西南交通大学数值分析上机报告

1 / 46西南交通大学数值分析上机报告数值分析上机实习报告学 号：姓 名：专 业：联系电话：任课教师：序 . 1一、必做题.2 / 46. 21、问题一 . 2问题重述 . 2实验方法介绍 . 2实验结果 .3 / 46. 32、问题二 . 5问题重述 . 5实验原理 . 5雅各比算法：将系数矩阵 A 分解为：A=L+U+D，则推到的最后迭代公式为： . 6实验结果 .4 / 46. 6二、选做题. 83、 问题三 . 8问题重述 . 8实验原理 . 95 / 46实验结果 . 9总 结 . 10序伴随着计算机技术的飞速发展，所有的学科都走向定量化和准确化，从而产生了一系列的计算性的学科分支，而数值计算方法就是解决计算问题的桥梁和工具。数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，是在计算机上使用的解数学问题的方法。为了提高计算能力，需要结合计算能力与计算效率，因此，用来解决数值计算的软件因为高效率的计算凸显的十分重要。数值方法是用来解决数值问题的计算公式，而数值方法的6 / 46有效性需要根据其方法本身的好坏以及数值本身的好坏来综合判断。数值计算方法计算的结果大多数都是近似值，但是理论的严密性又要求我们不仅要掌握将基本的算法，还要了解必要的误差分析，以验证计算结果的可靠性。数值计算一般涉及的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题，从而对应解决实际中的工程技术问题。在借助 MATLAB、 JAVA、 C+ 和 VB 软件解决数学模型求解过程中，可以极大的提高计算效率。本实验采用的是MATLAB 软件来解决数值计算问题。MATLAB 是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，其对解决矩阵运算、绘制函数/数据图像等有非常高的效率。本文采用 MATLAB 对多项式拟合、雅雅格比法与高斯赛德尔迭代法求解方程组迭代求解，对 Runge-Kutta 4 阶算法进行编程，并通过实例求解验证了其可行性，使用不同方法对计算进行比较，得出不同方法的收敛性与迭代次数的多少，比较各种方法的精确度和解的收敛速度。2016 数值分析作业7 / 46一、必做题1、问题一问题重述实验数据某过程涉及两变量 x 和 y, 拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知 xi 与 yi 之间的对应数据如下，xi=1,2,10yi = - - 下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。xi =Columns 1 through 78 / 46Columns 8 through 14Columns 15 through 17yi =Columns 1 through 7- -Columns 8 through 14- - - Columns 15 through 17实验内容9 / 46用次数分别为 3，4，5，6 的多项式拟合并给出最好近似结果 f(x)。用插值多项式给出最好近似结果实验方法介绍多项式拟合在 MATLAB 中，提供了 polyfit 函数来计算多项式拟合系数，其设定曲线拟合的目标是最小二乘法，polyfit 的函数调用格式是：p,s,mu=ployfit(x,y,n)其中，x 和 y 表示的是已知的数据，n 是多项式拟合阶数。通过最小二乘法原理得到的拟合曲线多项式是：y?p1xn?p2xn?1?pnx?pn?1拉格朗日插值法10 / 46拉格朗日插值法是利用拉格朗日基函数来进行拟合：拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数，构造多项式为拉格朗日差值多项式。实验结果最小二乘多项式拟合结果各次拟合结果系数3 次多项式系数：- - 4 次多项式系数：- - 5 次多项式系数： - - -6 次多项式系数： - - - -11 / 46绘制拟合曲线利用 MATLAB 调用函数 ployfit 来进行绘图，程序代码，绘制的 3、4、5、6 阶拟合图像如下图 1 所示：数值分析课程上机作业计算报告班 级：学 号： 姓 名：专 业：大地测量学及测绘工程指导老师：联系电话：数值分析上机实验报告序 言12 / 46通过数值分析的理论知识的学习，此次实验将我们学过的理论知识运用于实践之中。本次实验，我选用的计算机语言为 MATLAB，其主要有一下几个特点。1编程效率高MATLAB 是一种面向科学与工程计算的高级语言，允许使用数学形式的语言编写程序，且比 BASIC、FORTRAN 和 C 等语言更加接近我们书写计算公式的思维方式，用 MATLAB 编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题。因此，MATLAB 语言也可通俗地称为演算纸式科学算法语言。由于它编写简单，所以编程效率高，易学易懂2. 用户使用方便MATLAB 语言与其他语言相比，较好的解决了上述问题，把编辑、编译、链接和执行融为一体。它能在同一画面上进行灵活操作，快速排除输入程序中的书写错误、语法错误以至语义错误，从而加快了用户编写、修改和调试程序的速度，可以说在编程和调试过程中它是一种比 VB 还要简单的语言。13 / 463. 方便的绘图功能MATLAB 的绘图是十分方便的，它有一系列绘图函数，例如线性坐标、对数坐标、半对数坐标及极坐标，均只需调用不同的绘图函数，在图上标出图题、XY 轴标注，格绘制也只需调用相应的命令，简单易行。