2007年厦门市九年级中考第一轮复习材料全套几何篇(下)

1 17 相似形的综合运用 一 相似形的综合运用 一 知识考点 会综合运用相似三角形的有关概念 定理解答有关问题 另外 直角三角形被斜边上 的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用 是近几年中考的热点题型 精典例题 例 1 如图 已知 在边长为 1 的正方形 ABCD 的一边上取一点 E 使 AE AD 从 AB 的中点 F 作 HF EC 于 H 4 1 1 求证 FH FA 2 求 EH HC 的值 证明 1 连结 EF FC 在正方形 ABCD 中 AD AB BC A B 900 AE AD F 为 AB 的中点 4 1 BC FB AF AE EAF FBC AEF BFC EFA CFB EFC 900 2 1 FC EF 又 EFC B 900 EFC FBC HEF BFC ECF BCF AEF HEF AFE HFE EAF HEF FH FA 2 由 1 得 由 1 易证 EHF EFC 从而可得 2 1 FC EF ECEHEF 2 同理 于是 EH HC 1 4CECHFC 22 EF 2 FC 变式 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 在 BC 上 6 5 BC AB 点 F 在 CD 上 且 EC BC FC CD FG AE 于 G 求 6 1 5 3 证 AG 4GE 提示 证 ECF FDA 得 EF AF 1 2 再证 EFG EAF FAG 即可 例 2 已知 在 ABC 中 ACB 900 过 C 作 CD AB 于 D AD BD m 2 1 又关于的方程的两实数根的n 2 AC 2 BCx012 1 2 4 1 22 mxnx 差的平方小于 192 求整数 的值 mn 分析 如图 易证 ABC ADC AD BD 2 1 即 2 AC 2 BCmn 再由方程两根差的平方小于 192 可得 又由判别式 0 知 2nm2 2 1 nn 2 又为整数 1 2 2 1 nnn 2 1 或 4 2mnmn 例 1 图 H F E DC BA 娈式图 G F E D CB A 2 例 2 图 D C BA F E D CB A 问题一图 F E D CB A G 问题一图 探索与创新 问题一 已知 如图 在矩形 ABCD 中 E 为 AD 的中点 EF EC 交 AB 于 F 连结 FC AB AE 1 AEF 与 EFC 是否相似 若相似 证明你的结论 若不相似 请说明理由 2 设 是否存在这样的值 使得 AEF 与 BFC 相似 若存在 证明 BC AB kk 你的结论并求出的值 若不存在 说明理由 k 解 1 相似 如图 证明 延长 FE 与 CD 的延长线交于点 G 在 Rt AEF 与 Rt DEG 中 E 是 AD 的中点 AE ED AEF DEG A EDG AFE DGE E 为 FG 的中点 又 CE FG FC GC CFE G AFE EFC 又 AEF 与 EFC 均为直角三角形 AEF EFC 2 存在 如果 BCF AEF 即 时 AEF BCF k 2 3 BC AB 证明 当时 2 3 BC AB ECG 300 ECG ECF AEF 300 BCF 900 600 3003 DE DC 又 AEF 和 BCF 均为直角三角形 AEF BCF 因为 EF 不平行于 BC BCF AFE 不存在第二种相似情况 跟踪训练 一 填空题 一 填空题 1 在 Rt ABC 中 BAC 900 AD BC 于 D AB 2 DB 1 则 DC AD 2 在 ABC 中 AB 12 AC 15 D 为 AB 上一点 BD AB 在 AC 上取一点 E 3 1 3 得 ADE 当 AE 的长为 时 图中的两个三角形相似 3 在 Rt ABC 中 AD 为斜边上的高 则 AB BC ABDABC SS 4 二 选择题 二 选择题 在 ABC 中 A B C 1 2 3 CD AB 于 D AB 则 DB a A B C D 4 a 3 a 2 a 4 3a 三 解答题 三 解答题 1 如图 在 ABC 中 ACB 900 CD AB 于 D 为了求出 AC 在图中你能找 出哪些适当的条件 第 1 题图 A C DB 第 2 题图 F E A C DB 2 如图 CD 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的高 E 是 BC 上任意一点 EF AB 于 F 求证 EFCDAFADAC 2 3 如图 在 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高 点 M 在 CD 上 DH BM 且与 AC 的延长线交于点 E 求证 1 AED CBM 2 CDACCMAE 第 3 题图 M H F E A C DB 第 4 题图 G F E A C D B 4 已知 如图 在 Rt ABC 中 ACB 900 AD 平分 CAB 交 BC 于点 D 过点 C 作 CE AD 