考前复习 根式盘点

栏目名 知识巧梳理知识巧梳理 考前复习考前复习 根式盘点根式盘点 一 知识结构图一 知识结构图 二 重点梳理二 重点梳理 一 一 二次根式的有关概念二次根式的有关概念 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式二次根式 事实上 a 0 表示非负数 aaa 的算术平方根算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做正数 a 的算术平方根 零的算术平 方根是零 如的算术平方根是 93 2 2 满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式最简二次根式 1 1 被开方数的因数是整数整数 因式是整式整式 即被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含不含能开得尽方的因数或因式 如等是最简二次根式 但等不是最简二次根式 5 3 2 ab 2 3 8 2 a b 3 3 几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同被开方数相同的二次根式 叫做同类二次根式同类二次根式 如如是同类二次根式 2 8 18 4 4 把分母中的根号化去叫做分母有理化分母有理化 常用的有理化因式 1 与 2 与 3 与aaab ab ab c ab c 如与 与 1 与 5513 323 2 23 2 二 二次根式的主要性质 二 二次根式的主要性质 1 a 0 是一个非负数 即 0 a 0 aa 平方根 算术平方根二次根式化简 运算 加减乘除 最简二次根式同类二次根式 实数的绝对值的性质 2 2 a a 0 3 a 2 aa 0 0 a a a a 4 二次根式的乘法法则 0 0 abab ab 5 二次根式的除法法则 0 0 aa ab bb 三 三 二次根式的运算二次根式的运算 1 二次根式的加减 二次根式相加减 先把各个根式化成最简二次根式最简二次根式 再 把同类二次根式分别合并 同类二次根式分别合并 类似整式中的合并同类项 2 二次根式的乘除 二次根式相乘除 把被开方数相乘除被开方数相乘除 根指数不变根指数不变 三 特别关注三 特别关注 1 注意二次根式的双重非负性 它表示非负数非负数 a 的算术平方的算术平方aa 根根 1 被开方数被开方数 a 必须是非负数必须是非负数 2 的结果是非负数非负数 a 即 0 a 0 a 2 注意二次根式的乘除法则的使用条件 及会逆用乘除法法则对二次根式 进行化简即 但 0 0 ababab 中0 0 aa ab bb 中 因为分母为零时 分式无意义 3 二次根式的加减的关键就是合并同类二次根式合并同类二次根式 为判断同类二次根式应先 将二次根式化简 二次根式运算的结果也应尽可能化简 4 在进行二次根式的混合运算时 要注意充分运用有理数 或式 的运算 律 运算法则 乘法公式及借助有理式运算中的分解因式 通分 约分 等方法 简化运算过程 提高运算速度 四 思想方法四 思想方法 一 类比思想 一 类比思想 二次根式是在算术平方根的基础上引入的 二次根式的加减 是类比合并同类项得到的 二 分类思想 二 分类思想 对式子 的化简 2 aa 0 0 a a a a 五 考点例析五 考点例析 考点考点 1 算术平方根 算术平方根 例例 1 05 南京 南京 9 的算术平方根是 A 3 B 3 C D 813 分析分析 因为 9 的平方根是 所以9 的算术平方根是 9 的正的平方根 3 故选 B 3 考点考点 2 最简二次根式最简二次根式 例例 2 05 哈尔滨市哈尔滨市 在下列根式中 最简二次根式的个数为 3 4 5 2 8aabx A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 分析分析 是最简二次根式 中有因式可以开出 中有因数可以4 5 ab 3 2a 2 a8x 2 2 开出 所以不是最简二次根式 故选故选 C 3 2 8ax 考点考点 3 同类二次根式同类二次根式 例例 3 05 北京市北京市 下列根式中 能与合并的是 3 A B C D 2412 3 2 18 分析分析 能与合并的应是的同类二次根式 这几个二次根式都不是最简二次33 根式 应先化为最简二次根式 242 6122 3 36 22 183 2 所以与是同类二次根式的是 故选故选 B 312 例例 4 05 青海省青海省 若最简二次根式与的被开方数相同 则的值为 1a 42a a A B C D 3 4 a 4 3 a 1a 1a 分析分析 最简二次根式与的被开方数相同 即 解得 1a 42a 142aa 1a 故选故选 C 考点考点 4 二次根式的运算二次根式的运算 例例 5 06 山东省东营市山东省东营市 下列计算正确的是 A B 822 2712 941 3 C D 25251 62 3 2 2 分析分析 由二次根式的性质和运算法则的 而 B 选项中822 222 明显用被开方数除以非被开方数 错用二次根式除法法则 C 选项用平方差公 式即可得 4 5 1 D 选项丢了 1 这一项 故选 A 2 2 例例 6 05 江西省 江西省 化简得 8222 A 2 B C 2 D 22 4 