第二章行列式习题解答

第二章 行列式习题解答 1 决定以下 9 级排列的逆序数 从而决定它们的奇偶性 1 134782695 解 偶排列 2 217986354 解 偶排列 3 987654321 解 偶排列 2 选择 与使 1 成偶排列 解 与一个为 3 另一个为 8 而是奇排列 由对换的性质因此有 2 成奇排列 解 与一个为 3 另一个为 6 而是奇排列 因此有 3 写出把排列变成排列的那些对换 解 4 决定排列的逆序数 并讨论它的奇偶性 解 1 与其他数构成个逆序 2 与其他数构成个逆序 与 其他数构成 2 个逆序 与构成 1 个逆序 故 当或 为正整数 时 排列为偶排列 当或 为正整数 时 排列为奇排列 5 如果排列的逆序数为 排列的逆序数是多少 解 中任意两个数码与必在而且仅在两个排列 或中之一构成逆序 个数码中任取两个的不同取法有 个 因此两个排列的逆序总数为 所以排列的 逆序数为 6 在 6 级行列式中 这两项应带有什么符 号 解 因此项带正号 因此项带正号 7 写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子的项 解 因为 因此所求的项为 8 按定义计算行列式 1 2 3 解 1 该行列式含有的非零项只有 带的符号为 值为 因此原行列式等于 2 该行列式含有的非零项只有 带的符号为 值 为 因此原行列式等于 3 该行列式含有的非零项只有 带的符号为 值为 因此原行列式等于 9 由行列式定义证明 证明 行列式的一般项为 列指标只能在 1 2 3 4 5 中取不同值 故中至少有一个要取 3 4 5 中之一 而 从而每一项中至少包含一个零因子 故每一项的值均为零 因此行列 式的值为零 10 由行列式定义计算 中与的系数 并说明理由 解 行列式元素中出现的次数都是 1 次的 因此含项每一行都要取含 的 因此含项仅有 其系数为 2 符号为正 的系数为 2 类 似的含项仅有 其系数为 1 符号为负 的系数为 11 由 证明 奇偶排列各半 证明 行列式每一项的绝对值为 1 行列式的值为零 说明带正号项的个 数等于带负号项的个数 由定义 当项的行指标按自然顺序排列时 项的符号由 列指标排列的奇偶性所确定 奇排列时带负号 偶排列带正号 因此奇偶排列各 半 12 设 其中为互不相同的数 1 由行列式定义 说明是一个次多项式 2 由行列式性质 求的根 解 1 在行列式中只有第一行含有 出现最高次数为次 由 为互不相同的数可得其系数不为零 因此是一个次多项 式 2 用分别代 均出现了两行相同 因此行列式为 0 即 为的全部根 13 计算下面的行列式 1 2 3 4 5 6 解 1 该行列式中每行元素的和为 1000 的倍数 第 2 列与第三列相差 100 因此可以先把第 2 列和第 3 列分别加到第 1 列 然后第 2 列减去第 3 列后 可得 3 4 5 显然当或时均有两行元素相同 因此行列式为 0 当时 6 14 证明 证明 15 算出下列行列式的全部代数余子式 1 2 解 1 2 16 计算下面的行列式 1 17 计算下列级行列式 1 2 3 4 5 解 1 按第一列展开得 也可以按定义计算 非零项只有两项及值分别为 和 符号分别为和 因此原行列式 2 解 当时 行列式等于 当时 原行列式 当时 从第二列起 每一列减去第一列得 原行列式 3 解 从第二列起 每一列都加到第一列然后提取因子得 4 解 从第二行起每一行减去第一行 然后交换 1 2 两行后化为三角形得 也可以除第 2 行外 每一行都减去第 2 行 然后化为三角形计算 5 解 从第 2 列起每一列都加到第 1 列 然后按第一列展开得到 18 证明 1 证明 从第 2 列起 每一列的倍加到第一列即可得 2 证明 当时结论显然成立 当时 第一行的加到第二行 然后第 二行的加到第三行 依次类推可得 证法二 按最后一列展开即可得 证法三 按第一行展开再结合数学归纳法证明 证法四 从最后一行起 每一行乘以加到上一行 然后按第一行展开可得 3 解 原行列式按第一行展开得 因此有 即是以为首项 以为公比的等比数列 因此有 类似有 当时 解得 证法二 按第一行展开找到递推关系 再结合数学归纳法加以证明 4 证明 对行列式的级数用第二数学归纳法证明 当时 因此结论成立 假设当级数小于时结论成立 对级行列式按最后一行展开得 由数学归纳法 结论成立 注意 因为主对角线上第一个元素为 其它主对角线上元素为 本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同 无 法得到与之间的递推关系 而按最后一行可得到递推关系 5 证明 从第二行起 每一行减去第一行先化为爪形行列式 再三角化 19 用克拉默法则解下列线性方程组 1 2 3 4 解 1 系数行列式 故方程组的解为 2 故方程组的解为 3 故方程组的解为 4 20 设是数域中互不相同的数 是数域中任一组 给定的数 用克拉默法则证明 存在唯一数域上的多项式 使 证明 设 由得 把它看成关于的线性方程组 其系数行列式为一范德蒙德行列 式 由互不相同可得系数行列式不为 0 由克拉默法则 方程组解 唯一 即满足的多项式