解析几何解题技巧

1 高三数学 人教版 第二轮专题辅导讲座 第五讲 解析几何新题型的解题技巧 命题趋向 解析几何例解析几何例命题趋势 1 解析几何解析几何的基本概念 求在不同条件下的直线方程 直线的位置关系 此类题大多都属 中 低档题 以选择 填空题的形式出现 每年必考 2 直线与二次曲线的普遍方程 属低档题 对称问题常以选择题 填空题出现 3 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现 有时会出现 有一定灵活性和综合性较强的题 属中档题 4 有关直线与圆锥曲线的综合题 多以解答题的形式出现 这类题主要考查学生平面几何 知识与代数知识的综合应用能力 分析问题和学生解决问题的能力 对运算能力要求较 高 考点透视 一 直线和圆的方程 1 理解直线的斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的点斜式 两点 式 一般式 并能根据条件熟练地求出直线方程 2 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离公式 能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系 3 了解二元一次不等式表示平面区域 4 了解线性规划的意义 并会简单的应用 5 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 6 掌握圆的标准方程和一般方程 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 二 圆锥曲线方程 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 例题解析 考点 1 求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一 其解法为从曲线的性质入手 构造方程解之 例 1 2006 年安徽卷 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合 则的值 2 2ypx 22 1 62 xy p 为 A B C D 2 24 4 考查意图考查意图 本题主要考查抛物线 椭圆的标准方程和抛物线 椭圆的基本几何性质 解答过程 椭圆的右焦点为 2 0 所以抛物线的焦点为 2 0 则 22 1 62 xy 2 2ypx 4p 故选 D 考点 2 求线段的长 2 求线段的长也是高考题中的常见题型之一 其解法为从曲线的性质入手 找出点的坐标 利用距 离公式解之 例 2 2006 年全国卷 II 已知 ABC 的顶点 B C 在椭圆 y2 1 上 顶点 A 是椭圆的 x 3 一个焦点 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上 则 ABC 的周长是 A 2 B 6 C 4 D 12 33 考查意图考查意图 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用 解答过程 由椭圆方程 y2 1 知 x 3 33 2 0 2 2 33 ABC 2 2 35 32 35 3 22 24 3 3333 ABC ABC 故选 C 例 3 2006 年四川卷 如图 把椭圆的长轴 22 1 2516 xy 分成 等份 过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部AB8x 分于七个点 是椭圆的一个焦点 1234567 P P P P P P P F 则 1234567 PFP FPFP FPFP FP F 考查意图考查意图 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 解答过程 由椭圆的方程知 22 1 2516 xy 2 25 5 aa 1234567 7 2 77 535 2 a PFP FPFP FPFP FP Fa 故填 35 考点 3 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一 其解法为充分利用 1 椭圆的离心率离心率 e 0 1 e 越大则椭圆越扁 a c 2 双曲线的离心率离心率 e 1 e 越大则双曲线开口越大 a c 结合有关知识来解题 例 4 2006 年福建卷 已知双曲线的右焦点为 F 若过点 F 且倾斜角 22 22 1 0 0 xy ab ab 为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 60o A B C D 1 2 1 2 2 2 考查意图考查意图 本题主要考查双曲线的离心率离心率 e 1 的有关知识 a c 解答过程 2 22 2 2 1132 cabb