22 分析分析 由二次根式的性质和运算法则得 82222 222 22 故选故选 A 考点考点 5 分母有理化化简分母有理化化简 例例 7 06 北京市 计算北京市 计算 0 2 821 21 分析 原式分析 原式 2 21 2 211 考点考点 6 运用二次根式的性质化简运用二次根式的性质化简 例例 8 06 江西省 江西省 已知 2 2 2 aa 则 2 2 20 222 aa aaa 分析 例例 9 9 0505 绍兴 绍兴 化简得 2 2 44123xxx A 2 B C 2 D 44x 44x 分析分析 由由 所以所以230 210 xx 得 2 2 44123xxx 故应选故应选 A A 2 21 23 xx 21 232xx 考点考点 7 7 二次根式成立的条件 二次根式成立的条件 例例 10 06 山西省课该实验区 代数式山西省课该实验区 代数式有意义时 字母有意义时 字母的取值范围 的取值范围 1 1x x A B C D 1x 1x 01xx 且01x 且x 分析分析 由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数 所以由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数 所以10 x 即即故选故选 A A1 x 考点考点 8 8 估算二次根式 估算二次根式 例例 11 06 沈阳课改 估算沈阳课改 估算的值为的值为 243 A A 在 在 5 5 和和 6 6 之间之间 B B 在在 6 6 和和 7 7 之间之间 C C 在在 7 7 和和 8 8 之间之间 D D 在在 8 8 和和 9 9 之间之间 分析 因为分析 因为即即 所以 所以 故选故选 C C 162425 4245 72438 栏目名 栏目名 重难点剖析重难点剖析 二次根式的二次根式的 五重点五重点 三难点三难点 详解详解 一 一 五大重点一一攻克五大重点一一攻克 1 1 二次根式的概念 二次根式的概念 重点注意被开方数是非负数 被开方数是非负数 例例 1 1 判断下列式子哪些是判断下列式子哪些是二次根式二次根式 1 2 3 4 5 13 3 595x 2 x 剖析 剖析 判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手 先看 根指数是否为 2 被开方数整体是否为非负数 解 1 被开方数 13 是负数 不是二次根式 13 2 根指数是 3 不是二次根式 3 5 3 被开方数 9 0 是二次根式 9 4 可取正数 负数 0 可取正数 负数 0 x5x 即当时 是二次根式 当时 不是二次根式 50 x 5x 50 x 5x 5 即当时 是二次根式 当时 2 0 x 2 0 x 0 x 2 x 0 x 不是二次根式 2 x 2 2 二次根式的两个重要性质的理解和运用 二次根式的两个重要性质的理解和运用 1 2 a a 0 2 a 2 aa 0 0 a a a a 例例 2 2 化简 1 2 2 2 1x 3 4a 剖析 剖析 2 a a 0 的运用主要看被开方数整体是否为非负数 aa 1 中中无论无论取何实数恒为正数 故取何实数恒为正数 故 2 1x x 2 2 1x 2 1x 运用 要特别关注的正负性 2 aa 0 0 a a a a a 2 中由得 所以 3 4a 3 40a 0 0aa 2 3 4a 4 2 aa A 2 aa 2aa 3 3 最简二次根式的概念的运用最简二次根式的概念的运用 例例 3 3 在二次根式 15453040 2 2 3中 最简二次根式有 个 A 1 B 2C 3D 4 剖析 判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点剖析 判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点 1 1 被开方数不含分母 2 2 被开方数中不含不含能开得尽方的因数或因式 例 3 中满足以上两个特点 故都是最简二次根式 而15 3015 30 中被开方数分别含有能开得尽方的因数 9 和 4 故459 5 404 10 都不是最简二次根式 中被开方数含分母 3 故不是45 40 28 2 33 2 2 3 最简二次根式 故选 B 4 4 运用二次根式乘除法法则计算或化简运用二次根式乘除法法则计算或化简 例例 4 化简化简 12 276 24 A 解解 原式原式 1212241224 24 276276276 424 42 933 例例 5 计算 计算 53 23 3 2 a aba b bb 解解 原式原式 5344 239 3 2 a ab a ba b ab bbb AAA 22 2 9 9 a b aba b ab b 点拨点拨 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时 一要注意运算顺序 一要注意运算顺序 二要注意整体观察被开方数之间的关系 合理搭配 达到简化运算的效果 二要注意整体观察被开方数之间的关系 合理搭配 达到简化运算的效果 5 二次根式加减法法则的运用二次根式加减法法则的运用 例例 6 计算计算 1 120 518 3 解解 原式原式 2311 2 33 22332 