 所以P B 1 9 36 3 4 即两数中至少有一个奇数的概率为 3 4 2 基本事件总数为 36 点 x y 在圆x2 y2 15 的内部记为事件C 则C包含 8 个 事件 所以P C 8 36 2 9 即点 x y 在圆x2 y2 15 的内部的概率为 2 9 9 现有 7 名数理化成绩优秀者 其中A1 A2 A3的数学成绩优秀 B1 B2的物理成绩优秀 C1 C2的化学成绩优秀 从中选出数学 物理 化学成绩优秀者 1 名 组成一个小组代 表学校参加竞赛 1 求C1被选中的概率 2 求A1和B1不全被选中的概率 解 1 从 7 人中选出数学 物理 化学成绩优秀者各 1 名 其一切可能的结果组成的 12 个基本事件为 A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2 C1 A1 B2 C2 A2 B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2 A3 B1 C1 A3 B1 C2