2018中考总复习圆的切线专题

题型专项题型专项 八八 与切线有关的证明与计算与切线有关的证明与计算 类型 1 与全等三角形有关 1 2016 梧州 如图 过 O 上的两点 A B 分别作切线 交于 BO AO 的延长线于点 C D 连接 CD 交 O 于点 E F 过圆心 O 作 OM CD 垂足为点 M 求证 1 ACO BDO 2 CE DF 证明 1 AC BD 分别是 O 的切线 A B 90 又 AO BO AOC BOD ACO BDO 2 ACO BDO OC OD 又 OM CD CM DM 又 OM EF 点 O 是圆心 EM FM CM EM DM FM CE DF 2 2016 玉林模拟 如图 AB 是 O 的直径 BAC 60 P 是 OB 上一点 过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q 过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D 连接 OC 1 求证 CDQ 是等腰三角形 2 如果 CDQ COB 求 BP PO 的值 解 1 证明 由已知得 ACB 90 ABC 30 Q 30 BCO ABC 30 CD 是 O 的切线 CO 是半径 CD CO DCQ BCO 30 DCQ Q 故 CDQ 是等腰三角形 2 设 O 的半径为 1 则 AB 2 OC 1 BC 3 等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等 CQ CB 3 AQ AC CQ 1 3 AP AQ 1 2 1 3 2 BP AB AP 3 3 2 PO AP AO 3 1 2 BP PO 3 3 2016 柳州 如图 AB 为 ABC 外接圆 O 的直径 点 P 是线段 CA 的延长线上一点 点 E 在弧上且满足 PE2 PA PC 连接 CE AE OE 交 CA 于点 D 1 求证 PAE PEC 2 求证 PE 为 O 的切线 3 若 B 30 AP AC 求证 DO DP 1 2 证明 1 PE2 PA PC PE PC PA PE 又 APE EPC PAE PEC 2 PAE PEC PEA PCE PCE AOE 1 2 PEA AOE OA OE 1 2 OAE OEA AOE OEA OAE 180 AOE 2 OEA 180 即 2 PEA 2 OEA 180 PEA OEA 90 PE 为 O 的切线 3 设 O 的半径为 r 则 AB 2r B 30 PCB 90 AC r BC r 3 过点 O 作 OF AC 于点 F OF r AP AC 3 2 1 2 AP PE2 PA PC PE r r 2 3 2 在 ODF 与 PDE 中 ODF PDE OFD PED OF PE ODF PDE DO DP 类型 2 与相似三角形有关 4 2016 泰州 如图 在 ABC 中 ACB 90 在 D 为 AB 上一点 以 CD 为直径的 O 交 BC 于点 E 连接 AE 交 CD 于点 P 交 O 于点 F 连接 DF CAE ADF 1 判断 AB 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 PF PC 1 2 AF 5 求 CP 的长 解 1 AB 是 O 切线 理由 ACB 90 CAE CEA 90 CAE ADF CDF CEA ADF CDF 90 AB 是 O 切线 2 连接 CF ADF CDF 90 PCF CDF 90 ADF PCF PCF PAC 又 CPF APC PCF PAC PC PA PF PC PC2 PF PA 设 PF a 则 PC 2a 4a2 a a 5 a 5 3 PC 2a 10 3 5 2015 北海 如图 AB CD 为 O 的直径 弦 AE CD 连接 BE 交 CD 于点 F 过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P 使 PED C 1 求证 PE 是 O 的切线 2 求证 ED 平分 BEP 3 若 O 的半径为 5 CF 2EF 求 PD 的长 解 1 证明 连接 OE CD 是圆 O 的直径 CED 90 OC OE C OEC 又 PED C PED OEC PED OED OEC OED 90 即 OEP 90 OE EP 又 点 E 在圆上 PE 是 O 的切线 2 证明 AB CD 为 O 的直径 AEB CED 90 AEC DEB 同角的余角相等 又 PED C AE CD PED DEB 即 ED 平分 BEP 3 设 EF x 则 CF 2x O 的半径为 5 OF 2x 5 在 Rt OEF 中 OE2 EF2 OF2 即 52 x2 2x 5 2 解得 x 4 EF 4 BE 2EF 8 CF 2EF 8 DF CD CF 10 8 2 AB 为 O 的直径 AEB 90 AB 10 BE 8 AE 6 BEP A EFP AEB 90 EFP AEB 即 PF BE EF AE PF 8 4 6 PF 16 3 PD PF DF 2 16 3 10 3 6 2014 桂林 如图 ABC 为 O 的内接三角形 P 为 BC 延长线上一点 PAC B AD 为 O 的直径 过点 C 作 CG AD 于点 E 交 AB 于点 F 交 O 于点 G 1 判断直线 PA 与 O 的位置关系 并说明理由 2 求证 AG2 AF AB 3 若 O 的直径为 10 AC 2 AB 4 求 AFG 的面积 55 解 1 PA 与 O 相切 理由 连接 CD AD 为 O 的直径 ACD 90 D CAD 90 B D PAC B PAC D PAC CAD 90 即 DA PA 点 A 在圆上 PA 与 O 相切 2 证明 连接 BG AD 为 O 的直径 CG AD AGF ABG AC AG GAF BAG AGF ABG AG AB AF AG AG2 AF AB 3 连接 BD AD 是直径 ABD 90 AG2 AF AB AG AC 2 AB 4 55 AF AG2 AB 5 CG AD AEF ABD 90 EAF BAD AEF ABD 