平面向量典型例题

精品文档 1欢迎下载 平面向量经典例题 平面向量经典例题 1 已知向量a a 1 2 b b 2 0 若向量 a a b b与向量c c 1 2 共线 则实数 等于 A 2 B 1 3 C 1 D 2 3 答案 C 解析 a a b b 2 2 0 2 2 a a b b与c c共线 2 2 2 0 1 2 文 已知向量a a 1 b b 0 1 c c k 若a a 2b b与c c垂直 则k 33 A 1 B 3 C 3 D 1 答案 C 解析 a a 2b b 1 0 2 3 33 a a 2b b与c c垂直 a a 2b b c c k 3 0 k 3 33 理 已知a a 1 2 b b 3 1 且a a b b与a a b b互相垂直 则实数 的值为 A B 6 11 11 6 C D 6 11 11 6 答案 C 解析 a a b b 4 1 a a b b 1 3 2 a a b b与a a b b垂直 a a b b a a b b 4 1 3 1 2 6 11 0 6 11 3 设非零向量a a b b c c满足 a a b b c c a a b b c c 则向量a a b b间的夹角为 A 150 B 120 C 60 D 30 答案 B 解析 如图 在 ABCD中 a a b b c c c c a a b b ABD为正三角形 BAD 60 a a b b 120 故选 B 理 向量a a b b满足 a a 1 a a b b a a与b b的夹角为 60 则 b b 3 2 A B 1 2 1 3 C D 1 4 1 5 答案 A 解析 a a b b a a 2 b b 2 2a a b b a a 1 a a b b 60 3 2 3 4 精品文档 2欢迎下载 设 b b x 则 1 x2 x x 0 x 3 4 1 2 4 若 2 0 则 ABC必定是 AB BC AB A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰直角三角形 答案 B 解析 2 0 AB BC AB AB BC AB AB AC AB AC AB AC ABC为直角三角形 5 若向量a a 1 1 b b 1 1 c c 2 4 则用a a b b表示c c为 A a a 3b b B a a 3b b C 3a a b b D 3a a b b 答案 B 解析 设c c a a b b 则 2 4 Error Error Error Error c c a a 3b b 故选 B 在平行四边形ABCD中 AC与BD交于O E是线段OD的中点 AE的延长线与CD交于点F 若 a a b b 则等于 AC BD AF A a a b b B a a b b 1 4 1 2 2 3 1 3 C a a b b D a a b b 1 2 1 4 1 3 2 3 答案 B 解析 E为OD的中点 3 BE ED DF AB AB DF EB DE DF AB CF AB CD 1 3 2 3 2 3 a a a a b b a a a a b b AF AC CF AC 2 3CD 2 3 OD OC 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 6 若 ABC的三边长分别为AB 7 BC 5 CA 6 则 的值为 AB BC A 19 B 14 C 18 D 19 答案 D 解析 据已知得 cosB 故 cosB 7 5 19 72 52 62 2 7 5 19 35 AB BC AB BC 19 35 7 若向量a a x 1 2 b b 4 y 相互垂直 则 9x 3y的最小值为 A 12 B 2 3 C 3 D 6 2 答案 D 精品文档 3欢迎下载 解析 a a b b 4 x 1 2y 0 2x y 2 9x 3y 32x 3y 2 6 等号在x y 1 时 32x y 1 2 成立 8 若A B C是直线l上不同的三个点 若O不在l上 存在实数x使得x2 x 0 实数x OA OB BC 为 A 1 B 0 C D 1 5 2 1 5 2 答案 A 解析 x2 x 0 x2 x 1 0 由向量共线的充要条件及A B C共 OA OB OC OB OA OB OC 线知 1 x x2 1 x 0 或 1 当x 0 时 0 与条件矛盾 x 1 BC 9 文 已知P是边长为 2 的正 ABC边BC上的动点 则 AP AB AC A 最大值为 8 B 最小值为 2 C 是定值 6 D 与P的位置有关 答案 C 解析 以BC的中点O为原点 直线BC为x轴建立如图坐标系 则B 1 0 C 1 0 A 0 3 1 1 0 2 AB AC 333 设P x 0 1 x 1 则 x AP 3 x 0 2 6 故选 C AP AB AC 33 理 在 ABC中 D为BC边中点 若 A 120 1 AB AC 则 的最小值是 AD A B 1 2 3 2 C D 2 2 2 答案 D 解析 A 120 1 cos120 1 AB AC AB AC 2 2 2 2 4 D为BC边的中点 AB AC AB AC AB AC 2 2 2 2 2 2 2 4 2 AD 1 2 AB AC AD 1 4 AB AC AB AC 1 4 AB AC 1 4 1 2 AD 2 2 10 如图 一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB AD分别 交于E F两点 且交其对角线于K 其中 精品文档 4欢迎下载 则 的值为 AE 1 3AB AF 1 2AD AK AC A B 1 5 1 4 