中考数学轨迹问题集锦

中考数学综合 7 1 如图 1 已知线段 AB 6 C D 是 AB 上两点 且 AC DB 1 P 是线段 CD 上一动点 在 AB 同 侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF G 为线段 EF 的中点 点 P 由点 C 移动到点 D 时 G 点 移动的路径长度为 2 正 ABC 的边长为 3cm 边长为 1cm 的正 RPQ 的顶点 R 与点 A 重合 点 P Q 分别在 AC AB 上 将 RPQ 沿着边 AB BC CA 逆时针连续翻转 如图所示 直至点 P 第一次回到原来位置 则点 P 运动的路径 长为 cm 结果保留 3 如图 AB 为 O 的直径 AB 8 点 C 为圆上任意一点 OD AC 于 D 当点 C 在 O 上运动一周 点 D 运 动的路径长为 4 如图 一块边长为 6cm 的等边三角形木板 ABC 在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到 A B C 的 位置 则边 AB 的中点 D 运动的路径长是 5 如图所示 扇形 OAB 从图 无滑动旋转到图 再由图 到图 O 60 OA 1 1 求 O 点所运动的路径长 2 O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积 6 如图 OA OB 垂足为 O P Q 分别是射线 OA OB 上两个动点 点 C 是线段 PQ 的中点 且 PQ 4 则动 点 C 运动形成的路径长是 7 如图 半径为 2cm 圆心角为 90 的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引垂线 PH 交 OA 于点 H 设 OPH 的内心为 I 当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时 内心 I 所经过的路径长为 8 如图 正方形ABCD的边长是 2 M是AD的中点 点E从点A出发 沿AB运动到点B停止 连 接EM并延长交射线CD于点F 过M作EF的垂线交射线BC于点G 连结EG FG 1 设AE x时 EGF的面积为y 求y关于x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 P是MG的中点 请直接写出点P运动路线的长 F D C A B M P G E F D C A B M P G E 9 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究 已知 AB 8 问题思考 如图 1 点 P 为线段 AB 上的一个动点 分别以 AP BP 为边在同侧作正方形 APDC BPEF 1 当点 P 运动时 这两个正方形的面积之和是定值吗 若是 请求出 若不是 请求出这两个正方形面 积之和的最小值 2 分别连接 AD DF AF AF 交 DP 于点 K 当点 P 运动时 在 APK ADK DFK 中 是否存在两个 面积始终相等的三角形 请说明理由 问题拓展 3 如图 2 以 AB 为边作正方形 ABCD 动点 P Q 在正方形 ABCD 的边上运动 且 PQ 8 若点 P 从点 A 出 发 沿 A B C D 的线路 向点 D 运动 求点 P 从 A 到 D 的运动过程中 PQ 的中点 O 所经过的路径的长 4 如图 3 在 问题思考 中 若点 M N 是线段 AB 上的两点 且 AM BN 1 点 G H 分别是边 CD EF 的中点 请直接写出点 P 从 M 到 N 的运动过程中 GH 的中点 O 所经过的路径的长及 OM OB 的最小值 10 如图1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以1个单位长度的速 度运动 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒2个单位长度的速度运动 过点 P 作 PD BC 交 AB 于点 D 连接 PQ 分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 t 0 1 直接用含 t 的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在 t 的值 使四边形 PDBQ 为菱形 若存在 求出 t 的值 若不存在 说明理由 并探究如何 改变 Q 的速度 匀速运动 使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形 求点 Q 的速度 3 如图2 在整个运动过程中 求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长 11 在直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 坐标为 0 1 点 C 是 x 轴上一个动点 1 如图 1 AOB 和 BCD 都是等边三角形 当点 C 在 x 轴上运动时 请探究点 D 的运动轨迹 2 如图 2 ABO 和 ACD 都是等腰直角三角形 当点 C 在 x 轴上运动时 请探究点 D 的运动轨迹 3 如图 3 四边形 OABE 是正方形 请你画出正方形 BCDF BCDF 按照逆时针顺序 并探究当点 C 在 x 轴 上运动时 点 D 的运动轨迹 12 如图 在直角坐标系中 A 点坐标为 0 6 B 点坐标为 8 0 点 P 沿射线 BO 以每秒 2 个单位的 速度匀速运动 同时点 Q 从 A 到 O 以每秒 1 个单位的速度匀速运动 当点 Q 运动到点 O 时两点同时停止运 动 1 设 P 点运动时间为 t 秒 M 为 PQ 的中点 请用 t 表示出 M 点的坐标为 2 设 BPM 的面积为 S 当 t 为何值时 S 有最大值 最大值为多少 3 请画出 M 点的运动路径 并说明理由 4 若以 A 为圆心 AQ 为半径画圆 t 为何值时 A 与点 M 的运动路径只有一个交点 13 如图 抛物线 y ax2 bx 3 过点 A 1 0 B 3 0 与 y 