即 解得 AE 2 AE AB AF AD AE 4 5 5 10 EF 1 AF2 AE2 EG 4 AG2 AE2 FG EG EF 4 1 3 S AFG FG AE 3 2 3 1 2 1 2 类型 3 与锐角三角函数有关 7 2014 梧州 如图 已知 O 是以 BC 为直径的 ABC 的外接圆 OP AC 且与 BC 的 垂线交于点 P OP 交 AB 于点 D BC PA 的延长线交于点 E 1 求证 PA 是 O 的切线 2 若 sin E PA 6 求 AC 的长 3 5 解 1 证明 连接 OA AC OP AOP OAC BOP OCA OA OC OCA OAC AOP BOP 又 OA OB OP OP AOP BOP OAP OBP BP CB OAP OBP 90 OA PA PA 是 O 的切线 2 PB CB PB 是 O 的切线 又 PA 是 O 的切线 PA PB 6 又 sinE AO 3 PB EP AO EO 3 5 在 Rt OPB 中 OP 3 62 325 BC 为 O 直径 CAB 90 CAB OBP 90 OCA BOP ACB BOP AC BO CB OP AC CB BO OP 18 3 5 6 5 5 8 2015 来宾 已知 O 是以 AB 为直径的 ABC 的外接圆 OD BC 交 O 于点 D 交 AC 于点 E 连接 AD BD BD 交 AC 于点 F 1 求证 BD 平分 ABC 2 延长 AC 到点 P 使 PF PB 求证 PB 是 O 的切线 3 如果 AB 10 cos ABC 求 AD 3 5 解 1 证明 OD BC ODB CBD OB OD OBD ODB CBD OBD BD 平分 ABC 2 证明 O 是以 AB 为直径的 ABC 的外接圆 ACB 90 CFB CBF 90 PF PB PBF CFB 由 1 知 OBD CBF PBF OBD 90 OBP 90 PB 是 O 的切线 3 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 10 cos ABC BC AB BC 10 3 5 BC 6 AC 8 AB2 BC2 OD BC AOE ABC AED OEC 180 ACB 90 AE AC OE BC AO AB AE 8 OE 6 5 10 AE 4 OE 3 DE OD OE 5 3 2 AD 2 AE2 DE242 225 9 2016 柳州模拟 如图 已知 AC 是 O 的直径 PA AC 连接 OP 弦 CB OP 直 线 PB 交直线 AC 于点 D BD 2PA 1 证明 直线 PB 是 O 的切线 2 探究线段 PO 与线段 BC 之间的数量关系 并加以证明 3 求 sin OPA 的值 解 1 证明 连接 OB BC OP OB OC BCO POA CBO POB BCO CBO POA POB 又 PO PO OB OA POB POA PBO PAO 90 PB 是 O 的切线 2 2PO 3BC 写 PO BC 亦可 3 2 证明 POB POA PB PA BD 2PA BD 2PB BC PO DBC DPO 2PO 3BC BC PO BD PD 2 3 3 CB OP DBC DPO 即 DC OD DC DO BD PD 2 3 2 3 OC OD DC 2OC 1 3 设 OA x PA y 则 OD 3x OB x BD 2y 在 Rt OBD 中 由勾股定理得 3x 2 x2 2y 2 即 2x2 y2 x 0 y 0 y x OP x 2x2 y23 sin OPA OA OP x 3x 1 3 3 3 类型 4 与特殊四边形有关 10 2016 玉林 如图 AB 是 O 的直径 点 C D 在圆上 且四边形 AOCD 是平行四边 形 过点 D 作 O 的切线 分别交 OA 延长线与 OC 延长线于点 E F 连接 BF 1 求证 BF 是 O 的切线 2 已知圆的半径为 1 求 EF 的长 解 1 证明 连接 OD EF 为 O 的切线 ODF 90 四边形 AOCD 为平行四边形 AO DC AO DC 又 DO OC OA DO OC DC DOC 为等边三角形 DOC ODC 60 DC AO AOD ODC 60 BOF 180 COD AOD 60 在 DOF 和 BCF 中 DO BO DOF BOF OF OF DOF BOF ODF OBF 90 BF 是 O 的切线 2 DOF 60 ODF 90 OFD 30 BOF 60 BOF CFD E E OFD 30 OF OE 又 OD EF DE DF 在 Rt ODF 中 OFD 30 OF 2OD DF OF2 OD222 123 EF 2DF 2 3 11 2016 宁波 如图 已知 O 的直径 AB 10 弦 AC 6 BAC 的平分线交 O 于点 D 过点 D 作 DE AC 交 AC 的延长线于点 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 求 DE 的长 解 1 证明 连接 OD AD 平分 BAC DAE DAB OA OD ODA DAO ODA DAE OD AE DE AC OD DE DE 是 O 切线 2 过点 O 作 OF AC 于点 F AF CF 3 OF 4 OA2 AF252 32 OFE DEF ODE 90 四边形 OFED 是矩形 DE OF 4 12 2015 桂林 如图 四边形 ABCD 是 O 的内接正方形 AB 4 PC PD 是 O 的两 条切线 C D 为切点 1 如图 1 求 O 的半径 2 如图 1 若点 E 是 BC 的中点 连接 PE 求 PE 的长度 3 如图 2 若点 M 是 BC 边上任意一点 不含 B C 以点 M 为直角顶点 在 BC 的上方 作 AMN 90 交直线 CP 于点 N 求证 AM MN 解 1 连接 OD OC PC PD 是 O 的两条切线 C D 为切点 ODP OCP 90 四边形 ABCD 是 O 的内接正方形 DOC 90 OD OC 四边形 DOCP 是正方形 AB 4 ODC OCD 45 DO CO DC sin45 4 2 2