e aaa 例 5 2006 年广东卷 已知双曲线 则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与93 22 yx 点 P 到右准线的距离之比等于 3 A B C 2 D 42 3 32 考查意图考查意图 本题主要考查双曲线的性质和离心率离心率 e 1 的有关知识的应用能力 a c 解答过程 依题意可知 3293 3 22 baca 考点 4 求最大 小 值 求最大 小 值 是高考题中的热点题型之一 其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最 大 小 值 特别是 一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答 例 6 2006 年山东卷 已知抛物线 y2 4x 过点 P 4 0 的直线与抛物线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两 点 则 y12 y22的最小值是 考查意图考查意图 本题主要考查直线与抛物线的位置关系 以及利用不等式求最大 小 值的方法 解 设过点 P 4 0 的直线为 22 4 8164 yk xkxxx 12 2222 2 22 12 22 84160 841 4416 232 k xkxk k yyxx kk 故填 32 考点考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件 圆锥曲线第二定义的统一性 都是考试的重点内容 要能够熟练运用 常用的解题技巧要熟记于心 例 7 已知 P 是椭圆上的点 是椭圆的两个焦点 且 求 2 2 x y1 4 12 F F 12 FPF60 的面积 12 FPF 解答过程 依题意得 在中由余弦定理得 12 PFPF2a4 12 FPF 222 1212 2 3 PFPF2PF PF cos60 2 121212 PFPF 2PF PF2PF PF cos60 解之得 则的面积为 12 4 PF PF 3 12 FPF 12 13 PF PF sin60 23 小结 1 圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重 2 求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中 正 余弦定理非常重要 例 8 已知动点 P 到两个定点 的距离之差为 A 5 0 B 5 0 PA PB 8 1 求点 P 的轨迹方程 2 对于 x 轴上的点 M 若满足 则称点 M 为点 P 对应的 比例点 2 PA PB PM 求证 对任意一个确定的点 P 它总有两个比例点 解答过程 1 因为 且 A 5 0 B 5 0 PA PB 8 所以 点 P 的轨迹是以 A B 为两焦点 实轴长为 8 的双曲线的右支 且 则 a4 c5 b3 则点 P 的轨迹方程是 22 xy 1 x4 169 2 设 双曲线的离心率 111 P x y x4 M m 0 5 e 4 因为 由焦半径公式和距离公式得 2 PA PB PM 4 22 1111 55 x4 x4 xm y 44 2 2 1 1 x xm 9 1 16 整理得 2 1 m2mx70 因 则方程有两个不等实根 22 11 4x284 x7 0 即对于点 P 它总对应两个比例点 小结 1 应用圆锥曲线定义时 要注意其限制条件 在椭圆中 在双曲线中2a2c 且注意差的绝对值 若无绝对值 则曲线为双曲线的一支 2a2c 12 PF PF 2a 2 焦半径公式在计算中非常方便 但双曲线的焦半径不要求记忆 可以利用定义进 行转化 3 求解对应点的个数 通常转化为方程解的个数 这时 判别式就非常重要 例 9 已知椭圆 AB 是它的一条弦 是弦 AB 的中点 若 22 22 xy E 1 ab0 ab M 2 1 以点为焦点 椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点 M 2 1 N 4 1 若椭圆离心率 e 和双曲线离心率之间满足 求 1 e 1 ee1 1 椭圆 E 的离心率 2 双曲线 C 的方程 解答过程 1 设 A B 坐标分别为 1122 A x y B x y 则 二式相减得 22 11 22 xy 1 ab 22 22 22 xy 1 ab 2 1212 AB 2 1212 yy xx b k xx yy a 2 MN 2 2b1 1 k1 a24 所以 则 2222 a2b2 ac 22 a2c c2 e a2 2 椭圆 E 的右准线为 双曲线的离心率 22 a 2c x2c cc 1 1 e2 e 设是双曲线上任一点 则 P x y 22 x2 y 1 PM 2 x2c x2c 两端平方且将代入得 或 N 4 1 c1 c3 当时 双曲线方程为 