三角函数（5）—— 解三角形

三角函数 三角函数 5 解三角形解三角形 一 知识与方法 1 三角形的内角和定理 三角形三个内角和为 解题请不要忘记 任意两角和与第 三个角总互补 任意两个内角的半角和与第三个角的半角总互余 这样 就可以运用 诱导公式了 如 等 sin sinABC sincos 22 ABC 2 正弦定理 为三角形外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC R 1 正弦定理的一些变式 起到化sinsinsina b cABC sin 2 b B R 角为边的作用 起到化边为角的作用 2 sinaRA 2 已知三角形两边一对角 运用正弦定理求解三角形时 要注意判断解的情况 3 余弦定理 两种形式 已知三角形 222 2cosabcbcA 222 cos 2 bca A bc 两边一角 或三边时常用余弦定理 判断三角形的形状时也常用余弦定理 4 面积计算公式 1 2 3 其 1 2 a Sah 1 sin 2 SabC 1 2 Sr abc 中为三角形内切圆的半径 4 其中r Sp papbpc 1 2 pabc 5 解含有边角混合关系的三角形时 常运用正弦定理 余弦定理实现边角互化 包括化 边为角 化角为边 6 解斜三角形的常规思维方法 1 已知两角和一边 如 由求角 由正弦定理求 ABcABC Ca b 2 已知两边及其夹角 如 用余弦定理求边 再用正弦定理先求较短abCc 边所对的角 或 然后利用 求另一角 ABABC 3 已知两边和其中一边的对角 如 用正弦定理求 要注意解的结果abAB 可能有多种情况 由求 再由正弦定理或余弦定理求边 ABC Cc 4 已知三边 用余弦定理求角 5 三角形内切圆的半径 2 ABC S r abc 特别地直角三角形的内切圆的半径 其中为斜边 2 abc r c 二 例题讲解 例 1 在中 已知 求边及角 ABC2 3 a62 c 0 60 BbA 例 2 在中 求和的面积 ABCsincosAA 2 2 AC 2AB 3Atan ABC 例 3 在中 求 ABC 3 cos 5 A 5 sin 13 B tanC 三 练习题 1 中 的对边分别是 且 那么满足条ABC AB ab A 60 6a 4b 件 的 A 有一个解 B 有两个解 C 不存在 D 不能确定ABC 2 在中 是的 条件 ABC AB sin AsinB 3 在中 则 ABC 1tan 1tan 2AB 2 log sinC 4 在中 分别是角 的对边 若ABC abcABC sinsinsin abcABC 则 3 sinaB AB 5 在的面积 则 ABC 222 4 3 abc S C 6 在中 分别是角 的对边 则ABC abcABC3a 1 cos 3 A 有最 值 2 sin 2 BC 22 bc 7 在中 若 则的形状一定是ABC 2 sinsincos 2 A BC ABC A 等腰直角三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 8 在中 则的周长为ABC 3 A 3BC ABC A B 4 3sin 3 3 B 4 3sin 3 6 B C D 6sin 3 3 B 6sin 3 6 B 9 在中 分别是角 的对边 若 成等差数列 角ABC abcABCABC B 的范围是 A B C D 0 4 B 0 3 B 0 2 B 2 B 10 已知的三个内角 依次成等差数列 且 则边ABC ABC1AB 4BC 的中线的长为 BCAD 11 在中 分别是角 所对的边 若ABC abcABC 则 的大小是 sin sin sin5 7 8ABC a b c B 12 在中 依次成等差数列 求证 ABC ABC1b 12ac 13 在中 ABC 4 B 10AC 2 5 cos 5 C 1 求 2 求边上的中线的长 BCABCD 14 在中 分别是角 的对边 已知 成等比数列 ABC abcABCabc 且 求及的值 22 acacbc A c Bbsin 15 在锐角中 分别是角 的对边 已知 ABC abcABC 2 2 sin 3 A 1 求的值 2 若 的面积 求的值 22 tansin 22 BCA 2a ABC 2S b 16 的三个内角为 求当为何值时 取得最大ABC ABCAcos2cos 2 BC A 值 并求出这个最大值 17 中 分别是角 的对边 满足和ABC abcABC 222 bcbca 求和的值 1 3 2