垂足为 E CE 的延长线交 AB 于点 F 过点 E 作 EG BC 交 AB 于点 G 求 EG 的长 16 ADAE54 AB 跟踪训练参考答案 一 填空题 1 3 2 10 或 3 1 2 3 5 32 二 选择题 A 三 解答题 1 AD DC AB BC AD AB AD BD AB BD CD BD BD BC BC CD AD BC AB CD 等 4 2 由 ADC ACB 得 又FBADAFADFBAFADABADAC 2 由 ACD EBF 得 所以EFCDFBAD EFCDAFADAC 2 3 略 4 4 18 相似形的综合运用 二 相似形的综合运用 二 知识考点 本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理 这是中考的必考内容 另外 以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型 精典例题 例 1 如图已知 ABC 中 AB 5 BC 3 AC 4 PQ AB P 点在 AC 上 与点 A C 不重合 Q 点在 BC 上 1 当 PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时 求 CP 的长 2 当 PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时 求 CP 的长 3 试问 在 AB 上是否存在点 M 使得 PQM 为等腰直角三角形 若不存在 请 简要说明理由 若存在 请求出 PQ 的长 解 1 PABQPQC SS 四边形 2 1 ABCPQC SS 又 PQ AB PQC ABC 2 1 2 AC PC S S ABC PQC 8 2 1 42 2 PC 故22 PC 2 PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等 PC CQ PA AB QB ABC 的周长 6 2 1 又 PQ AB 即 解得 CB CQ CA CP 3 6 4 CPCP 7 24 CP 例 1 图 1 Q P C BA 例 1 图 2 MM QP C BA 例 1 图 3 M Q P C BA 3 依题意得 如图 2 当 MPQ 900 PM PQ 时 由勾股定理的逆定理得 5 C 900 ABC 的 AB 边上的高为 设 PM PQ 5 12 x PQ AB CPQ CAB 解得 即 5 12 5 12 5 x x 37 60 x 37 60 PC 当 时 同理可得 0 90 QPMMQQP 37 60 PC 依题意得 如图 3 当 PMQ 900 MP MQ 时 由等腰直角三角形的性质得 M 到 PQ 的距离为PQ 设 PQ 由 PQ AB 可得 CPQ CAB 所以有 2 1 x 解得 即 5 12 2 1 5 12 5 x x 49 120 x 49 120 PQ 例 2 如图 ABC CBA C 900 AC 3cm 5cm 先将 ABC 和 C BA 完全重合 再将 ABC 固定 沿 CB 所在的CBA CBA 直线向左以每秒 1cm 的速度平行移动 设移动秒后 ABCx 与 的重叠部分的面积为 cm2 则与之间的函数关系式为 CBA yyx 秒后重叠部分的面积为cm2 8 3 答案 0 4 63 8 3 2 xxyx 变式 操场上有一高高耸立的旗杆 如何测出它的高度 请你说出几种方法来 探索与创新 问题 在 ABC 中 D 为 BC 边上的中点 E 为 AC 边上任意一点 BE 交 AD 于点 O 某学生在研究这一问题时 发现了如下的事实 当时 有 如图 1 11 1 2 1 AC AE 12 2 3 2 AD AO 当时 有 如图 2 21 1 3 1 AC AE 22 2 4 2 AD AO 当时 有 如图 3 31 1 4 1 AC AE 32 2 5 2 AD AO 在图 4 中 当时 参照上述研究结论 请你猜想用表示的一般结 nAC AE 1 1 n AD AO 论 并给出证明 其中是正整数 n 分析 特例能反映个性特征信息 个性之中包含着共性 共性蕴含在个性之中 特例所 反映的个性特征 往往通过类比就可以反映其共性规律 对照 1 2 3 很容易猜想得到这样一个结论 独想 当时 有成立 nAC AE 1 1 nAD AO 2 2 C B A 例 2 图 CB A 6 问题图 1 O E D CB A 问题图 2 O E D CB A 问题图 3 O E D CB A 问题图 4 F O E DCB A 证明 过点 D 作 DF BE 交 AC 于点 F D 是 BC 的中点 F 是 EC 的中点 由可知 nAC AE 1 1 nEC AE1 nEF AE2 nAF AE 2 2 nAF AE AD AO 2 2 跟踪训练 一 填空题 1 梯形 ABCD 中 AB CD AB CD AC BD 交于点 O 过点 O 的直线分别交 AB CD 于 E F 若 FC 4cm 则 CD cm 3 1 AB AE 2 如图 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点 