不合题意 舍去 c1 22 x2 y 1 0 当时 双曲线方程为 即为所求 c3 22 x10 y 1 32 小结 1 点差法 是处理弦的中点与斜率问题的常用方法 2 求解圆锥曲线时 若有焦点 准线 则通常会用到第二定义 考点考点 6 利用向量求曲线方程利用向量求曲线方程 利用向量给出题设条件 可以将复杂的题设简单化 便于理解和计算 典型例题 例 10 2006 年山东卷 双曲线 C 与椭圆有相同的焦点 直线 y 为 C 的一条 22 1 84 xy x3 渐近线 1 求双曲线 C 的方程 5 2 过点 P 0 4 的直线 交双曲线 C 于 A B 两点 交 x 轴于 Q 点 Q 点与 C 的顶点不重合 l 当 且时 求 Q 点的坐标 12 PQQAQB 3 8 21 考查意图考查意图 本题考查利用直线 椭圆 双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 以及运用 数形结合思想 方程和转化的思想解决问题的能力 解答过程 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 由椭圆 求得两焦点为 22 1 84 xy 2 0 2 0 对于双曲线 又为双曲线的一条渐 2C c 3yx C 近线 解得 3 b a 22 1 3ab 双曲线的方程为 C 2 2 1 3 y x 解法一 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程 则 l 11 4 ykxA x y 22 B xy 4 0 Q k 1 PQQA 111 44 4 xy kk 1 111 111 1 44 44 4 4 x kkx kk yy 在双曲线上 11 A x yC 2 1 2 11 11616 10 k 2222 11 16 1632160 3 kk 222 11 16 16 32160 3 kk 同理有 222 22 16 16 32160 3 kk 若则直线 过顶点 不合题意 2 160 k l 2 160 k 是二次方程的两根 12 222 16 16 32160 3 kxxk 此时 12 2 328 163k 2 4k 0 2k 所求的坐标为 Q 2 0 解法二 由题意知直线 的斜率存在且不等于零lk 设 的方程 则 l 1122 4 ykxA x yB xy 4 0 Q k 分的比为 1 PQQA Q PA 1 由定比分点坐标公式得 6 1 1 11 11 11 1 11 44 1 1 44 0 1 x x kk y y 下同解法一 解法三 由题意知直线 的斜率存在且不等于零lk 设 的方程 则 l 1122 4 ykxA x yB xy 4 0 Q k 12 PQQAQB 111222 444 4 xyxy kkk 1122 4yy 1 1 4 y 2 2 4 y 又 即 12 8 3 12 112 3yy 1212 3 2yyy y 将代入得 4ykx 2 2 1 3 y x 222 3 244830kyyk 否则 与渐近线平行 2 30k l 2 1212 22 24483 33 k yyy y kk 2 22 24483 32 33 k kk 2k 2 0 Q 解法四 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零 设 的方程 l 4ykx 则 1122 A x yB xy 4 0 Q k 1 PQQA 111 44 4 xy kk 同理 1 1 1 4 4 4 4 k kx x k 1 2 4 4kx 12 12 448 443kxkx 即 2 1212 25 80k x xk xx 又 2 2 4 1 3 ykx y x 消去 y 得 22 3 8190kxkx 当时 则直线 l 与双曲线得渐近线平行 不合题意 2 30k 2 30k 由韦达定理有 12 2 12 2 8 3 19 3 k xx k x x k 代入 式得 2 4 2kk 7 所求 Q 点的坐标为 2 0 例 11 已知 椭圆的中心在原点 焦点在 x 轴上 过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线交椭圆 于 A B 两点 若椭圆上存在一点 C 使 OAOBOC 1 求椭圆的离心率 2 若 求这个椭圆的方程 AB 15 解答过程 1 设椭圆方程为 焦距为 2c 22 22 xy 1 ab0 ab 则直线 AB 的方程为 yxc 设 1122 A x y B x y 由得 22 22 xy 1 ab yxc 22222222 ab x2a cxa ca b0 则 2 12 22 2a c xx ab 2 1212 22 2b c yyxx2c ab 因 则 OAOBOC 22 2222 2a c2b c C abab 又点 C 在椭圆上 则 2222 222222 4a