2332 75 32 32 点拨 运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式 点拨 运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式 再合并同类二次根式 再合并同类二次根式 二 三大难点各个击破二 三大难点各个击破 1 二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用 二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用 例例 1 1 已知已知求求的取值范围 的取值范围 32 22 xxx x x 剖析 二次根式剖析 二次根式中中的取值范围为的取值范围为 从而 从而 aa0a a0 解 32 20 xx 20 x x 而而即即又又20 0 xx 0 x 20 2xx 的取值范围是的取值范围是 x20 x 例例 2 2 数 a b 在数轴上的位置如图所示 化简 222 1 1 baba 由图可知 21 12ab 10 10 0abab 222 1 1 baba 1111 2abababba 2 2 逆用二次根式乘除法法则进行化简逆用二次根式乘除法法则进行化简 例例 3 3 计算或化简 计算或化简 1 1 2 2 9 8 3 23 9x yxy 0 0 xy 解 解 1 1 9 8 9 8983 2 26 2 2 2 3 22 9x yxy 223 9 3 xyxyxy xyxy AAA0 0 xy 3 3 灵活运用灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值二次根式加减乘除混合运算化简求值 例例 4 4 已知已知求求的值的值 7575 22 xy 22 xxyy 解解 由题可知由题可知 1 7 2 xyxy 22 xxyy 2 311 37 22 xyxy 点拨点拨 观察发现已知条件观察发现已知条件是一对相反数是一对相反数 而所求式子是这而所求式子是这 5 2 x y 5 中的与 2 两个数的平方和与这两个数的乘积的差两个数的平方和与这两个数的乘积的差 故可由已知转变条件故可由已知转变条件 运用完全平方式运用完全平方式 简化求值简化求值 栏目名 错题集栏目名 错题集 解二次根式常见错误分类解析解二次根式常见错误分类解析 一 审题不清导致错误一 审题不清导致错误 例例 1 1 的平方根是的平方根是 16 错解 错解 的平方根是的平方根是4 4 16 诊断 错把诊断 错把的平方根当成的平方根当成 1616 的平方根 的平方根 16 正解 正解 164 16 的平方根是2 二 化简不彻底 结果不是最简二次根式二 化简不彻底 结果不是最简二次根式 例例 2 2 化简化简 72 错解 原式 错解 原式 9 83 8 诊断 化简二次根式的结果一定是最简二次根式 诊断 化简二次根式的结果一定是最简二次根式 82 2 而 正解 原式 正解 原式 9 83 83 2 26 2 或原式 或原式 6 2 三三 分母有理化时 所乘有理化因式可能为 分母有理化时 所乘有理化因式可能为 0 0 而导致错误而导致错误 例例 3 3 化简化简 xy xy 错解 错解 x yxyx yxy x y xy x yxy xyxy 诊断 题中只隐含诊断 题中只隐含即即 0 0 0 0 所以 所以与与有可能相等 有可能相等 0 xy xyxy 故应分两种情况 故应分两种情况 正解 正解 1 1 当 当时 原式时 原式 0 0 xy 2 2 当 当时 时 xy xyxyxyxy xy xy xyxy xyxy 四 漏掉括号导致错误四 漏掉括号导致错误 例例 4 4 分母有理化分母有理化 1 21 a a 错解 原式 错解 原式 1 21 aa a 诊断诊断 当一个式子与一个多项式相乘时当一个式子与一个多项式相乘时 多项式应注意添括号多项式应注意添括号 正解正解 原式 原式 1 11 2 1 2 aaa a 五五 忽视 忽视中的隐含条件中的隐含条件 0 0 aa 例例 5 5 化简化简 32 1 xx x 错解 原式 错解 原式 2 1 x xx x 1 xxx x xx 33 2 2 0 0 0 0 xxx xxx xxx 的隐含条件即 成立的条件是 当时 正解 由正解 由 3 0 0 xx 得 原式 原式 2 11 x xxxxxxx xx 六 在化简六 在化简时 忽视字母的具体取值而导致错误时 忽视字母的具体取值而导致错误 2 a 诊断 忽略 了 例例 6 6 当当时 求时 求的值 的值 1 5 a 2 2 11 2a aa 错解 原式 错解 原式 2 11 a aa 111 5 aa aa 诊断诊断 由由 得得 则则 0 0 1 5 a 1 5 a 1 a a 2 111 aaa aaa 正解正解 原式 原式 2 11 a aa 11214 109 55 aa aaa 七 连用七 连用 号出错号出错 例例 7 7 已知已知中 两条直角边长分别为中 两条直角边长分别为求斜边求斜边Rt ABC 9 40 ab c 错解 由勾股定理 错解 由勾股定理 222 cab 22 940168141 诊断 运算法则变了 还连用诊断 运算法则变了 还连用 号出错 号出错 正解 由勾股定理 正解 由勾股定理 