C D 1 3 1 2 答案 A 解析 如图 取CD的三等分点M N BC的中点Q 则 EF DG BM NQ 易知 AK 1 5AC 1 5 11 已知向量a a 2 3 b b 1 2 若ma a 4b b与a a 2b b共线 则m的值为 A B 2 1 2 C 2 D 1 2 答案 C 解析 ma a 4b b 2m 4 3m 8 a a 2b b 4 1 由条件知 2m 4 1 3m 8 4 0 m 2 故选 C 12 在 ABC中 C 90 且CA CB 3 点M满足 2 则 等于 BM MA CM CB A 2 B 3 C 4 D 6 答案 B 解析 CM CB CA AM CB CA 1 3AB CB CA CB 1 3AB CB cos45 3 3 3 1 3 AB CB 1 32 2 2 13 在正三角形ABC中 D是BC上的点 AB 3 BD 1 则 AB AD 答案 15 2 解析 由条件知 3 60 AB AC BC AB AC 60 AB CB CD 2 3CB 3 3 cos60 3 3 cos60 AB AD AB AC CD AB AC AB 2 3CB 2 3 15 2 14 已知向量a a 3 4 b b 2 1 则a a在b b方向上的投影等于 精品文档 5欢迎下载 答案 解析 a a在b b方向上的投影为 25 5 a a b b b b 2 5 25 5 15 已知向量a a与b b的夹角为 且 a a 1 b b 4 若 2a a b b a a 则实数 2 3 答案 1 解析 a a b b a a 1 b b 4 a a b b a a b b cos a a b b 2 3 1 4 cos 2 2a a b b a a a a 2a a b b 2 a a 2 a a b b 2 2 0 1 2 3 16 已知 1 0 点C在 AOB内 且 AOC 30 设 OA OB 3 OA OB m n m n R R 则 OC OA OB m n 答案 3 解析 设m n 则 OA OF OB OE OC OF OE AOC 30 cos30 m m OC OF OA sin30 n n OC OE OB 3 两式相除得 3 m 3n OC cos30 OC sin30 1 tan30 3 m n 17 文 设i i j j是平面直角坐标系 坐标原点为O 内分别与x轴 y轴正方向相同的两个单位向量 且 2i i j j 4i i 3j j 则 OAB的面积等于 OA OB 答案 5 解析 由条件知 i i2 1 j j2 1 i i j j 0 2i i j j 4i i 3j j 8 3 5 OA OB 又 cos 5cos OA OB OA OB OA OB 5 OA OB cos sin OA OB 5 5 OA OB 25 5 S OAB sin 5 5 1 2 OA OB OA OB 1 25 25 5 理 三角形ABC中 a b c分别是角A B C所对的边 能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条 件是 只写序号 sinA cosA 0 1 5 AB BC 3 答案 解析 若A为锐角 则 sinA cosA 1 sinA cosA A为钝角 1 5 0 B为锐角 由 B为锐角得不出 ABC为锐角三角形 由正弦定理 AB BC BA BC b sinB 精品文档 6欢迎下载 得 sinC C 60 或 120 c sinB 3 0 及A B C 0 A B C 知A B C均为锐角 ABC为锐角三角形 18 已知平面向量a a 1 x b b 2x 3 x 1 若a a b b 求x的值 2 若a a b b 求 a a b b 解析 1 若a a b b 则a a b b 1 x 2x 3 x 1 2x 3 x x 0 整理得x2 2x 3 0 解得x 1 或x 3 2 若a a b b 则有 1 x x 2x 3 0 则x 2x 4 0 解得x 0 或x 2 当x 0 时 a a 1 0 b b 3 0 a a b b 1 0 3 0 2 0 2 2 2 02 当x 2 时 a a 1 2 b b 1 2 a a b b 1 2 1 2 2 4 2 22 4 25 19 已知向量a a sinx 1 b b cosx 函数f x a a b b a a 2 3 1 2 1 求函数f x 的最小正周期T 2 将函数f x 的图象向左平移上个单位后 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍 6 得到函数g x 的图象 求函数g x 的解析式及其对称中心坐标 解析 1 f x a a b b a a 2 a a2 a a b b 2 sin2x 1 sinxcosx 2 3 1 2 sin2x sin2x cos2x sin 2x 1 cos2x 2 3 2 1 2 3 2 1 2 6 周期T 2 2 2 向左平移个单位得 y sin 2 x sin 2x 横坐标伸长为原来的 3 倍得 6 6 6 6 g x sin x 令x k 得对称中心为 0 k Z Z 2 3 6 2 3 6 3k 2 4 20 文 三角形的三个内角A B C所对边的长分别为a b c 设向量m m c a b a n n a b c 若m m n n 1 求角B的大小 2 若 sinA sinC的取值范围 解析 1 由m m n n知 c a a b b a c 即得b2 a2 c2 ac 据余弦定理知 cosB 得B 1 2 3 2 sinA sinC sinA sin A B sinA sin A 3 精品文档 