另外，在调用绘图函数时调整自变量可绘出不变颜色的点、线、复线或多重线。这种为科学研究着想的设计是通用的编程语言所不能及的。数值分析上机实验报告目 录1.实验一 1题目 14 / 46 1计算思路 1计算结果 1总结 15 / 46 62.第二题 7题目 7松弛思想分析 16 / 46 7问题的求解 7总结 103.第三题 17 / 46 11题目 11Runge-Kutta 法的基本思想 11问题的求解 1118 / 46问题的总结 (来自: 海达范文网:西南交通大学数值分析上机报告) 14 总结 15 附件 16实验一程序设计 19 / 46 16 实验二程序设计 16 实验三程序设计 17数值分析上机实验报告实验一：插值问题题目已知：a=-5,b=5, 以下是某函数 f(x)的一些点, 其中xk=a+(k-1) ,k=1,.,101；。20 / 46请用插值类方法给出函数 f(x)的一个解决方案和具体结果。并通过实验考虑下列问题：Ln(x)的次数 n 越高，逼近 f(x)的程度越好？高次插值收敛性如何？如何选择等距插值多项式次数 ？若要精度增高，你有什么想法？ 比如一定用插值吗？逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？(7) 如何比较好的使用插值多项式呢？计算思路本题我选用拉格朗日插值函数，拉格朗日插值函数的构建算法是从 101 组数据中等距选取 n 组数据来构造 n 阶的拉21 / 46格朗日插值函数，然后在-5,5区间选取 m 个插值点带入插值多项式计算出 m 组，本题中，我分别取了n=6,8,10，20 四种不同的阶数，然后利用 matlab 绘图命令查看插值函数图像与原函数图像的逼近效果。1数值分析上机实验报告计算结果当阶数为 5 阶时，插值图像与原函数图象如下所示表 1由图象可以看出，除了在插值点附近的拟合效果还可以，其他的点都差距比较大，总的来说效果不是很好。2数值分析上机报告22 / 46姓 名： 学 号： 专 业：联系电话：Matlab 是一种用于算法开发、本次数值分析上机实习采用Matlab 数学软件。数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。在数值分析应用中可以直接调用 Matlab 软件中已有的函数，同时用户也可以将自己编写的实用导入到 Matlab 函数库中方便自己调用。基于 Matlab 数学软件的各种实用性功能与优点，本次数值分析实习决定采用其作为分析计算工具。1语言简洁，编程效率高因为 MATLAB 定义了专门用于矩阵运算的运算符，使得矩阵运算就像列出算式执行标量运算一样简单，而且这些运算符本身就能执行向量和标量的多种运算。利用这些运算符可使一般高级语言中的循环结构变成一个简单的 MATLAB 语句，再结合 MATLAB 丰富的库函数可使变得相当简短，几条语句即可代替数十行 C 语言或 Fortran 语言语句的功能。23 / 462. 交互性好，使用方便在 MATLAB 的命令窗口中，输入一条命令，立即就能看到该命令的执行结果，体现了良好的交互性。交互方式减少了编程和调试的工作量，给使用者带来了极大的方便。因为不用像使用 C 语言和 Fortran 语言那样，首先编写源，然后对其进行编译、连接，待形成可执行文件后，方可运行得出结果。3. 强大的绘图能力，便于数据可视化MATLAB 不仅能绘制多种不同坐标系中的二维曲线，还能绘制三维曲面，体现了强大的绘图能力。正是这种能力为数据的图形化表示(即数据可视化)提供了有力工具，使数据的展示更加形象生动，有利于揭示数据间的内在关系在新版本中也加入了对 C、FORTRAN、c+、JAVA 的支持，使用时可以直接调用，也可将编写的实用程序导入到matlab 函数库中方便以后使用时调用。 本次编程所用的软件为 MATLAB，通过这次作业，对它有了初步的认识，以及对数值分析的体会更为深刻，希望为以后的学习和工24 / 46作奠定一定的基。目 录1 必做题一 插值法.4 题目. 4 分析过程. 4 计算结果. 5结果分析. 625 / 462 必做题二 雅格比法迭代与高斯赛德尔迭代. 6题目. 6 分析过程. 6 计算结果. 7 结果分析. 83 选做题一.26 / 46. 8题目 三次样条插值. 8 分析过程. 8 计算结果. 9 结果分析. 9 附录. 10附录一：必做题一 插值法代码. 11 附录二：必做题二 雅格比法迭代与高斯赛德尔迭代代码.27 / 46. 12附录三：选做题一 三次样条插值 代码. 141 必做题一 插值法题目某过程涉及两变量 x 和 y, 拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知 xi 与 yi 之间的对应数据如下，xi=1,2,10yi = - - 请用次数分别为 3，4，5，6 的多项式拟合并给出最好近似结果 f(x)。 请用插值多项式给出最好近似结果下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。 xi =28 / 46Columns 1 through 7Columns 8 through 14Columns 15 through 17yi =Columns 1 through 7- -Columns 8 through 14- - - Columns 15 through 17分析过程29 / 46假定拟合函数的形式分别为：32y1?a0x?a1x?a2x?a3y?bx?bx?bx?bx?b432212330 / 464y?cx?cx?cx?cx?cx?c54323123431 / 465y?dx?dx?dx?dx?dx?dx?d；65432412332 / 46456利用 matlab 编程。