c4b c 1 ab ab 整理得 即 222 4cab 222 a ac 22 2a5c 所以 c10 e a5 2 AB AF BF 12 aex aex 12 2ae xx 2 22 c2a c 2a a ab 3a 15 2 则 a10 c2 10 2 b60 椭圆方程为 22 xy 1 10060 小结 1 利用向量 可将较复杂的 A B C 三点之间的关系用较简单的形式给出来 2 焦点弦的长度的计算 一般都分割成两段 用定义或焦半径来求解 3 计算复杂是解析几何的通性 要细心 考点考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系 再利用函数求最值的方法求最值 要比只利 用解析几何知识建立等量关系容易 例 12 设椭圆 E 的中心在坐标原点 O 焦点在 x 轴上 离心率为 过点的直线 3 3 C 1 0 交椭圆 E 于 A B 两点 且 求当的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方CA2BC AOB 程 解答过程 因为椭圆的离心率为 故可设椭圆方程为 直线方程为 3 3 22 2x3yt t0 myx1 8 C B A o y x 由得 设 22 2x3yt myx1 22 2m3 y4my2t0 1122 A x y B x y 则 12 2 4m yy 2m3 又 故 CA2BC 1122 x1 y 2 1x y 即 12 y2y 由 得 1 2 8m y 2m3 2 2 4m y 2m3 则 AOB12 2 1m S yy 6 22m3 66 3 2 2 m m 当 即时 面积取最大值 2 3 m 2 6 m 2 AOB 此时 即 2 12 222 2t32m y y 2m3 2m3 t10 所以 直线方程为 椭圆方程为 6 xy10 2 22 2x3y10 小结 利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易 例 13 已知 且 求的最大 PA x5 y PB x5 y PA PB 6 2x3y 12 值和最小值 解答过程 设 P x y A 5 0 B 5 0 因为 且 PA PB 6 AB 2 56 所以 动点 P 的轨迹是以 A B 为焦点 长轴长为 6 的椭圆 椭圆方程为 令 22 xy 1 94 x3cos y2sin 则 2x3y 12 6 2cos 12 4 当时 取最大值 cos 1 4 2x3y 12 126 2 当时 取最小值 cos 1 4 2x3y 12 126 2 小结 利用椭圆的参数方程 可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算 考点考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围 一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值 域问题 例 14 2006 年福建卷 已知椭圆的左焦点为 F 2 2 1 2 x y O 为坐标原点 I 求过点 O F 并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程 l II 设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线与轴交于点 G 求点 G 横坐标的取值范围 x 考查意图考查意图 本小题主要考查直线 圆 椭圆和不等式等基本知识 考 查平面解析几何的基本方法 考查运算能力和综合解题能力 x y l G A B FO 9 F E P D BAO y x 解答过程 I 22 2 1 1 1 0 2 abcFl x 圆过点 O F 圆心 M 在直线上 1 2 x 设则圆半径 1 2 Mt 13 2 22 r 由得 OMr 22 13 22 t 解得2 t 所求圆的方程为 22 19 2 24 xy II 设直线 AB 的方程为 1 0 yk xk 代入整理得 2 2 1 2 x y 2222 12 4220 kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F 方程有两个不等实根 记中点 1122 A x yB xyAB 00 N xy 则 2 12 2 4 21 k xx k 的垂直平分线 NG 的方程为AB 00 1 yyxx k 令得 0 y 222 00 2222 211 212121242 1 0 0 2 G G kkk xxky kkkk kx 点 G 横坐标的取值范围为 1 0 2 例 15 已知双曲线 C B 是右顶点 F 是右焦点 点 A 在 x 轴正半 22 22 xy 1 a0 b0 ab 轴上 且满足成等比数列 过 F 作双曲线 C 在第一 三象限的渐近线的垂 