OE AD 交 CD 于 E OF AB 于 F 那 么 OEF S ABCD S平行四边形 第 2 题图 O F E D CB A 第 3 题图 H G FE DC BA 3 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD 中位线 EF 交 BD 于 H AF 交 BD 于 G CD 4AB 则 ABCD S梯形 GHF S 二 选择题 二 选择题 矩形 ABCD 中 AB 3 AD 4 DE 垂直对角线 AC 于 E 那么 ADE S DCE S A 4 3 B 16 9 C 3 D 3 432 三 解答题 三 解答题 7 1 如图 在正方形 ABCD 中 M 是 AB 上一点 BM BN 作 BP MC 于 P 求证 DP NP 第 1 题图 M N P D CB A 第 2 题图 H E F G D C B A x y 第 4 题图 O M Q P C B A 2 如图 在四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 上的点 且 阅读下段材料 然后再回答后面的问题 k HD AH GC DG FC BF EB AE 0 k 连结 BD EH BD HD AH EB AE FG BD FG EH GC DG FC BF 连结 AC 则 EF 与 GH 是否一定平行 答 当值为 时 四边形 EFGH 是平行四边形 k 在 的情况下 对角线 AC 与 BD 只须满足 条件时 EFGH 是矩形 在 的情况下 对角线 AC 与 BD 只须满足 条件时 EFGH 是菱形 3 已知 ABC 中 AB AC 2 BC 边上的高 AD 323 1 求 BC 的长 2 如果有一个正方形的一边在 AB 上 另外两个顶点分别在 AC BC 上 求正方 形的面积 提示 D 点可能在 BC 上或在 BC 的延长线上 问题要分类讨论 3 已知抛物线与轴交于 A 0 B 0 mmmxxy 22 183 8 1 x 1 x 2 x 两点 与轴交于点 C 0 O 为坐标原点 21 xx yb 1 求的取值范围 m 2 若 OA OB 3OC 求抛物线的解析式及 A B C 三点的坐标 18 1 m 3 在 2 的情形下 点 P Q 分别从 A O 两点同时出发 如图 以相同的速度 沿 AB OC 向 B C 运动 连结 PQ 与 BC 交于 M 设 AP 问是否存在值 使以kk P B M 为顶点的三角形与 ABC 相似 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 k 跟踪训练参考答案跟踪训练参考答案 一 填空题 1 12 2 1 8 3 15 2 二 选择题 B 三 解答题 1 证 BPM CPB PBN PCD 8 2 不一定 1 AC BD AC BD 3 点 D 在 BC 上时 BC 4 点 D 在 BC 的延长线上时 3612 S BC 2 121 348156 S 4 1 0 m 2 A 8 0 B 4 0 C 0 4 4 2 3 8 1 2 xxy 3 存在或 2 3 8 k 19 圆的有关概念和性质圆的有关概念和性质 知识考点 1 理解圆的定义 掌握点与圆的位置关系 2 理解弦 弧 半圆 优弧 同心圆 等圆 等弧 弓形 圆心角 圆周角等与圆有 关的概念 3 掌握圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系 并会运用这些关系解决一些几何证明题 和计算题 精典例题 例 1 在平面直角坐标系内 以原点 O 为圆心 5 为半径作 O 已知 A B C 三 点的坐标分别为 A 3 4 B 3 3 C 4 试判断 A B C 三点与10 O 的位置关系 分析 要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系 解 OA 543 22 OA 523 3 3 22 OB 526 10 4 22 OC 点 A 在 O 上 点 B 在 O 内 点 C 在 O 外 例 2 如图 ABC 中 A 700 O 截 ABC 的三条边所截得的弦长都相等 则 BOC 分析 由于 O 截 ABC 的三条边所截得的弦长都相等 则点 O 到三边的距离也相 等 即 O 是 ABC 角平分线的交点 问题就容易解决了 解 作 OD BC 于 D OE AC 于 E OF AB 于 F 则 OD OE OF O 为 ABC 角平分线的交点 A 700 ABC ACB 1100 例 2 图 O F E D CB A 9 OBC OCB 1100 550 2 1 BOC 1800 550 1250 例 3 如图 1 在 O 中 AB 2CD 那么 A B CDAB2 CDAB2 C D 与的大小关系不能确定 CDAB2 AB CD2 分析 如图 1 把作出来 变成一段弧 然后比较与的大小 CD2 CD2 AB 解 如图 1 作 则 CDDE CDCE2 在 CDE 中 CD DE CE 2CD CE AB 2CD AB CE 即 CEAB CDAB2 例 3 