片段之九：不战而屈人之兵 善之善者

1 不战而屈人之兵乃善之善者 例谈著名不等式与圆锥曲线综合问题完美对接 孙子兵法 谋攻 中脍炙人口的千古名句 是故百战百胜 非善之善者也 不战 而屈人之兵 善之善者也 其含义是指经历短兵相接 刀光剑影的 肉搏战 一百场战 斗全都取胜却不是最好 而不通过交战而迫使敌人屈服 才是最高明的策略 不战 又怎 能让敌人俯首称臣呢 不战 是指不经历从肉体上消灭对方的血腥残暴地武力斗争 而 是通过经济 外交 政治等途径 如游说 分化 利诱 禁运 恐吓 威慑等策略 乃至 必要时使用斩首式 点穴式等极端军事手段 以及当代电磁战 信息战 网络战等多管齐 下 使敌人遭受巨大的经济损失 蒙受巨大的精神压力 承受巨大的政治风险 甚至经济 崩溃 精神瓦解 政府垮台 处于内忧外困的绝境而被束手就擒的一种战争策略 数学是一门高度抽象思维的科学 从某种程度上来说 解决一个数学问题如同一场不 见硝烟的战争 解析几何中涉及直线与圆锥曲线的综合问题一直是高考 竞赛及近年来悄 然兴起的名校自主招生考试的热点 难点 重点 尤其面对繁琐的步骤及复杂的运算 往 往令学生束手无策 甚至产生畏惧心理 直奔主题 单刀直入 强行求解 不仅要花费太 多的宝贵时间 而且往往因为字母多 步骤繁 计算量大而导致精神紧张 体力透支 推 理出错 绝大部分学生半途而废甚至无功而返 颗粒无收的尴尬局面 笔者在高中从教近 三十年 目睹学生在平时的练习 模拟考 高考中无数次上演这种令人痛心的场景 本文 拟从二道圆锥曲线综合试题入手 探究利用著名不等式 基本不等式 均值不等式 柯西 不等式等 与圆锥曲线综合问题完美对接 题 1 已知双曲线的焦点 且经过点 1 求双曲线标准方 02 1 F 02 2 F 22 P 程 2 若 是双曲线右支上不同两点 为坐标原点 求的最小值 ABOOBOA 解答 1 易得双曲线标准方程为 过程略 1 22 22 yx 对于 2 来说 解法 1 设 由向量的数量积以及柯西不等式可得 11 yxA 22 yxB OBOA 2121 yyxx 21 2 2 2 1 22yyyy 21 2 2 2 1 2 2 yyyy 21 22 2 22 1 2 2 yyyy 21 2 21 2 2 yyyy 22 2121 yyyy 等号成立当且仅当 即 即轴 2 2 21 yy 0 21 yyxAB 解法 2 同上所设 注意 利用基本不等式可得2 1 x2 2 xabba2 22 2 2 2 121 yyyy 2 2 2 2 2 1 xx4 2 2 2 2 1 2 21 xxxx 4 4 21 2 21 xxxx2 21 xx2 21 xx 2 由 则有OBOA 2121 yyxx min OBOA max 2121 yyxx 21x x2 2 21 xx 评注 对于题 1 2 常见的解法就是设出直线的方程 并与双曲线ABmtyx 方程 联立得到一元二次方程 再在判别式的前提下 应用韦达定理得2 22 yx0 出根与系数的关系 然后代入向量的数量积 再经过一系列的化简 OBOA 2121 yyxx 换元 转化 然后再利用函数的导数等知识求出最小值 其过程和运算量可想而知 上述 解法 1 及解法 2 避开 残酷的巷战 借助柯西不等式 基本不等式采用 斩首式 战术 极其快速 简捷地解决问题 达到 不战而屈人之兵 之奇效 题 2 设椭圆中心在坐标原点 是椭圆两个顶点 直线 02 A 10 Bkxy 0 k 与相交于点 与椭圆相交于 两点 1 求椭圆的标准方程 2 若ABDEF 求的值 3 求四边形面积的最大值 DFED6 kAEBF 解答 1 椭圆方程为 2 的值为或 过程略 1 14 22 yx k 3 2 3 8 对于 3 来说 解法 1 设 则有 于是 yxF 0 x0 y44 22 yx AEBF S四边形 AEFBEF SS 2 2 1 2 2 1 yOAxOB yx2 由算术平均数不大于平方平均数 可得 22 22 baba AEBF S四边形yx2 2 2 2 22 yx 22 2 4 2 22 yx 解法 2 由上述解法 1 并结合基本不等式 可得 22 2baab AEBFS四边形 22 2 yx 2 24 22 yxyx 4 4 2 22 yx AEBF S四边形22 解法 3 设 由对称性得 注意到直线的 yxF 0 x0 y yxE AB 方程为 则点 点到直线的距离分别为022 yxFEAB 5 22 1 yx d 5 22 2 