八年级(上)培优专题三：全等三角形辅助线作法

D C B A E D F C B A 专题三专题三 全等三角形辅助线作法全等三角形辅助线作法 一 一 三线合一三线合一 法法 等腰三角形底边上的高 中线 顶角的角平分线三线合一 遇到等腰三角 形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 注意 有一个内角为 60 的三角形一定是等边三角形 二 倍长中线法 倍长中线法 遇到三角形的中线 倍长中线 即延长中线使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 例 1 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 则中线 AD 的取值范围是 例 1 图 例 2 图 例 2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的 大小 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE EDC B A 三 角平分线构造全等法三 角平分线构造全等法 即利用角平分线构造全等三角形法 遇到角平分线有三种添辅助线的方 法 1 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 形成一对全等三角形 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 2 可以在角平分线上的一 点作该角平分线的垂线与角的两边相交 形成一对全等三角形 3 可以在该 角的两边上 距离角的顶点相等长度的位置上截取二点 然后从这两点再向角 平分线上的某点作边线 构造一对全等三角形 O E D CB A 一 角分线上点向角两边作垂线构全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD 例例 1 1 如图 2 1 已知 AB AD BAC FAC CD BC 求证 ADC B 180 分析分析 可由 C 向 BAD 的两边作垂线 近而证 ADC 与 B 之和为平角 例例 2 2 如图 2 2 在 ABC 中 A 90 AB AC ABD CBD 求证 BC AB AD 分析分析 过 D 作 DE BC 于 E 则 AD DE CE 则构造出全等三角形 从而得证 此 题是证明线段的和差倍分问题 从中利用了相当于截取的方法 二 作角平分线的垂线构等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线 使之与角的两边相交 则截得一个等腰三角 形 垂足为底边上的中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用中位线的性质与 等腰三角形的三线合一的性质 如果题目中有垂直于角平分线的线段 则延长该线段与角 的另一边相交 例例 1 1 已知 如图 3 1 BAD DAC AB AC CD AD 于 D H 是 BC 中点 求证 DH AB AC 2 1 分析分析 延长 CD 交 AB 于点 E 则可得全等三角形 问题可证 图3 2 D A B E F C 图示3 1 A B C D H E 图2 2 A B C D E 图2 1 A B C D E F 例例 2 2 已知 如图 3 2 AB AC BAC 90 AD 为 ABC 的平分线 CE B E 求证 BD 2CE 分析分析 给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线 可延长此垂线与另外一 边相交 近而构造出等腰三角形 三 以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线 从而构造等 腰三角形 或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相 交 从而也构造等腰三角形 如图 4 1 和图 4 2 所示 图4 2 图4 1 C A B C B A F I E D H G 例 5 如图 BC BA BD 平分 ABC 且 AD CD 求证 A C 180 例 5 图 例 6 图 例 6 如图 AB CD AE DE 分别平分 BAD 各 ADE 求证 AD AB CD 四 截取构全等 可以在该角的两边上 距离角的顶点相等长度的位置上截取二点 然后从 这两点再向角平分线上的某点作边线 构造一对全等三角形 例 8 已知 如图 1 3 AB 2AC BAD CAD DA DB 求证 DC AC B D C A A B E C D 分析分析 此题还是利用角平分线来构造全等三角形 构造的方法还是截取线 段相等 其它问题自已证明 例 9 已知 如图 1 4 在 ABC 中 C 2 B AD 平分 BAC 求证 AB AC CD 分析分析 此题的条件中还有角的平分线 在证明中还要用到构造全等三角形 此题还是证明线段的和差倍分问题 用到的是截取法来证明的 在长的线段 上截取短的线段 来证明 试试看可否把短的延长来证明呢 四 截长法与补短法 四 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条线段 延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作 法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 一 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等于另一条 1 已知 如图 ABC 中 AD 平分 BAC 若 C 2 B 证明 AB AC CD DB C A 2 已知 如图 ABC 中 A 60 B 与 C 的平分线 BE CF 交于点 I 求证 BC BF CE F E I C B A 二 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线段等于长线段 图1 4 A B C D E 图1 3 A B C D E 3 已知 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 AD 上一点 BF 平分 CBE 交 CD 于 F 求证 BE CF AE F B DA C E 4 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 为 ABC 外一点 ABD 60 AB BD DC 求证 ACD 60 D BC A 5 已知 如图 四边形 ABCD 中 AB AD BAD 60 BCD 120 求证 BC DC AC A D B C 五 中垂线法五 中垂线法 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两 个端点作连线 出一对全等三角形 例 1 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab E D G F C B A 注意 作平行线 作垂线 作中位线是三角形问题中最常见的辅助线作法注意 作平行线 作垂线 作中位线是三角形问题中最常见的辅助线作法 一 作平行线 一 作平行线 1 如图 ABCD 和 CEFG 是两个正方形 AB a CE b 则 BDF 的面积是 E F B C A D G 2 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 点在 AB 边上 E 在 AC 边的延长线上 DE 交 BC 于点 F BD CE 求证 DF EF F B C A D E 二 作垂线 二 作垂线 3 如图 已知 OP 平分 AOB C D 分别在 OA OB 上 若 PCO PDO 180 求证 PC PD O A B C P D 4 已知 如图 在 ABC 中 AB 2AC 1 2 AD BD 求证 CD AC 21 D A C B 5 已知 如图 ABC 中 AB AC AB AC BM 是 AC 边上的中线 AD BM 分 别交 BC BM 于 D E 求证 CMD AMB D E M C A B 三 三 构造中位线构造中位线 6 如图 在 ABC 中 D 是 BC 上的靠近 B 点的三等分点 E 是 AB 的中点 直线 AC 与 DE 交 于点 F 求证 EF 3DE F E DBC A 7 在 ABC 中 B 2 C M 为 BC 的中点 AD BC 求证 DM 1 2AB MD A BC 8 在正方形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O CAB 的平分线交 BD 于点 F 交 BC 于点 G 求证 CG 2OF G F O B DA C 全等三角形辅助线的作法 一 一 遇三角形中线常见辅助线遇三角形中线常见辅助线 若遇到三角形的中线 可倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用 的思维模式是全等变换中的 旋转 二 二 角平分线常见辅助线角平分线常见辅助线 1 1 角分线上点向角两边作垂线构全等 角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证 明问题 2 截取构全等截取构全等 如图 AOC BOC 如取 OE OF 并连接 DE DF 则有 OED OFD 从而为 我们证明线段 角相等创造了条件 3 3 延长垂线段延长垂线段 遇到垂直于角平分线的线段 则延长该线段与角的另一边相交 构成等腰三角形 4 作平行线作平行线 以角平分线上一点做角的另一边的平行线 构造等腰三角形 通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交 从而也构造等腰 三角形 三 等腰三角形的三 等腰三角形的 三线合一三线合一 性质的逆定理性质的逆定理 三线合一 性质 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 逆定理 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合 那么这个三角形是等腰三角 形 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合 那么这个三角形是等腰三角形 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 那么这个三角形是等腰三角形 简言之 三角形中任意两线合一 必能推导出它是一个等腰三角形 四 截长法与补短法四 截长法与补短法 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时 一般方法是截长法或补短法 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等于另一条 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线段等于长线段 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边 之 差小于第三边 故可想办法将其放在一个三角形中证明 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证明不出来