图 1 O E D C BA 变式图 O E D C BA y x 问题图 O C BA M 变式 如图 在 O 中 问 AB 与 2CD 的大小关系 CDAB2 略解 取的中点 E 则 AB CDBEAB AB BE CD 在 AEB 中 AE BE AB 2CD AB 即 AB 2CD 探索与创新 问题 已知点 M 在抛物线上 若以 M 为圆心的圆与轴有两pq1 2 xyx 个交点 A B 且 A B 两点的横坐标是关于的方程的两根 如上图 x02 2 qpxx 1 当 M 在抛物线上运动时 M 在轴上截得的弦长是否变化 为什么 x 2 若 M 与轴的两个交点和抛物线的顶点 C 构成一个等腰三角形 试求 xp 的值 q 分析 1 设 A B 两点的横坐标分别是 由根与系数的关系知 1 x 2 x 10 那么 pxx2 21 qxx 21 又因为 M 在抛物线qpxxxxxxxxAB 2 21 2 21 2 2121 24 上 所以 故 AB 2 即 M 在轴上截得的弦长不变 1 2 xy1 2 pqx 2 C 0 1 1 2 2 xBC1 2 1 xAC 当 AC BC 即时 21 xx 0 p1 q 当 AC AB 时 或41 2 1 x3 1 x31 p323 q 13 p323 q 当 BC AB 时 或 3 2 x13 p323 q13 p 323 q 跟踪训练 一 选择题 一 选择题 1 两个圆的圆心都是 O 半径分别为 且 OA 那么点 A 在 1 r 2 r 1 r 2 r A 内 B 外 C 外 内 D 内 外 1 r 2 r 1 r 2 r 1 r 2 r 2 一个点到圆的最小距离为 4cm 最大距离为 9cm 则该圆的半径是 A 2 5 cm 或 6 5 cm B 2 5 cm C 6 5 cm D 5 cm 或 13cm 3 三角形的外心恰在它的一条边上 那么这个三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 4 如图 AB 为 O 的一固定直径 它把 O 分成上 下两个半圆 自上半圆上一点 C 作弦 CD AB OCD 的平分线交 O 于点 P 当点 C 在上半圆 不包括 A B 两点 上移动时 点 P A 到 CD 的距离保持不变 B 位置不变 C 等分 D 随 C 点移动而移动 DB 二 填空题 二 填空题 1 若为 O 的直径 为 O 的一条弦长 则与的大小关系是 dmdm 2 ABC 的三边分别为 5 cm 12 cm 13 cm 则 ABC 的外心和垂心的距离是 3 如图 O 中两弦 AB CD AB CD 相交于 E ON CD 于 N OM AB 于 M 连 结 OM ON MN 则 MNE 与 NME 的大小关系是 MNE NME 第 4 题图 P O D C B A 11 第 3 题图 N M O E D C B A 第 4 题图 F O E D C BA 4 如图 O 中 半径 CO 垂直于直径 AB D 为 OC 的中点 过 D 作弦 EF AB 则 CBE 5 在半径为 1 的 O 中 弦 AB AC 的长分别为和 则 BAC 的度数为 23 三 计算或证明 三 计算或证明 1 如图 的度数为 900 点 C 和点 D 将三等分 半径 OC OD 分别和弦 AB AB AB 交于 E F 求证 AE CD FB 第 1 题图 F O E D C B A 第 2 题图 Q P O D C B A 第 3 题图 M O D C B A 2 如图 在 O 中 两弦 AB 与 CD 的中点分别是 P Q 且 连结 PQ CDAB 求证 APQ CQP 3 如图 在 O 中 两弦 AC BD 垂直相交于 M 若 AB 6 CD 8 求 O 的半 径 4 如图 已知 A B C D 四点顺次在 O 上 且 BM AC 于 M 求 BDAB 证 AM DC CM 第 4 题图 M O D C B A 跟踪训练参考答案 一 选择题 CABB 12 二 填空题 1 2 6 5cm 3 4 300 5 150或 750dm 三 计算或证明 1 提示 连结 AC BD 先证 AC CD BD 再利用角证 AC AE BD DF 即可 2 提示 连结 OP OQ P Q 是 AB CD 的中点 OP AB OQ CD OP OQ CDAB OPQ OQP APQ CQP 3 提示 连结 CO 并延长交 O 于 E 连结 ED AE 设 O 的半径为 R 则 EDC EAC 900 AC BD AE BD 222 4REDCD EDAB AB ED 而 AB 6 CD 8 R 5 222 4RCDAB 4 提示 延长 DC 至 N 使 CN CM 连结 NB 则 BCN BAD BDA BCA 可证得 BCN BCM Rt BAM Rt BDN 20 垂径定理垂径定理 知识考点 1 垂径定理及其推论是指 一条直线 过圆心 垂直于一条弦 平分这条弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧 这五个条件只须知道两个 即可得出另三个 平分弦时 直径除外 要求理解掌握 2 掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用 精典例题 例 1 如图 O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E 若 AE 2cm BE 6cm CEA 300 求 1 CD 的长 2 C 点到 AB 的距离与 D 点到 AB 的距离之比 分析 有关弦 半径 弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究 所以连 半径 作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法 解 1 过点 O 作 OF CD 于 F 连结 DO AE 2cm BE 6cm AB 8cm O 的半径为 4 cm CEA 300 OF 1 cm cm15 22 OFODDF 由垂径定理得 CD 2DF cm152 2 过 C 作 CG AB 于 G 过 D 作 DH AB 于 H 易求 EF cm3 例 1 图 H E F G O D C BA 13 DE cm CE cm 315 315 2 53 315 315 DE CE DH CG 例 2 如图 半径为 2 的圆内有两条互相垂直的弦 AB 和 CD 它们的交点 E 到圆心 O 的距离等于 1 则 22 CDAB A 28 B 26 C 18 D 35 分析 如图 连结 OA OC 过 O 分别作 AB CD 的垂线 垂足分别为 M N 则 AM MB CN ND OM MN ME EN CN ND 222 OEONOM 从而 22222 OECNOCAMOA 即 22222 1 2 2 2 2 CDAB 28 22 CDAB 故选 A 例 3 如图 等腰 ABC 内接于半径为 5cm 的 O AB AC tanB 求 3 1 1 BC 的长 2 AB 边上高的长 分析 1 已知 AB AC 可得 则 A 为的中点 已知弧的中点往往 ACAB BC 连结这点和圆心 从而可应用垂径定理 2 求一边上的高 或垂线段 可考虑用面积法 来求解 解 1 连结 AO 交 BC 于 D 连结 BO 由 AB AC 得 又 O 为圆心 ACAB 由垂径定理可得 AO 垂直平分 BC tanB 设 AD cm 则 BD cm 3 1 xx3 OD cm 5 x 在 Rt BOD 中 解得 舍去 222 5 3 5xx 1 1 x0 2 x BD 3 cm BC 6 cm 2 设 AB 边上的高为 由 1 得 AD 1 cm AB cmh10 例 2 图 M N E O D C BA 例 3 图 O D CB A 例 2 图 M N E O D C BA 14 hABADBCS ABC 2 1 2 1 5 103 AB ADBC h 探索与创新 问题一 不过圆心的直线 交 O 于 C D 两点 AB 是 O 的直径 AE 于ll E BF 于 F l 1 如图 在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形 2 请你观察 1 中所画的图形 写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 不 再标注其它字母 找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中 不写推理过程 3 请你选择 1 中的一个图形 证明 2 所得出的结论 分析 这是一道开放性试题 首先要根据直线 与 AB 的不同位置关系画出不同的图形l 如下图 直线 与 AB 平行 直线 与 AB 相交 直线 与 AB 或 BA 的延长线相lll 交 其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论 结论也是开放的 这也是近几年中 考命题的热点 解 1 如下图所示 l 问题一图 1 O HF EDC B A l 问题一图 2 O HF E DC B A l 问题一图 3 O HFEDC BA 2 EC FD 或 ED FC 3 以 图为例来证明 过 O 作 OH 于 Hl AE BF AE OH BFll 又 OA OB EH HF 再由垂径定理可得 CH DH EH CH FH DH 即 EC FD 问题二 如图 O1与 O2相交于 A B 两点 过 A 任作一直线与 O1交于 M 与 O2交于 N 问什么时候 MN 最长 为什么 解析 任作两条过 A 的线段 EF MN 比较 MN 与 EF 的大小 不好比较 根据垂径定理 分别过 O1 O2作 弦心距 易知 CD EF PQ MN 比较 PQ 与 CD 的 2 1 2 1 大小即可 PQ O1O2 发现 O1O2是直角梯形的斜腰 2 O 1 O 问题二图 QPN M F E D C B A 15 大于直角腰 如果 MN 的一半正好是 O1O2 则 MN 最长 答案 当 MN O1O2时 MN 最长 跟踪训练 一 选择题 一 选择题 1 下列命题中正确的是 A 平分弦的直径必垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 