yx d 3 AEBF S四边形 ABEABF SS 2 5 21 dd 2 2222 yxyx 因点 点在的异侧 由线性规划可得 由绝FEAB0 22 22 yxyx 对值不等式 可得baba 0 ab AEBF S四边形 2 2222 yxyx yxyx yx 22 2 42 下同上述解法 1 评注 对于题 2 3 如果按照常规思路联立直线 与 求EFkxy 44 22 yx 出点 点的坐标 然后用点到直线间的距离公式 显然运算量很大 学生推理到此 FE 只能 望题兴叹 眼睁睁地看着复杂的代数式而无法进行下一个步骤 这是绝大部分学生 最终的结局 上述解法 1 巧妙借助算术平均数不大于平方平均数 解法 2 通过平方妙用基 本不等式 解法 3 借力绝对值不等式 采用 点穴式 的战略轻松将问题解决 故善用兵 者 屈人之兵而非战也 拔人之城而非攻也 毁人之国而非久也 必以全争于天下 故兵 不顿而利可全 此谋攻之法也 请有兴趣的读者尝试以下试题 若点 是椭圆 为常数 上两点 AB1 2 2 2 2 b y a x ab0 ba 且 1 求证 为定值 2 求面积的最大及最小值 OBOA 22 11 OBOA AOB 提示 以为极点 以轴非负半轴为极轴 建立极坐标系 则椭圆极坐标方程为Ox 设 则 于是可得 2 2 2 2 2 sincos1 ba 1 A 2 2 B 1 22 11 OBOA 2 2 2 1 11 22 22 ba ba 2 由 1 并结合均值不等式可得 22 22 ba ba 22 11 OBOA OBOA 2 22 22 2 ba ba OBOA min AOB S 22 22 2 ba ba 或者由 可得 2222 22 2 1 cossinba ba 2222 22 2 2 sincosba ba 21 2 1 AOB S sincos cossin 2 1 22222222 22 baba ba 4 i 对于上式分母 由均值不等式可得 sincos cossin 22222222 baba 22 sincos cossin 2222222222 bababa ii 对于上式分母 由柯西不等式可得 sincos cossin 22222222 baba 2 coscossinsin abba ab 因此得到 min AOB S 22 22 2 ba ba 2 max ab S AOB 在解析几何中 直线与圆锥曲线综合问题中相关的最 值问题往往巧妙利用著名不等式 如基本不等式 均值不 等式 柯西不等式等 绝对值不等式等 让人赏心悦目 妙不可言 值得说明的是 上述二道试题是笔者特意为学生编拟的圆锥曲线综合强化训练考试试 题 其中题 1 解法 2 及题 2 的解法 1 是笔者的学生林若谷 黄越冬在考试中展示出来的绝 妙构思 显示他们具有很高的数学悟性 强烈的创新意识 敏锐的创造能力 在此向他们 致以谢意 解决数学问题 尤其解决难 繁 杂的圆锥曲线综合试题需要有扎实的基本功底为先 决 丰富的数学知识为基础 娴熟的思想方法为向导 如同达到不战而屈人之兵需要坚韧 的精神意志为前提 高超的计策谋略为关键 强大的综合国力为后盾 对于在时间紧 氛围浓 期望高 压力大的高考 竞赛之时 倘若采用常规的 肉搏 战 办法 因其运算量相当大 考生要想顺利解出绝非易事 纵使强行解出 在经过十年 寒窗的苦读 最后高考决战仅仅是 120 分钟的宝贵时间里花去大多的时间 考生的心理和 身体处于极度疲劳之中 也是得不偿失 如同一场战争 尽管最后取得胜利 但是殆尽了 一个国家宝贵的资源 看似胜利 却换来残垣断壁 满目疮痍 是故百战百胜 非善之善 者也 只有平时加强有效作业 如同军事演习 尤其是针对性题组训练 如同中国人民 解放军近期举行的抢滩 夺岛 登陆演习等 实施高效 逼真的模拟考试 如同我军最近 长途奔袭 远程集结 实弹射击等 同时辅以基本不等式 均值不等式 绝对值不等式等 多种手段 即当今世界强国普遍采用的经济 外交 政治等途径 如美国对伊拉克 利比 亚 叙利亚 伊朗等国家 达到完美解决看似难 繁 杂的圆锥曲线综合试题的目的 即 威慑并最终让敌人俯首称臣 我国在南海正在实施的一系列政治 经济 军事手段就是为 了警告 威慑怀有野心的相关国家 正所谓 不战而屈人之兵 善之善者也 诚然 有关直线与圆锥曲线相关的综合试题的运算化简方法 策略还有很多 所使用 的不等式还有排序不等式 琴生不等式及其变式等等 笔者拙文 均值不等式与轮换式 的精彩演绎 即