OA OB OF 线 垂足为 P l 1 求证 PA OPPA FP 2 若 与双曲线 C 的左 右两支分别相交于点 D E 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 l 解答过程 1 因成等比数列 故 即 OA OB OF 22 OB a OA c OF 2 a A 0 c 直线 l a y xc b 由 2 a y xc aab b P bcc yx a 10 故 22 abaabbab PA 0 OP FP ccccc 则 即 22 2 a b PA OPPA FP c PA OPPA FP 或 即 PA OPFP PA PFPO PA OF0 PA OPPA FP 2 由 4442 2222 222 222222 a y xc aaa c b x2cx a b 0b bbb b xa ya b 由得 42 22 2 124 2 2 a c a b b x x0 a b b 4422222 babcaae2e2 或由 DFDO kk ab ba 22222 bcaae2e2 小结 向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重 而要运用数量积 必须先恰当地 求出各个点的坐标 例 16 已知 a x 0 b 1 y a3b a3b 1 求点的轨迹 C 的方程 P x y 2 若直线与曲线 C 交于 A B 两点 且 ykxm m0 D 0 1 AD BD 试求 m 的取值范围 解答过程 1 a3b x 0 3 1 y x3 3y a3b x 0 3 1 y x3 3y 因 故 a3b a3b a3b a3b 0 即 22 x3 3y x3 3y x3y30 故 P 点的轨迹方程为 2 2 x y1 3 2 由得 22 ykxm x3y3 222 1 3k x6kmx3m30 设 A B 的中点为 1122 A x y B x y 00 M x y 则 22222 6km 4 1 3k 3m3 12 m1 3k 0 12 2 6km xx 1 3k 12 0 2 xx3km x 21 3k 00 2 m ykxm 1 3k 即 A B 的中点为 22 3kmm 1 3k1 3k 则线段 AB 的垂直平分线为 22 m13km y x 1 3kk1 3k 11 P Q C B A x y O 将的坐标代入 化简得 D 0 1 2 4m3k1 则由得 解之得或 22 2 m1 3k0 4m3k1 2 m4m0 m0 m4 又 所以 2 4m3k11 1 m 4 故 m 的取值范围是 1 0 4 4 小结 求变量的范围 要注意式子的隐含条件 否则会产生增根现象 考点考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题 其一般解法是先假设命题存在 用待定系数法设出所求的曲线方程或点的 坐标 再根据合理的推理 若能推出题设中的系数 则存在性成立 否则 不成立 例 17 已知 A B C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点 点 A 是长轴的一个顶点 BC 过椭圆的 中心 O 且 AC BC0 BC 2 AC 1 求椭圆的方程 2 如果椭圆上的两点 P Q 使的平分线垂直于 OA 是否总存在实数 使得PCQ 请说明理由 PQ AB 解答过程 1 以 O 为原点 OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系 则 A 2 0 设椭圆方程为 不妨设 C 在 x 轴上方 22 2 xy 1 4b 由椭圆的对称性 BC 2 AC 2 OC AC OC 又 即为等腰直角三角形 AC BC0 ACOC OCA 由得 代入椭圆方程得 A 2 0 C 1 1 2 4 b 3 即 椭圆方程为 22 x3y 1 44 2 假设总存在实数 使得 即 PQ AB AB PQ 由得 则 C 1 1 B 1 1 AB 0 1 1 k 2 1 3 若设 CP 则 CQ yk x1 1 yk x1 1 由 22 222 x3y 1 1 3k x6k k1 x3k6k10 44 yk x1 1 由得是方程的一个根 C 1 1 x1 222 1 3k x6k k1 x3k6k10 12 由韦达定理得 以代 k 得 2 PP 2 3k6k1 xx1 1 3k k 2 Q 2 3k6k1 x 1 3k 故 故 PQPQ PQ PQPQ yyk xx 2k 1 k xxxx3 AB PQ 即总存在实数 使得 PQ AB 评注 此题考察了坐标系的建立 待定系数法 椭圆的对称性 向量的垂直 向量的共线 及探索性问题的处理方法等 是一道很好的综合题 考点考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题 一般情况下 