轴相交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 若点 E 为抛物线对称轴上的一点 请探索抛物线上是否存在点 F 使以 A B E F 为顶点的四边形为 平行四边形 若存在 请求出所有点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若点 P 为线段 OC 上的动点 连接 BP 过点 C 作 CN 垂直于直线 BP 垂足为 N 当点 P 从点 O 运动到点 C 时 求点 N 运动路径的长 14 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标是 0 3 点 C 是 x 轴上的一个动点 点 C 在 x 轴上移动时 始 终保持 ACP 是等边三角形 当点 C 移动到点 O 时 得到等边三角形 AOB 此时点 P 与点 B 重合 1 点 C 在移动的过程中 当等边三角形 ACP 的顶点 P 在第三象限时 如图 求证 AOC ABP 由 此你发现什么结论 2 求点 C 在 x 轴上移动时 点 P 所在函数图象的解析式 15 如图 边长为 4 的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点 点A在x轴正半轴上 点B在第一象限 一 动点P沿x轴以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动 当点P到达点A时停止运动 设点P运动的时间 是t秒 将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转 60 得点C 点C随点P的运动而运动 连接CP CA 过点P作PD OB于点D 1 填空 PD的长为 用含t的代数式表示 2 求点C的坐标 用含t的代数式表示 3 在点P从O向A运动的过程中 PCA能否成为直角三角形 求t的值 若不能 说理由 4 填空 在点P从O向A运动的过程中 点C运动路线的长为 x y OA B DC P x y OA B 16 等边三角形ABC的边长为 6 在AC BC边上各取一点E F 连结AF BE相交于点P 1 若AE CF 求证 AF BE 并求 APB的度数 若AE 2 试求的值 AP AF 2 若AF BE 当点E从点A运动到点C时 试求点P经过的路径长 17 如图 E F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点 满足 AE DF 连接 CF 交 BD 于点 G 连接 BE 交 AG 于点 H 若正方形的边长为 2 则线段 DH 长度的最小值是 20 在平面直角坐标系中 O 为原点 点 A 2 0 点 B 0 2 点 E 点 F 分别为 OA OB 的中点 若 正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转 得正方形 OE D F 记旋转角为 如图 当 90 时 求 AE BF 的长 如图 当 135 时 求证 AE BF 且 AE BF 若直线 AE 与直线 BF 相交于点 P 求点 P 的纵坐标的最大值 直接写出结果即可 18 如图 矩形 ABCD 的边 AB 3cm AD 4cm 点 E 从点 A 出发 沿射线 AD 移动 以 CE 为直径作 O 点 F 为 O 与射线 BD 的公共点 连接 EF CF 过点 E 作 EG EF EG 与 O 相交于点 G 连接 CG 1 试说明四边形 EFCG 是矩形 2 当 O 与射线 BD 相切时 点 E 停止移动 在点 E 移动的过程中 矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值 若存在 求出这个最大值或最小值 若不存在 说 明理由 求点 G 移动路线的长 19 如图 在平面直角坐标系中 矩形OABC的两边OA OC分别在x轴 y轴的正半轴上 OA 4 OC 2 点P从点O出发 沿x轴以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动 当点P到达点 A时停止运动 设点P运动的时间是t秒 将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转 90 得点 D 点D随点P的运动而运动 连接DP DA 1 请用含t的代数式表示出点D的坐标 2 求t为何值时 DPA的面积最大 最大为多少 3 在点P从O向A运动的过程中 DPA能否成为直角三角形 若能 求t的值 若不能 请 说明理由 4 请直接写出随着点P的运动 点D运动路线的长 A D CB O A Px y A D CB O A Px y 20 如图 直角坐标系中 已知点 A 2 4 B 5 0 动点 P 从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动 动点 Q 从 A 点出发沿 AB 向终点 B 运动 两点同时出发 速度均为每秒 1 个单位 设从出发起运动 了 x 秒 1 Q 点的坐标为 用含 x 的代数式表示 2 当 x 为何值时 APQ 是一个以 AP 为腰的等腰三角形 3 记 PQ 的中点为 G 请你直接写出点 G 随点 P Q 运动所经过的路线的长度 21 问题探究 1 请在图 的正方形 ABCD 内 画出使 APB 90 的一个点 并说明理由 2 请在图 的正方形 ABCD 内 含边 画出使 APB 60 的所有的点 P 并说明理由 问题解决 3 如图 现在一块矩形钢板 ABCD AB 4 BC 3 工人师傅想用它裁出两块全等的 面积最大 的 APB 和 CP D 钢板 且 APB CP D 60 度 请你在图 中画出符合要求的点和 并求出 APB 的面积 结果保留根号 22 已知 矩形纸片 2BCD 中 2B 26 厘米 BC 18 5 厘米 点 E 在 2D 上 且 2E 6 厘米 点 P 是 2B 边上一动点 按如下操作 步骤一 折叠纸片 使点 P 与点 E 重合 展开纸片得折痕 MN 如了 1 所示 步骤二 过点 P 作 PT AB 交 MN 所在的直线于点 Q 连接 QE 手图 9 所示 1 无论点 P 在 AB 边上任何位置 都有 PQ QE 填 号