用基本不等式证题的技巧与策略

用基本不等式证题的技巧与策略 在使用基本不等式证明问题时 根据所证不等式的结构 常常需要配合一定的变形技 巧与转化策略 才可以使用基本不等式把问题 现举例说明如下 一 凑项 在凑 和 或 积 为定值时 还需要注意凑 等号 成立 此时必须合理凑项 例 1 设 a b c 均为正数 且 a b c 1 求证 14 a14 b 14 c21 分析 考虑等号成立的条件时 必须注意 a b c 在问题中的对称地位 即只有 a b c 时 才有可能达到最值 而此时 4a 1 4b 1 4c 3 1 1 3 7 证明 14 a 7 3 3 7 14 a 7 3 2 3 7 14 a 同理 14 b 7 3 2 3 7 14 b 14 c 7 3 2 3 7 14 c 4 a b c 3 7 14 a14 b14 c 7 3 2 1 21 当且仅当 4a 1 4b 1 4c 1 即 a b c 时 上式 号成立 3 7 3 1 二 配项 在使用基本不等式时 若能巧妙地添式配项 就可以把问题转化 例 2 已知 a a a 均为正数 且 a a a 1 求证 12n12n 21 2 1 aa a 32 2 2 aa a 1 2 aa a n n 2 1 证明 因 a a a 均为正数 故 a 12n 21 2 1 aa a 4 21 aa 1 32 2 2 aa a a 4 32 aa 2 a 1 2 aa a n n 4 1 aan n 又因 a a a 4 21 aa 4 32 aa 4 1 aan 2 1 12n 2 1 所以 把以上各同向不等式相加 得 a a a 1 21 2 1 aa a 32 2 2 aa a 1 2 aa a n n 2 1 12n 故 21 2 1 aa a 32 2 2 aa a 1 2 aa a n n 2 1 三 构造 根据问题的整体结构 用基本不等式构造对偶式 然后经过某些运算 促 使问题的转化与解决 例 3 已知 a a a 均为实数 且 a a a A A 0 a 12n12n a a nN n 2 求证 0 a k 1 2 n 2 1 2 2 2 n 1 2 n A k n A2 证明 构造基本不等式如下 a a a a 1 1 n aA 2 2 1 1 1 n aA 22 2 1 1 n aA 3 2 1 1 1 n aA 22 3 a a 1 1 n aA n 2 1 1 1 n aA 22 n 将上述 n 1 个同向不等式相加得 a a a A a a a a 1 1 n aA 23n 2 1 2 1 1 n n 1 22 2 2 3 2 n 即 a na 2a A 0 0 a 1 2 1 n aA 2 1 1 2 1 n aA 1 2 n A 2 1 2 11 1 n A2 同理可求得 0 a k 1 2 n k n A2 四 平方 通过平方运算 一可以把和 积 凑成定值 二可以把和 积 问题转化为积 和 问题 例 4 若 a b cR a b c 3 求证 3 12 a12 b12 c 3 证明 2a 1 2b 1 2c 1 212 a12 b12 c 2 2 2 2 a b c 3 12 12 ba 12 12 cb 12 12 ac 2a 1 2b 1 2b 1 2c 1 2c 1 2a 1 6 a b c 9 27 3 12 a12 b12 c3 五 引参 通过巧妙地引入参数 把问题转化成基本不等式结构 使参数在用不等式 证题过程中起到一个桥梁作用 例 5 已知 a b cR a b c 1 求证 113 a113 b 4 113 c3 证明 引入待定正参数 t t t 13a 1 113 a 113 2 at 2 1 2 同理 t t 13b 1 113 b 113 2 bt 2 1 2 t t 13c 1 113 c 113 2 ct 2 1 2 得 t 3t 13a 13b 13c 3 t 8 113 a113 b113 c 2 1 2 2 3 2 t 0 t 113 a113 b113 c 2 3 t 8 由于 t 0 则t 2 3 2 3 t 8 t t 8 2 3 3 当且仅当 t 即 t 时 式取等号 113 a113 b113 c 3 34 将 t 代入 得 4 3 34 113 a113 b113 c3 六 换元 通过换元 把生疏的结构转化为基本不等式形式 使证题思路自然 简 捷 例 6 已知 a b c 为 ABC 三边的长 求证 abc a b c b c a c a b 证明 设 m b c a n c a b p a b c 则由三角形两边之和大 于第三边 得 m 0 n 0 p 0 且 a b c 2 pn 2 pm 2 mn 于是 abc mnp a b c b 2 pn 2 pm 2 mn npmpmn c a c a b 七 配对 根据已知不等式的某一边结构 给其配上一个与之对称的代数式 然后将 两个代数式联立再使用基本不等式 完成不等式的证明 例 7 设 a a a 和 b b b 均为正数 且 a a a 12n12n12 b b b 求证 a a n12n 11 2 1 ba a 22 2 2 ba a nn n ba a 2 2 1 12 a n 证明 设 M 11 2 1 ba a 22 2 2 ba a nn n ba a 2 给 M 配对 N 11 2 1 ba b 22 2 2 ba b nn n ba b 2 则 M N 11 2 1 2 1 ba ba 22 2 2 2 2 ba ba nn nn ba ba 22 a b a b a b 1122nn a a a b b b 0 12n12n M N 当注意到 a b a b 和 a a a b b b 得 22 2 1 2 12n12n M N 11 2 1 2 1 ba ba 22 2 2 2 2 ba ba nn nn ba ba 2