高中数学-公式-柯西不等式

第一课时第一课时 3 1 二维形式的柯西不等式 一 2 练习 已知 a b c d 为实数 求证 22222 abcdacbd 提出定理 1 若 a b c d 为实数 则 22222 abcdacbd 证法一 比较法 22222 abcdacbd 2 0adbc 证法二 综合法 222222222222 abcda ca db cb d 要点 展开 配方 222 acbdadbcacbd 证法三 向量法 设向量 则 ma b nc d 22 mab 22 ncd 且 则 m nacbd cos m nmnm n AAA m nmn AA 证法四 函数法 设 则 22222 2 f xabxacbd xcd 0 恒成立 22 f xaxcbxd 0 即 22222 2 4 acbdabcd 二维形式的柯西不等式的一些变式 或 或 2222 abcdacbd A 2222 abcdacbd A 2222 abcdacbd A 提出定理 2 设是两个向量 则 A 即柯西不等式的向量形式 由向量法提出 讨论 上面时候等号成立 是零向量 或者共线 练习 已知 a b c d 为实数 求证 222222 abcdacbd 证法 分析法 平方 应用柯西不等式 讨论 其几何意义 构造三角形 2 教学三角不等式 教学三角不等式 出示定理 3 设 则 1122 x y xyR 222222 11221212 xyxyxxyy 分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式 若 则结合以上几何意义 可得到怎样的三角不等式 112233 x y xyxyR 3 小结 小结 二维柯西不等式的代数形式 向量形式 三角不等式的两种形式 两点 三点 第二课时第二课时 3 1 二维形式的柯西不等式 二 教学过程教学过程 22222 abcdacbd 222222 11221212 xyxyxxyy 3 如何利用二维柯西不等式求函数的最大值 12yxx 要点 利用变式 2222 acbdabcd A 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学最大 小 值 教学最大 小 值 出示例 1 求函数的最大值 31102yxx 分析 如何变形 构造柯西不等式的形式 板演 变式 推广 31102yxx ya bxcd efx a b c d e fR 练习 已知 求的最小值 321xy 22 xy 解答要点 凑配法 2222222 111 32 32 131313 xyxyxy 2 教学不等式的证明 教学不等式的证明 出示例 2 若 求证 x yR 2xy 11 2 xy 分析 如何变形后利用柯西不等式 注意对比 构造 要点 2222 11111111 22 xyxy xyxyxy 讨论 其它证法 利用基本不等式 练习 已知 求证 abR 11 4ab ab 3 练习练习 已知 且 则的最小值 x y a bR 1 ab xy xy 要点 其它证法 ab xyxy xy 若 且 求的最小值 要点 利用三维柯西不等式 x y zR 1xyz 222 xyz 变式 若 且 求的最大值 x y zR 1xyz xyz 第三课时第三课时 3 2 一般形式的柯西不等式 2 提问 二维形式的柯西不等式 如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维 答案 22222 abcdacbd 2222222 abcdefadbecf 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学一般形式的柯西不等式 教学一般形式的柯西不等式 提问 由平面向量的柯西不等式 如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式 A 猜想 n 维向量的坐标 n 维向量的柯西不等式及代数形式 结论 设 则 1212 nn a aa b bbR 2222222 12121 122 nnnn aaabbba ba ba b 讨论 什么时候取等号 当且仅当时取等号 假设 12 12 n n aaa bbb 0 i b 联想 设 则有 可联想到 1 122nn Ba ba ba b 222 12n Aaaa 222 12n Cbbb 2 0BAC 一些什么 讨论 如何构造二次函数证明 n 维形式的柯西不等式 注意分类 要点 令 则 2222 121 122 2 nnn f xaaaxa ba ba b x 222 12 n bbb 222 1122 0 nn f xa xba xba xb 又 从而结合二次函数的图像可知 222 12 0 n aaa 0 2 222 1 12212 2 4 nnn a ba ba baaa A 222 12 n bbb 即有要证明的结论成立 注意 分析什么时候等号成立 变式 讨论如何证明 2222 1212 1 nn aaaaaa n 2 教学柯西不等式的应用 教学柯西不等式的应用 出示例 1 已知 求的最小值 321xyz 222 xyz 分析 如何变形后构造柯西不等式 板演 变式 练习 若 且 求的最小值 x y zR 111 1 xyz 23 yz x 出示例 2 若 求证 abc cacbba 411 要点 2 1111 1 1 4acabbc abbcabbc 提出排序不等式 即排序原理 设有两个有序实数组 是 的任一 12 aa n a 12 bb n b 12 c c n c 12 b b n b 排列 则有 同序和 1 122 a ba b nn a b 乱序和 1 122 a ca c nn a c 反序和 121nn a ba b 1n a b 当且仅当 或 时 反序和等于同序和 12 aa n a 12 bb n b 要点 理解其思想 记住其形式 2 教学排序不等式的应用 教学排序不等式的应用 出示例 1 设是 n 个互不相同的正整数 求证 12 n a aa 32 1 222 111 1 2323 n aaa a nn 分析 如何构造有序排列 如何运用套用排序不等式 证明过程 设是的一个排列 且 则 12 n b bb 12 n a aa 12n bbb 12 1 2 n bbbn 又 由排序不等式 得 222 111 1 23n 3322 11 222222 2323 nn aabbab ab nn 小结 分析目标 构