三角形全等(教师用)

例例 2 如图 2 2 所示 ABC 是等腰三角形 D E 分别是腰 AB 及 AC 延长线上的一点 且 BD CE 连接 DE 交底 BC 于 G 求证 GD GE 分析分析 从图形看 GE GD 分别属于两个显然不全等的三角形 GEC 和 GBD 此 时就要利用这两个三角形中已有的等量条件 结合已知添加辅助线 构造全等三角形 方 法不止一种 下面证法是其中之一 证证 过 E 作 EF AB 且交 BC 延长线于 F 在 GBD 及 GEF 中 BGD EGF 对顶角 B F 两直线平行内错角相等 又 B ACB ECF F 所以 ECF 是等腰三角形 从而 EC EF 又因为 EC BD 所以 BD EF 由 GBD GEF AAS 所以 GD GE 说明说明 适当添加辅助线 构造全等三角形的方法可以不止一种 本题至少还有以下两种 方法 1 过 D 作 DF AC 交 BC 于 F 可用同样方法证明 GFD GCE 图 2 3 2 过 D 作 DF BC 于 F 过 E 作 EH BC 于 BC 延长线于 H 可证明 GFD GEH 图 2 4 例例 3 如图 2 5 所示 在等边三角形 ABC 中 AE CD AD BE 交于 P 点 BQ AD 于 Q 求证 BP 2PQ 分析分析 首先看到 BP PQ 在 Rt BPQ 之中 只要证明 BPQ 60 或 PBQ 30 然而 BPQ 是 ABP 的一个外角 所以 BPQ PAB PBA 但 A PAB PAC 60 若能证明 PBA PAC 问题即能解决 这两个角分别在 ABE 与 CAD 中 可以证明这两个三 角形全等 证证 在 ABE 与 CAD 中 EAB DCA 60 AB CA AE CD 所以 ABE CAD SAS 所以 ABE CAD 由于 BPQ 是 ABP 的外角 所以 BPQ PAB PBA PAB CAD 60 在 Rt BQP 中 BPQ 60 PBQ 30 所以 BP 2PQ 在 Rt BPQ 中 30 角的对边等于斜边的一半 说明说明 发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键 为此 我们常从发现 两个三角形中对应元素相等入手 逐步发现或经推理 凑齐 三角形全等的条件 如本题 在分析到欲证 ABP CAD 后 进而把注意力集中到 ABE 与 CAD 中 这里 可适 当利用几何直观感觉 启发我们寻找有希望全等的三角形 例如虽然 ABP 与 APE 都含 欲证的角 但只需观察即可知 这两个三角形无望全等 例例 4 如图 2 6 所示 A 90 AB AC M 是 AC 边的中点 AD BM 交 BC 于 D 交 BM 于 E 求证 AMB DMC 分析分析 1 从图形观察 AME 与 DMC 所在的两个三角形 AME 与 DMC 显然不全等 但是这两个三角形中有其他相等元素 AM MC 若 能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素 形成全 等三角形 这是理想不过的事 由于 C 45 A 90 若作 A 的平分线 AG 则在 AGM 中 GAM 45 C 结合求证中的 AMB DMC 这当然不能作为已知 但 在分析中可以 当作已知 来考虑 以便寻找思路 我们可以断言 AGM 应该 与 CDM 全等 为此 只要在这两个三角形中求得一组边相等即可 图形及条件启发我们可考 虑去证明 AGB CDA 证法证法 1 作 BAC 的平分线 AG 交 BM 于 G 在 AGB 与 CDA 中 因为 AB CA BAG ACD 45 ABG 90 AMB MAD 90 EAB 由于 在 Rt MAB 中 AE BM 所以 AMB EAB 由 ABG MAD 所以 AGB ADC ASA 于是 AG CD 在 AMG 与 CMD 中 还有 AM MC GAM DCM 45 所以 AMG CMD 从而 AMB DMC 分析分析 2 如图 2 7 所示 注意到在 Rt ABM 中 由 AE BM 得到 MAE MBA 若 延长 AE 过 C 作 CF AC 交 AE 延长线于 F 可构成 Rt ABM Rt ACF 从而有 AMB F 设法证明 DMC F 则 问题获解 证法证法 