B 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 C 若两段弧的度数相等 则它们是等弧 D 弦的垂线平分弦所对的弧 2 如图 O 中 直径 CD 15cm 弦 AB CD 于点 M OM MD 3 2 则 AB 的长是 3 已知 O 的半径为 10cm 弦 AB CD AB 12 cm CD 16 cm 则 AB 和 CD 的距离是 A 2cm B 14cm C 2cm 或 14cm D 2cm 或 12cm 4 若圆中一弦与弦高之和等于直径 弦高长为 1 则圆的半径长为 A 1 B C 2 D 2 3 2 5 二 填空题 二 填空题 1 在半径为 5cm 的 O 中 有一点 P 满足 OP 3 cm 则过 P 的整数弦有 条 2 如图 O 中弦 AB CD 于 E AE 2 EB 6 ED 3 则 O 的半径为 3 等腰 ABC 中 AB AC A 1200 BC 10 cm 则 ABC 的外接圆半径为 4 圆内一弦与直径相交成 300的角 且分直径为 1 cm 和 5 cm 两段 则此弦长为 5 如图 AB 为 O 的直径 AC 为弦 OD AC 于 D BD 交 OC 于 E 若 AC 4 AB 5 则 BE 第 2 题图 E O D C B A 第 5 题图 E O D C BA 2 O 1 O 第 6 题图 P D C B A 6 如图 已知 O1与 O2相交于 A B 两点 C A D 三点在一条直线上 CD 的延长 线交 O1 O2的延长线于 P P 300 则 CD 32 21 OO 三 计算或证明题 三 计算或证明题 1 如图 Rt ABC 中 C 900 AC 3 BC 4 以点 C 为圆心 CA 为半径的圆 与 AB BC 分别交于点 D E 求 AB AD 的长 选择第 2 题图 M O D C BA 16 第 1 题图 E D C BA 第 2 题图 G F O E D C B A 第 3 题图 O E D CB A 2 如图 O 的半径为 10cm G 是直径 AB 上一点 弦 CD 经过点 G CD 16cm AE CD 于 E BF CD 于 F 求 AE BF 的值 3 如图 AB 为 O 的直径 点 C 在 O 上 BAC 的平分线交 BC 于 D 交 O 于 E 且 AC 6 AB 8 求 CE 的长 4 如图 ABC 内接于 O 弦 AD BC 于 E CF AB 于 F 交 AD 于 G BE 3 CE 2 且 tan OBC 1 求四边 ABDC 的面积 第 4 题图 G F O E D C B A 跟踪训练参考答案 一 选择题 BCCD 二 填空题 1 4 条 2 3 cm 4 cm 5 6 6 2 65 3 310 24 3 132 三 计算或证明题 1 AB 5 AD 5 18 2 解 连结 OC 过点 O 作 OM CD 于 M 则 CM MD CD 16 AB 8 在 Rt OMC 中 因 OC 10 OM 6810 2222 CMOC AE CD BF CD OM CD AE OM BF OG AG OM AE OG BG OM BF 2 2 OG OG OG BGAG OM BFAE AE BF 2OM 12 3 提示 连结 OE 由得 OE 垂直平分 BC 于 F AB 为直径 则 ECBE ACB 900 BC CF EC 72 22 ACAB7221 7 22 17 4 解 过点 O 作 OM BC 于 M ON AD 于 N 连结 AO BE 3 CE 2 BC 5 BM 2 5 又 tan OBC 1 OBM 450 在 Rt OBM 中 OB ON ME 2 2 5 2 1 在 Rt AON 中 AN 2 7 22 ANOA ON AD AN ND AD 7 2 35 2 1 2 1 2 1 ADBCDEBCAEBCSABDC 21 切线的判定与性质切线的判定与性质 知识考点 1 掌握切线的判定及其性质的综合运用 在涉及切线问题时 常连结过切点的半径 切线的判定常用以下两种方法 一是连半径证垂直 二是作垂线证半径 2 掌握切线长定理的灵活运用 掌握三角形和多边形的内切圆 三角形的内心 精典例题 例 1 如图 AC 为 O 的直径 B 是 O 外一点 AB 交 O 于 E 点 过 E 点作 O 的切线 交 BC 于 D 点 DE DC 作 EF AC 于 F 点 交 AD 于 M 点 1 求证 BC 是 O 的切线 2 EM FM 分析 1 由于 AC 为直径 可考虑连结 EC 构造直角三角形来解题 要证 BC 是 O 的切线 证到 1 3 900即可 2 可证到 EF BC 考虑用比例线段证线段相 等 证明 1 连结 EC DE CD 1 2 DE 切 O 于 E 2 BAC AC 为直径 BAC 3 900 1 3 900 故 BC 是 O 的切线 2 1 3 900 BC AC 又 EF AC EF BC CD MF AD AM BD EM BD CD EM FM 例 2 如图 ABC 中 AB AC O 是 BC 的中点 以 O 为圆心的圆与 AB 相切 于点 