平面向量基本定理及其坐标表示习题

平面向量基本定理和坐标表示 知识清单 1 两个向量的夹角 1 已知两个 向量 在平面内任a b 取一点 作 则OOA aOB b 叫做向量与的AOB 0 ab 夹角 2 向量夹角的范围是 当 时 两向量共线 当 时 两向量垂直 记 作 ab 2 平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 12 e e 向量 那么对于这一平面内的任意向量 a 一对实数 使 1 2 其中 不共线的向a 量叫做表示这一平面内所有向量的一 12 e e 组 2 平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 的向 量 叫做把向量正交分解 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与轴 x 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基y 底 对于平面内的一个向量 由平面向a 量基本定理可知 有且只有一对实数 x 使 这样 平面内的任一yxya i j 向量都可由 唯一确定 把有序数axy 对 叫做向量的坐标 记作a 其中 叫做在aa 轴上的坐标 叫做在轴上的xay 坐标 则向量的坐标OAxy ijOA 就是 的坐标 即若 x y 则 A 点坐标为 OAx y 反之亦成立 O 是坐标原点 3 平面向量的坐标运算 向量加法和减法 若 1222 x xxy ab 则 ab ab 实数与向量的乘积 若则 x yR a a 向量的坐标 若起点终点 11 A x y 22 B xy 则 ABAB 4 平面向量共线的坐标表示 设 其中 1122 x yxy ab 0b a b 1 已知平面向量 且 则 A B C D 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量 基底的是 A B C D 3 已知 则与平行的单位向量为 A B C D 4 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为和 记向量 向量 则 的概率是 A B C D 5 平面向量 2 1 1 1 5 1 若 则实数 k 的值为 A2 B C D 6 已知 A 3 0 B 0 2 O 为坐标原点 点 C 在 AOB 内 且 AOC 45 设 则的值为 A B C D 7 在下列向量组中 可以把向量表示出来的是 A B C D 8 已知直角坐标平面内的两个向量 使得平面内的任意一个 向量都可以唯一分解成 则的取值范围 9 若 则 若 则 10 向量 若向量与向量共线 则 11 P 是 ABC 内一点 且满足条件 设 Q 为延长线与 AB 的交 点 令 用表示 12 ABC 中 BD DC AE 2EC 求 13 已知 且 求 M N 及的坐 标 14 i j 是两个不共线的向量 已知 3i 2j i j 2i j 若 A B D 三点 共线 试求实数 的值 15 已知向量 向量 1 若向量与向量垂直 求实数的值 2 当为何值时 向量与向量平行 并说明它们是同向还是反向 16 在中 分别是内角的对边 且 若 1 求的大小 2 设为的面积 求的最大值及此时的值 平面向量基本定理及坐标表示答案 BBBABCB 8 9 10 2 11 又因为 A B Q 三点共线 C P Q 三点共线 而 为不共线向量 故 12 设 又 又 而 比较 由平面向量基 本定理得 解得 或 舍 把代入 得 13 设 则 同理可求 因此 14 2i j i j 3i 1 j A B D 三点共线 向量与共线 因此存在实数 使得 即 3i 2j 3i 1 j 3 i 1 j i 与 j