计算结果拟合公式和拟合图如下 三次多项式拟合结果：y1? 四次多项式拟合结果：y2? 五次多项式拟合结果：y3? 六次多项式拟合结果：y4?33 / 466?图 1 三次多项式拟合 图 2 四次多项式拟合图 3 五次多项式拟合 图 4 六次多项式拟合数值分析上机实习报告要求1应提交一份完整的实习报告。具体要求如下：要有封面，封面上要标明姓名、学号、专业和联系电话； 要有序言，说明所用语言及简要优、特点，说明选用的考量；要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作到信息简明而完全；34 / 46要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会；尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注，指明该部分的功能和作用。2程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。3认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。 4拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。 5报告打印后按要求的时间提交给任课老师。上机实习必须在规定的时间内完成，可要求在考前或考后一个星期内提35 / 46交。不合格者和不交者不通过数值分析 2016 年上机试题1. 已知：a=-5,b=5, 以下是某函数 f(x)的一些点, 其中xk=a+(k-1) ,k=1,.,101 xk=a+,请用插值类方法给出函数 f(x)的一个解决方案和具体结果。并通过实验考虑下列问题 实验前分析：所给的节点一共有 101 个，用 Lagrange 插值发最高可以做次数 100 的插值多项式做低次插值是需要进行分组，间插值区域分成互不重叠的区间。分组时须按区间位置高低的顺序依次划分，有可能最后余下的区间节点数不足够做 n次的 Lagrange 插值(2)(m)多项式，需要特殊处理。分完组后在分得的区间套用插值公式得到：L(1),Ln,?,Ln,n36 / 46那么最后的插值多项式是分段的多项式：?L(1)(x),n?(2)?Ln(x),Ln(x)?L(m)(x),?nx?I1x?I2x?Im实验结果：下面列出其中某些次的插值多项式L5(x)的系数37 / 46(1) Ln(x)的次数 n 越高，逼近 f(x)的程度越好？答：不是，比如 f(x)?1/(1?x2)时nLn(x)?1?xj?01?n?1(x)2j?1(xj)(x?xj)?n当 n?时只在 x?内收敛，在这区间外是发散的。38 / 46(2) 高次插值收敛性如何？答：高阶倒数存在时，高次插值是收敛的，但不一定 (3) 如何选择等距插值多项式次数 ？答：等距插值采用牛顿插值公式，可以选用牛顿前插公式或牛顿后插公式 (4) 若要精度增高，你有什么想法？ 比如一定用插值吗？答：提高精度可以用分段插值的方法，另外不一定非得用插值，也可以用逼近的方法。(5) 逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？答：逼近函数不用插值方式，可以用比原函数计算简单且函数值很接近的新函数来代替。(6) 函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？答：函数之间的误差用范数来衡量。(7) 如何比较好的使用插值多项式呢？39 / 46答： xk =Columns 1 through 7- - - - - - - Columns 8 through 14- - - - - - - Columns 15 through 21- - - Columns 22 through 28- - - Columns 29 through 35- - - Columns 36 through 42- - - Columns 43 through 49- - - Columns 50 through 56- 0 Columns 57 through 63Columns 64 through 7040 / 46Columns 71 through 77Columns 78 through 84Columns 85 through 91Columns 92 through 98Columns 99 through 101y(xk)=yk=Columns 1 through 7Columns 8 through 14- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Columns 15 through 2141 / 46Columns 22 through 28Columns 29 through 35Columns 36 through 42- Columns 43 through 49- - - - - Columns 50 through 56- - Columns 57 through 63- - - - Columns 64 through 70Columns 71 through 77Columns 78 through 84Columns 85 through 91Columns 92 through 9842 / 46Columns 99 through 1012. 松弛因子对 SOR 法收敛速度的影响。 用 SOR 法求解方程组 Ax=b,其中?4?1?1?4.1.1.?41?-3?-2?-2?