D 求证 AC 是 O 的切线 分析 由于 O 与 AC 有无公共点未知 因此我们从圆心 O 向 AC 作垂线段 OE 证 OE 就是 O 的半径即可 证明 连结 OD OA 作 OE AC 于 E AB AC OB OC AO 是 BAC 的平分线 AB 是 O 的切线 OD AB 例 1 图 3 2 1 M FO E D C B A 例 2 图 E O D CB A 18 又 OE AC OE OD AC 是 O 的切线 例 3 如图 已知 AB 是 O 的直径 BC 为 O 的切线 切点为 B OC 平行于弦 AD OA r 1 求证 CD 是 O 的切线 2 求的值 OCAD 3 若 AD OC 求 CD 的长 r 2 9 分析 1 要证 CD 是 O 的切线 由于 D 在 O 上 所以 只须连结 OD 证 OD DC 即可 2 求的值 一般是OCAD 利用相似把转化为其它线段长的乘积 若其它两条线段OCAD 长的乘积能求出来 则可完成 3 由 AD OC OCAD 可求出 AD OC 根据勾股定理即可求出 CD r 2 9 证明 1 连结 OD 证 ODC 900即可 2 连结 BD AB 为 O 的直径 ADB 900 OBC 900 ADB OBC 又 A 3 ADB OBC OC AB OB AD 2 2rABOBOCAD 3 由 2 知 又知 AD OC 2 2rOCAD r 2 9 AD OC 是关于的方程的两根x02 2 9 22 rrxx 解此方程得 2 1 r x rx4 2 OC OC rr4 CD rrrODOC1516 2222 探索与创新 问题一 如图 以正方形 ABCD 的边 AB 为直径 在正方形内部作半圆 圆心为 O CG 切半圆于 E 交 AD 于 F 交 BA 的延长线于 G GA 8 1 求 G 的余弦值 2 求 AE 的长 略解 1 设正方形 ABCD 的边长为 FA FE 6 在 Rt FCD 中 a 解得 222 CDFDFC 222 ababa ba4 5 4 5 4 cos b b ba a FC CD FCD 例 3 图 3 2 1 O D C BA 问题一图 G F E O D CB A 19 AB CD G FCD 5 4 cos G 2 连结 BE CG 切半圆于 E AEG GBE G 为公共角 AEG EBG 2 1 32 16 GB GE BE AE 在 Rt AEB 中 可求得5 5 24 AE 问题二 如图 已知 ABC 中 AC BC CAB 定值 O 的圆心 O 在 AB 上 并分别与 AC BC 相切于点 P Q 1 求 POQ 2 设 D 是 CA 延长线上的一个动点 DE 与 O 相切于点 M 点 E 在 CB 的延长线 上 试判断 DOE 的大小是否保持不变 并说明理由 分析 1 连结 OC 利用直角三角形的性质易求 POQ 2 试将 DOE 用含 的式子表示出来 由于为定值 则 DOE 为定值 解 1 连结 OC BC 切 O 于 P Q 1 2 OP CA OQ CB CA CB CO AB COP CAB COQ CBA CAB POQ COP COQ 2 2 由 CD DE CE 都与 O 相切得 ODE CDE OED CED 2 1 2 1 DOE 1800 ODE OED 1800 CDE CED 2 1 1800 1800 ACB 2 1 1800 1800 1800 2 1 2 0 180 DOE 为定值 跟踪训练 一 选择题 一 选择题 1 圆的切线垂直于经过切点的半径 的逆命题是 A 经过半径外端点的直线是圆的切线 B 垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线 C 垂直于半径的直线是圆的切线 D 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 在 Rt ABC 中 A 900 点 O 在 BC 上 以 O 为圆心的 O 分别与 AB AC 相切 于 E F 若 AB AC 则 O 的半径为 ab A B C D ab ab ba ba ab 2 ba 问题二图 N Q P E O D C BA 20 3 正方形 ABCD 中 AE 切以 BC 为直径的半圆于 E 交 CD 于 F 则 CF FD A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 5 4 如图 过 O 外一点 P 作 O 的两条切线 PA PB 切点分别为 A B 连结 AB 在 AB PB PA 上分别取一点 D E F 使 AD BE BD AF 连结 DE DF EF 则 EDF A 900 P B 900 P C 1800 P D 450 P 2 1 2 1 第 3 题图 O F E D C B A 第 4 题图 P O F E D B A 第 6 题图 C O E D BA 二 填空题 二 填空题 5 已知 PA PB 是 O 的切线 A B 是切点 APB 780 点 C 是 O 上异于 A B 的 任一点 则 ACB 6 如图 AB BC DC BC BC 与以 AD 