静力流体力学例题

第三章第三章 流体静力学流体静力学 3 2 图 3 35 所示为一直煤气管 为求管中静止煤气的密 度 在高度差 H 20m 的两个截面装 U 形管测压计 内装水 已知 管外空气的密度 a 1 28kg m3 测压计读数 h1 100mm h2 115mm 与水相比 U 形管中气柱的影响可以忽略 求管内煤气的密度 图 3 35 习题 3 2 示意图 解 1air1OH1gas 2 pghp 2air2OH2gas 2 pghp 2gasgas1gas pgHp 2airair1air pgHp 2gasgas1air1OH2 pgHpgh gHghpp air2OH1air2gas 2 gHghgHgh air2OHgas1OH 22 HHhh gasair2OH1OH 22 3 air 21 OHgas kg m53 0 28 1 20 115 0 1 0 1000 2 H hh 3 10 试按复式水银测压计 图 3 43 的读数算出锅炉中 水面上蒸汽的绝对压强 p 已知 H 3m h1 1 4m h2 2 5m h3 1 2m h4 2 3m 水银的密度 Hg 13600kg m3 图 3 43 习题 3 10 示意图 解 phHgp 1OH1 2 212Hg1 phhgp 232OH3 2 phhgp a34Hg3 phhgp 212Hg1OH2 phhgphHg a34Hg232OH2 phhgphhg a3412Hg321OH2 phhhhgphhhHg Pa14 366310 1013252 15 24 13807 9 10004 15 22 13 2807 913600 a321OH1234Hg 2 phhhHghhhhgp Pa366300 683 1013252 15 24 1380665 9 10004 15 22 13 280665 9 13600 a321OH1234Hg 2 phhhHghhhhgp 3 15 图 3 48 所示为一等加速向下运动的盛水容器 水深 h 2m 加速度 a 4 9m s2 试确定 1 容器底部的流体绝对静压 强 2 加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强 3 加 速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零 图 3 48 习题 3 15 示意图 解 0 x f0 y fgafz 压强差公式 zfyfxfp zyx dddd zgazfyfxfp zyx ddddd hp p zgap a 0 dd g a ghaghgahgapp a 10 g a ghpp a 1 aghpp a h pp ga a 1 Pa111138 39 480665 921000101325 aghpp a 2 2 sm80665 9 g h pp g h pp ga aaa 3 2 sm60 46915 21000 1013250 80665 9 h pp ga a 3 16 图 3 49 所示为一圆柱形容器 直径 d 300mm 高 H 500mm 容器内装水 水深 h1 300mm 使容器绕铅直轴作等角 速旋转 1 试确定水正好不溢出时的转速 n1 2 求刚好露出容 器底面时的转速 n2 这时容器停止旋转 水静止后的深度 h2等于多 少 图 3 49 习题 3 16 示意图 解 初始状态圆筒中没有水的那部分空间体积的大小为 1 1 2 4 1 hHdV 圆筒以转速 n1旋转后 将形成如图所示的旋转抛物面的等压面 令 h 为抛物面顶点到容器边缘的高度 空体积旋转后形成的旋转抛 物体的体积等于具有相同底面等高的圆柱体的体积的一半 2 hdV 2 4 1 2 1 由 1 2 得 3 hdhHd 2 1 2 4 1 2 1 4 1 即 4 1 2hHh 等角速度旋转容器中液体相对平衡时等压面的方程为 5 Cgz r 2 22 对于自由液面 C 0 圆筒以转速 n1旋转时 自由液面上 边缘处 则 2 d r hz 6 0 2 2 2 2 gh d 得 7 d gh22 由于 8 60 2 1 n 9 d gh d gh n 260223030 1 1 水正好不溢出时 由式 4 9 得 10 d hHg d hHg n 11 1 1202260 即 minr178 3 3 0 3 05 080665 9 120 1 n 2 求刚好露出容器底面时 h H 则 minr199 4 3 0 5 