是把直线的方程和曲线的方程组成方程组 进一步来判断方程组的解的情况 但要注意判别式的使用和题设中变量的范围 例 18 设 G M 分别是的重心和外心 且 ABC A 0 a B 0 a a0 GMAB 1 求点 C 的轨迹方程 2 是否存在直线 m 使 m 过点并且与点 C 的轨迹交于 P Q 两点 且 a 0 若存在 求出直线 m 的方程 若不存在 请说明理由 OP OQ0 解答过程 1 设 则 C x y x y G 3 3 因为 所以 则 GMAB GM AB x M 0 3 由 M 为的外心 则 即 ABC MA MC 2222 xx a x y 33 整理得 22 22 xy 1 x0 3aa 2 假设直线 m 存在 设方程为 yk xa 由得 22 22 yk xa xy 1 x0 3aa 22222 1 3k x6k ax3a k1 0 设 则 1122 P x y Q x y 2 12 2 6k a xx 1 3k 22 12 2 3a k1 x x 1 3k 222 12121212 y yk xa xa k x xa xx a 22 2 2k a 1 3k 由得 OP OQ0 1212 x xy y0 即 解之得 2222 22 3a k1 2k a 0 1 3k1 3k k3 又点在椭圆的内部 直线 m 过点 a 0 a 0 故存在直线 m 其方程为 y3 xa 13 小结 1 解答存在性的探索问题 一般思路是先假设命题存在 再推出合理或不合理的 结果 然后做出正确的判断 2 直线和圆锥曲线的关系问题 一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组 成的方程组的求解问题 专题训练与高考预测 一 选择题 1 如果双曲线经过点 且它的两条渐近线方程是 那么双曲线方程是 6 3 1 yx 3 A B C D 22 xy 1 369 22 xy 1 819 2 2 x y1 9 22 xy 1 183 2 已知椭圆和双曲线有公共的焦点 那么双曲线的的渐近线方 22 22 xy 1 3m5n 22 22 xy 1 2m3n 程为 A B C D 15 xy 2 15 yx 2 3 xy 4 3 yx 4 3 已知为椭圆的焦点 M 为椭圆上一点 垂直于 x 轴 12 F F 22 22 xy 1 ab0 ab 1 MF 且 则椭圆的离心率为 12 FMF60 A B C D 1 2 2 2 3 3 3 2 4 二次曲线 当时 该曲线的离心率 e 的取值范围是 22 xy 1 4m m 2 1 A B C D 23 22 35 22 56 22 36 22 5 直线 m 的方程为 双曲线 C 的方程为 若直线 m 与双曲线 C 的右支ykx1 22 xy1 相交于不重合的两点 则实数 k 的取值范围是 A B C D 2 2 1 2 2 2 1 2 6 已知圆的方程为 若抛物线过点 且以圆的切线为准线 22 xy4 A 1 0 B 1 0 则抛物线的焦点的轨迹方程为 A B 22 xy 1 y0 34 22 xy 1 y0 43 C D 22 xy 1 x0 34 22 xy 1 x0 43 二 填空题 7 已知 P 是以 为焦点的椭圆上一点 若 1 F 2 F 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 21 PFPF 则椭圆的离心率为 2 1 tan 21 FPF 8 已知椭圆 x2 2y2 12 A 是 x 轴正方向上的一定点 若过点 A 斜率为 1 的直线被椭圆 截得的弦长为 点 A 的坐标是 3 134 14 F2F1 A2 A1 P N M o y x B A M QE T H P o y x F Q o y x 9 P 是椭圆上的点 是椭圆的左右焦点 设 则 k 的最大值 22 xy 1 43 12 F F 12 PF PF k 与最小值之差是 10 给出下列命题 圆关于点对称的圆的方程是 22 x2 y 1 1 M 1 2 22 x3 y3 1 双曲线右支上一点 P 到左准线的距离为 18 那么该点到右焦点的距离为 22 xy 1 169 29 2 顶点在原点 对称轴是坐标轴 且经过点的抛物线方程只能是 4 3 2 9 yx 4 P Q 是椭圆上的两个动点 O 为原点 直线 OP OQ 的斜率之积为 22 x4y16 1 4 则等于定值 20 22 OP OQ 把你认为正确的命题的序号填在横线上 三 解答题 11 已知两点 动点 P 在 y 轴上的射影为 Q A 2 0 B 2 0 2 PA PB2PQ 1 求动点 P 的轨迹 E 的方程 2 设直线 m 过点 A 斜率为 k 当时 曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直0k1 线 m 的距离为 试求 k 的值及此时点 C 的坐标 2 12 如图 是双曲线 