7欢迎下载 sinA sinA cosA sinA cosA sin A 1 2 3 2 3 2 3 23 6 B A C A 0 3 2 3 2 3 A sin A 1 6 6 5 6 6 1 2 sinA sinC的取值范围为 3 23 理 在钝角三角形ABC中 a b c分别是角A B C的对边 m m 2b c cosC n n a cosA 且m m n n 1 求角A的大小 2 求函数y 2sin2B cos 2B 的值域 3 解析 1 由m m n n得 2b c cosA acosC 0 由正弦定理得 2sinBcosA sinCcosA sinAcosC 0 sin A C sinB 2sinBcosA sinB 0 B A 0 sinB 0 A 3 2 y 1 cos2B cos2B sin2B 1 cos2B sin2B sin 2B 1 1 2 3 2 1 2 3 2 6 当角B为钝角时 角C为锐角 则 Error Error B 2 2 3 2B sin 2B y 5 6 6 7 6 6 1 2 1 2 1 2 3 2 当角B为锐角时 角C为钝角 则 Error Error 0 B 6 2B sin 2B y 6 6 6 6 1 2 1 2 1 2 3 2 综上 所求函数的值域为 1 2 3 2 21 设函数f x a a b b 其中向量a a 2cosx 1 b b cosx sin2x x R R 3 1 若f x 1 且x 求x 3 3 3 2 若函数y 2sin2x的图象按向量c c m n m 平移后得到函数y f x 的图象 求实数 2 m n的值 解析 1 依题设 f x 2cos2x sin2x 3 1 2sin 2x 6 由 1 2sin 2x 1 得 sin 2x 63 6 3 2 精品文档 8欢迎下载 x 2x 2x 即x 3 3 2 6 5 6 6 3 4 2 函数y 2sin2x的图象按向量c c m n 平移后得到函数y 2sin2 x m n的图象 即函数 y f x 的图象 由 1 得f x 2sin2 x 1 m m n 1 12 2 12 22 已知向量 2cosx 1 cos2x sinx 1 cosx 1 f x OP OQ OP OQ 1 求函数f x 的最小正周期 2 当x 0 时 求函数f x 的最大值及取得最大值时的x值 2 解析 1 2cosx 1 cos2x sinx 1 cosx 1 OP OQ f x 2cosx 1 cosx cos2x sinx 1 OP OQ 2cos2x cosx cos2x sinx 1 cosx sinx sin x 2 4 函数f x 最小正周期T 2 2 x 0 x 2 4 4 3 4 当x 即x 时 f x sin x 取到最大值 4 2 42 42 23 ABC的三个内角A B C所对的边分别为a b c 向量m m 1 1 n n cosBcosC sinBsinC 且m m n n 3 2 1 求A的大小 2 现在给出下列三个条件 a 1 2c 1 b 0 B 45 试从中选择两个条件以确定 3 ABC 求出所确定的 ABC的面积 注 只需要选择一种方案答题 如果用多种方案答题 则按第一方案给分 解析 1 因为m m n n 所以 cosBcosC sinBsinC 0 3 2 即 cosBcosC sinBsinC 所以 cos B C 3 2 3 2 因为A B C 所以 cos B C cosA 所以 cosA A 30 3 2 2 方案一 选择 可确定 ABC 因为A 30 a 1 2c 1 b 0 3 由余弦定理得 12 b2 b 2 2b b 解得b 所以c 3 1 2 3 1 2 3 22 6 2 2 所以S ABC bcsinA 1 2 1 22 6 2 2 1 2 3 1 4 方案二 选择 可确定 ABC 因为A 30 a 1 B 45 C 105 又 sin105 sin 45 60 sin45 cos60 cos45 sin60 6 2 4 精品文档 9欢迎下载 由正弦定理c asinC sinA 1 sin105 sin30 6 2 2 所以S ABC acsinB 1 1 2 1 2 6 2 2 2 2 3 1 4 注意 选择 不能确定三角形 理 如图 O方程为x2 y2 4 点P在圆上 点D在x轴上 点M在DP延长线上 O交y轴于 点N 且 DP ON DM 3 2DP 1 求点M的轨迹C的方程 2 设F1 0 F2 0 若过F1的直线交 1 中曲线C于A B两 55 点 求 的取值范围 F2A F2B 解析 1 设P x0 y0 M x y Error Error Error Error DM 3 2DP 代入x y 4 得 1 2 02 0 x2 4 y2 9 2 当直线AB的斜率不存在时 显然 4 F2A F2B 当直线AB的斜率存在时 不妨设AB的方程为 y kx 5 由Error Error 得 9 4k2 x2 8kx 16 0 5 不妨设A1 x1 y1 B x2 y2 则 Error Error x1 y1 x2 y2 x1 kx1 2 x2 kx2 2 1 k2 F2A F2B 5555 x1x2 2k x1 x2 20 5 20 20 16 1 k2 9 4k2 80k2 9 4k2 96k2 16 9 4k2 4 200 9 4k2 k2 0 9 4k2 9 0 200 9 4k2 200 9 4 F2A F2B 164 9 综上所述 的取值范围是 4 F2A F2B 164 9 24 在平面直角坐标系内 已知两点A 1 0 B 1 0 若将动点P x y 的横坐标保持不变 纵坐标 扩大到原来的倍后得到点Q x y