22222 9401681 cab 168141 c 八 不管字母正负 滥用积 商 的算术平方根性质而出错八 不管字母正负 滥用积 商 的算术平方根性质而出错 例例 8 8 已知已知求求2 1 abab ab ba 错解 原式错解 原式 2 ababababab baabba 诊断诊断 由由 0 0 知知同号同号 又又 0 0 0 0 1ab a b2 aba b 正解正解 原式原式 22 11 2 ababab babaab 九 运算顺序不清导致错误九 运算顺序不清导致错误 例例 9 9 计算计算 aba 1 a 错解 原式 错解 原式 1 1 abab 诊断 忘记乘除是同一级运算 应按从左到右依次计算 诊断 忘记乘除是同一级运算 应按从左到右依次计算 正解 原式 正解 原式 11bab ab aaaa AAA 例例 1010 计算 计算 523 错解 错解 523333 诊断 实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用 诊断 实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用 应先算乘除 再算加减 应先算乘除 再算加减 正解 正解 2 3152 3 5235 33 十 乱用运算律导致错误十 乱用运算律导致错误 例例 1111 计算计算 632 错解 原式 错解 原式 636223 诊断 诊断 除法没有分配律 本题应分母有理化 除法没有分配律 本题应分母有理化 正解 正解 632 632 6 18123 22 3 3232 十一 在去括号时出错十一 在去括号时出错 例例 1212 计算 计算 557 错解 错解 5575577 诊断 去括号法则对二次根式仍然适用 诊断 去括号法则对二次根式仍然适用 括号前面是负号 去括号时括号内的括号前面是负号 去括号时括号内的 每一项都改变符号 每一项都改变符号 正解 正解 5575577 十二 用公式时出错十二 用公式时出错 例例 1313 计算 计算 2 2 33 2 错解 错解 222 2 33 22 33 212 1830 诊断 运用完全平方公式丢项出错 诊断 运用完全平方公式丢项出错 正解 正解 222 2 33 22 32 2 3 3 23 212 12 61830 12 6 栏目名 期末练兵栏目名 期末练兵 综合练习题综合练习题 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 3 3 分分 共共 3030 分 分 1 1 下列各式正确的是 下列各式正确的是 A A B B C C D D 42 2 6 6 7575 2 55 2 2 下列各式中属于下列各式中属于最简二次根式最简二次根式的是 的是 A A B B C C D D 27512 1 2 3 3 在下列各组根式中 是同类二次根式的是 在下列各组根式中 是同类二次根式的是 A A 和和 B B 和和 C C 和和D D 和和 3183 1 3 2 a b 2 ab1a 1a 4 4 下列根式下列根式 其中最简其中最简12x4 2 m 30 22 xy 3 6a 3 a 二次根式是二次根式是 A A B B C C D D 5 5 化简化简的结果是 的结果是 5 x A A B B C C D D 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 6 6 的平方根是的平方根是 22 512 A 13A 13 B B C 13C 13 D D 1313 7 7 若把若把的根号外的的根号外的适当变形后移入根号内 得 适当变形后移入根号内 得 1 a a a A A B B C C D D a a a a 8 8 使等式使等式 成立的条件是成立的条件是 33 55 xx xx A A B B 5 5 C C 3 3 D D 3 3 且且 5 55x xxxx 9 9 若若为任意实数为任意实数 则下列各式的值一定为正数的是则下列各式的值一定为正数的是 x y A A 5 5 B B C C D D x 2 1 2 y 2 n xy 22 xy 10 10 已知已知 2 2 b 0 b 0 0 b 0 0 b 0 则则等于等于 aaba 3 534 aabb aabb A A B B C C D D 1 3 1 2 2 3 3 4 二 填空题二 填空题 每空每空 2 2 分分 共共 2626 分分 1 1 的算术平方根是的算术平方根是 64 2 2 的相反数的平方根是的相反数的平方根是 7 1 9 3 3 的绝对值是的绝对值是 它的倒数 它的倒数 12 4 4 用用 n n 时 时 2 mn 2 23 7 7 如图 化简如图 化简 22 a b 8 8 某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔 其面积是某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔 其面积是 它的长 它的长 2 4 2 cm 为为 则这个孔的宽为 则这个孔的宽为 3 cmcm 9 9 当当 1 1 30 b 0 0 b 0 2 191 42 2 a abb aab a 2 2 已知已知 求求的值的值 6 6 分分