C 的两焦点 直线是双曲线 C 的右准线 1 F 3 0 2 F 3 0 4 x 3 是双曲线 C 的两个顶点 点 P 是双曲线 C 右支上异于的一动点 直线 12 A A 2 A 1 A P 交双曲线 C 的右准线分别于 M N 两点 2 A P 1 求双曲线 C 的方程 2 求证 是定值 12 FM F N 13 已知的面积为 S 且 建立如图所OFQ OF FQ1 示坐标系 1 若 求直线 FQ 的方程 1 S 2 OF 2 2 设 若以 O 为中心 F 为焦点的椭圆过点 Q OF c c2 3 Sc 4 求当取得最小值时的椭圆方程 OQ 14 已知点 点 P 在 y 轴上 点 Q 在 x 轴的正半轴上 点 M 在直线 PQ 上 且满足H 3 0 HP PM0 3 PMMQ 2 1 当点 P 在 y 轴上移动时 求点 M 的轨迹 C 2 过点作直线 m 与轨迹 C 交于 A B 两点 若在 x 轴上存在一点T 1 0 0 E x 0 使得为等边三角形 求的值 ABE 0 x 15 15 已知椭圆的长 短轴端点分别为 A B 从此椭圆上一点 M 向 x 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 轴作垂线 恰好通过椭圆的左焦点 向量与是共线向量 1 FABOM 1 求椭圆的离心率 e 2 设 Q 是椭圆上任意一点 分别是左 右焦点 求 的取值范围 1 F 2 F 21QF F 16 已知两点 M 1 0 N 1 0 且点 P 使成公差小于零的 NPNMPNPMMNMP 等差数列 点 P 的轨迹是什么曲线 若点 P 坐标为 为的夹角 求 tan 00 yx PNPM与 参考答案 一 1 C 提示 设双曲线方程为 将点代入求出即可 11 xy xy 33 6 3 2 D 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故椭圆焦点为 双曲线焦点为 22 3m5n 0 由得 所以 双曲线的渐近线为 22 2m3n 0 2222 3m5n2m3n m 2 2 n 6 n 3 yx 2 m 4 3 C 设 则 1 MF d 2 MF 2d 1 2 FF 3d 1 2 12 FF c2c3d3 e a2a MF MF d2d3 4 C 曲线为双曲线 且 故选 C 或用 来计算 5 1 2 2 a4 2 bm 5 B 将两方程组成方程组 利用判别式及根与系数的关系建立不等式组 6 B 数形结合 利用梯形中位线和椭圆的定义 二 7 解 解 设 c 为为椭圆半焦距 0 21 PFPF 21 PFPF 又 2 1 tan 21 FPF 2 1 2 2 1 2 21 2 2 2 2 1 PF PF aPFPF cPFPF 解得 选 D 2 55 93 cc e aa 8 解 解 设 A x0 0 x0 0 则直线 的方程为 y x x0 设直线 与椭圆相交于ll P x1 y1 Q x2 y2 由 y x x0 可得 3x2 4x0 x 2x02 12 0 x2 2y2 12 则 3 4 0 21 x xx 3 122 2 0 21 x xx 2 0 2 0 2 0 21 2 2121 236 3 2 3 488 9 16 4 x xx xxxxxx 16 即 1 3 144 21 2 xxx 2 0 236 3 2 2 3 144 x x02 4 又 x0 0 x0 2 A 2 0 9 1 222 12 k PF PF aex aex ae x 10 三 11 解 1 设动点 P 的坐标为 则点 x y Q 0 y PQ x 0 PA 2x y PB 2x y 22 PA PBx2y 因为 所以 2 PA PB2PQ 222 x2y2x 即动点 P 的轨迹方程为 22 yx2 2 设直线 m yk x2 0k1 依题意 点 C 在与直线 m 平行 且与 m 之间的距离为的直线上 2 设此直线为 由 即 1 m ykxb 2 2kb 2 k1 2 b2 2kb2 把代入 整理得 ykxb 22 yx2 222 k1 x2kbx b2 0 则 即 2222 4k b4 k1 b2 0 22 b2k2 由 得 2 5 k 5 10 b 5 此时 由方程组 22 2 510 yx C 2 2 10 55 yx2 12 解 1 依题意得 所以 c3 2 a4 c3 a2 2 b5 所求双曲线 C 的方程为 22 xy 1 45 2 设 则 00 P x y 11 M x y 22 N x y 1 A 2 0 2 A 2 0 100 A P x2 y 200 A P x2 y 11 10 A M y 3 22 2 A N y 3 因为与共线 故 同理 1 A P 1 A M 010 10 x2 yy 3 0 1 0 10y y 3 x2 0 2 0 2y y 3 x2 则 11 13 FM y 3 22 5 F N y 3 所以 12 FM