2 引辅助线如分析 2 所述 在 Rt ABM 与 Rt CAF 中 ABM CAF AB AC 及 BAM ACF 90 所以 Rt ABM Rt CAF ASA 所以 AMB F AM CF 在 MCD 与 FCD 中 FC AM MC 因为 M 是 AC 中点 由于 ACF 90 ACB 45 所以 FCD MCD 45 CD CD 所以 FCD MCD SAS 所以 F DMC 由 AMB DMC 说明说明 这两个证法的思路较为复杂 添加辅助线的结果造出两对全等三角形 第一对全 等三角形产生一些对应相等的元素 为第二对全等三角形做了铺垫 第一对全等三角形将 欲证的一个角 转移 到第二对全等三角形中 从而最后使问题获解 对一些较复杂的问 题采用迂回的办法 因势利导地创造全等三角形 产生更多的相等条件 使欲证的角 或边 转 移位置 走出 死角 最终使问题获解 例例 5 如图 2 8 所示 正方形 ABCD 中 在边 CD 上任取一点 Q 连 AQ 过 D 作 DP AQ 交 AQ 于 R 交 BC 于 P 正方形对角线交点为 O 连 OP OQ 求证 OP OQ 分析分析 欲证 OP OQ 即证明 COP COQ 90 然而 COQ QOD 90 因此只需证明 COP DOQ 即可 这归结为证明 COP DOQ 又归结为证明 CP DQ 最后 再归结为证明 ADQ DCP 的问题 证证 在正方形 ABCD 中 因为 AQ DP 所以 在 Rt ADQ 与 Rt RDQ 中有 RDQ QAD 所以 在 Rt ADQ 与 Rt DCP 中有 AD DC ADQ DCP 90 QAD PDC 所以 ADQ DCP ASA DQ CP 又在 DOQ 与 COP 中 DO CO ODQ OCP 45 所以 DOQ COP SAS DOQ COP 从而 POQ COP COQ DOQ COQ COD 90 即 OP OQ 说明说明 1 利用特殊图形的特殊性质 常可发现有用的条件 如正方形对角线互相垂直 对角线与边成 45 角 及 OA OB OC OD 等均在推证全等三角形中被用到 2 两个三角形的全等与对应元素相等 这两者互为因果 这是利用全等三角形证明问 题的基本技巧 例例 6 如图 2 9 所示 已知正方形 ABCD 中 M 为 CD 的中点 E 为 MC 上一点 且 BAE 2 DAM 求证 AE BC CE 分析分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种 1 通过添辅助线 构造 一条线段使其为求证中的两条线段之和 BC CE 再证所构造的线段与求证中那一条线段相等 2 通过添辅助线先在求证中长线段 AE 上截取与线段中的某一段 如 BC 相等的线段 再证明截剩的部分与线段中的另一段 CE 相等 我们用 1 法来证 明 证证 延长 AB 到 F 使 BF CE 则由正方形性质知 AF AB BF BC CE 下面我们利用全等三角形来证明 AE AF 为此 连接 EF 交边 BC 于 G 由于对顶角 BGF CGE 所以 Rt BGF Rt CGE AAS 从而 于是 Rt ABG Rt ADM SAS 所以 过 G 引 GH AE 于 H 因为 AG 是 EAF 的平分线 所以 GB GH 从而 Rt GBF Rt GHE HL 所以 F HEG 则 AF AE 底角相等的三角形是等腰三角形 即 AE BC CE 说明说明 我们也可以按分析 2 的方法来证明结论 为此可先作 BAE 的平分线 AG 交边 BC 于 G 再作 GH AE 于 H 通过证明 ABG AHG 知 AB AH BC 下面设法证明 HE CE 即可 练练 习习 十十 1 如图 2 10 所示 AD EF BC 相交于 O 点 且 AO OD BO OC EO OF 求 证 AEB DFC 2 如图 2 11 所示 正三角形 ABC 中 P Q R 分别为 AB AC BC 的中点 M 为 BC 上任意一点 不同于 R 且 PMS 为正三角形 求证 RM QS 3 如图 2 12 所示 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上任一点 PF DC PE BC 求 证 AP EF 4 如图 2