080665 9 260260260 1 d gH d gh n 3 旋转时 旋转抛物体的体积等于圆柱形容器体积的一半 11 HdV 2 4 1 2 1 这时容器停止旋转 水静止后的深度 h2 无水部分的体积为 12 2 2 4 1 hHdV 由 11 12 得 13 2 22 4 1 4 1 2 1 hHdHd 得 m25 0 2 5 0 2 2 H h 3 21 图 3 54 所示为绕铰链 O 转动的倾斜角 60 的自动 开启式水闸 当水闸一侧的水位 H 2m 另一侧的水位 h 0 4m 时 闸门自动开启 试求铰链至水闸下端的距离 x 图 3 54 习题 3 21 示意图 解 设水闸宽度为 b 水闸左侧水淹没的闸门长度为 l1 水 闸右侧水淹没的闸门长度为 l2 作用在水闸左侧压力为 1 111 AghF cp 其中 2 1 H hc sin 1 H l sin 11 H bblA 则 2 sin2sin2 2 1 bgHH b H gFp 作用在水闸右侧压力为 3 222 AghF cp 其中 2 2 h hc sin 2 h l sin 22 h bblA 则 4 sin2sin2 2 2 bghh b h gFp 由于矩形平面的压力中心的坐标为 5 l bl l bl l Ax I xx c cy cD 3 2 2 12 2 3 所以 水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为 6 sin3 2 1 H xD 水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为 7 sin3 2 2 H xD 对通过 O 点垂直于图面的轴取矩 设水闸左侧的力臂为 d1 则 8 xxld D 111 得 9 sin3sin3 2 sin 111 H x HH xxlxd D 设水闸右侧的力臂为 d2 则 10 xxld D 222 得 11 sin3sin3 2 sin 222 h x hh xxlxd D 当满足闸门自动开启条件时 对于通过 O 点垂直于图面的轴的 合力矩应为零 因此 12 0 2211 dFdF pp 则 13 sin3sin2sin3sin2 22 h x bghH x bgH sin3sin3 22 h xh H xH 3322 sin3 1 hHxhH hH hHhH hH hH x 22 22 33 sin3 1 sin3 1 m0 795 4 02 4 04 022 60sin3 1 22 x 3 29 如图 3 62 所示 直径 d 1m 高 H 1 5m 的圆柱形容 器内充满密度 900kg m3的液体 顶盖中心开孔通大气 若容器绕 中心轴以 n 50r min 的转速旋转 求容器的上盖 底面和侧面所受 的液体总压力 图 3 62 习题 3 29 示意图 解 由题设所述的容器内的压强分布与等角速度旋转运动 容器中液体的静压强分布相同 为 1 z g r gpp a 2 22 则计示压强为 2 z g r gpe 2 22 1 作用在上盖的计示压强为 3 2 22 1 r pe 设圆柱体的底面积为 Ad 则作用在上盖的总压力为 42 4 2 0 42 0 32 0 22 11 64 1 24 1 4 1 dd2 2 d 222 d d rrrrr r ApF ddd d A ep 4 由于 5 3060 2nn 6 4234 2 1 57600 1 3064 1 dnd n Fp N1211150900 57600 1 423 1 p F 2 作用在底面的计示压强为 7 gH r gHpp ee 2 22 12 则作用在底面的总压力为 2 1 2 1 0 2 1 00 22 0 22 22 4 1 2 d2d2 2 d2 2 d 2222 gHdF d gHF rgHFrrgHrr r rrgH r ApF pp p A ep dddd d 8 N1160915 180665 9 900 4 1 150900 57600 1 2423 2 p F 3 由式 3 可知 作用在上盖边缘的计示压强为 9 82 2 22 2 2 b1 d d pe 则作用在侧面的计示压强为 10 gh d ghpp ee 8 22 b13 设圆柱体的侧面积为 Ac 则作用在侧面的总压力为 11 28 2 22 2 28 dd 2 dd 28 dd 2 dd 28 dd 28 d 8 d 232 222 0 2 0 2 00 22 0 2 00 2 0