为直径的 O 相切于点 E AB 9 CD 4 则四边形 ABCD 的面积为 7 如图 O 为 Rt ABC 的内切圆 点 D E F 为切点 若 AD 6 BD 4 则 ABC 的面积为 8 如图 已知 AB 是 O 的直径 BC 是和 O 相切于点 B 的切线 过 O 上 A 点的直线 AD OC 若 OA 2 且 AD OC 6 则 CD 第 7 题图 F C O E D B A 第 8 题图 C O D BA 第 9 题图 C ODB A 9 如图 已知 O 的直径为 AB BD OB CAB 300 请根据已知条件和所给图形写 出 4 个正确的结论 除 OA OB BD 外 10 若圆外切等腰梯形 ABCD 的面积为 20 AD 与 BC 之和为 10 则圆的半径为 三 计算或证明题 三 计算或证明题 11 如图 AB 是半 O 的直径 点 M 是半径 OA 的中点 点 P 在线段 AM 上运动 不与点 M 重合 点 Q 在半 O 上运动 且总保持 PQ PO 过点 Q 作 O 的切线交 BA 的延长线于点 C 1 当 QPA 600时 请你对 QCP 的形状做出猜想 并给予证明 2 当 QP AB 时 QCP 的形状是 三角形 3 则 1 2 得出的结论 请进一步猜想 当点 P 在线段 AM 上运动到任何位 21 置时 QCP 一定是 三角形 12 如图 割线 ABC 与 O 相交于 B C 两点 D 为 O 上一点 E 为的中点 BC OE 交 BC 于 F DE 交 AC 于 G ADG AGD 1 求证 AD 是 O 的切线 2 如果 AB 2 AD 4 EG 2 求 O 的半径 第 11 题图 M Q PCO B A 第 12 题图 D E F G C B A 第 13 题图 O D E C B A 13 如图 在 ABC 中 ABC 900 O 是 AB 上一点 以 O 为圆心 OB 为半径的 圆与 AB 交于点 E 与 AC 切于点 D AD 2 AE 1 求 BCD S 14 如图 AB 是半圆 圆心为 O 的直径 OD 是半径 BM 切半圆于 B OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C 1 求证 CD 是半圆的切线 2 若 AB 长为 4 点 D 在半圆上运动 设 AD 长为 点 A 到直线 CD 的距离为 xy 试求出与之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 yxx 第 14 题图 M O D C BA 第 15 题图 T E P OC B A 15 如图 AB 是 O 的直径 点 C 在 O 的半径 AO 上运动 PC AB 交 O 于 E PT 切 O 于 T PC 2 5 1 当 CE 正好是 O 的半径时 PT 2 求 O 的半径 2 设 求出与之间的函数关系式 yPT 2 xAC yx 3 PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形 若能 请求出 PTC 的面积 若不能 请说明理由 跟踪训练参考答案跟踪训练参考答案 一 选择题 DCBB 二 填空题 22 5 51 或 129 6 78 7 24 8 32 9 ACB 900 AB 2BC DC 是 O 的切线 BD BC 等 10 2 三 计算或证明题 11 1 QCP 是等边三角形 2 等腰直角三角形 3 等腰三角形 12 1 证 OD AD 2 32 13 过 D 作 DF BC 于 F 5 18 BCD S 14 1 证 ODC 900 2 连结 BD 过 A 作 AE CD 于 E 证 ADB AED 则有 即 AD AB AE AD 4 x x y 2 4 1 xy 40 x 15 1 O 的半径为 1 5 2 连结 OP OT 由勾股定理得 化简得 0 1 5 3 PTC 不可 222 5 1 5 1 5 2 xy25 6 3 2 xxyx 能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形 理由如下 当 PT CT 时 由于 PT 切 O 于 T 所以 CT 过圆心 即 CT 就是 O 的半径 由 1 知 CT 1 5 PT 2 即 PT CT 故 PTC 不可能变为以 PC 为斜边的等腰直角三 角形 22 与圆有关的角与圆有关的角 知识考点 1 掌握与圆有关的角 如圆心角 圆周角 弦切角等概念 2 掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 掌握圆周角定理及其推论 4 掌握弦切角定理及其推论 5 掌握各角之间的转化及其综合运用 精典例题 例 1 如图 在等腰 ABC 中 AC BC C 1000 点 P 在 ABC 的外部 并 且 PC BC 求 APB 的度数 分析 注意条件 AC BC PC 联想到圆的定义 画出以点 C 为圆心 AC 为半径的 圆 问题则得以解决 解 AC BC PC BC A B P 三点在以 C 为圆心 AC 为半径的圆上 若 P C 在 AB 的同侧 则 APB ACB 2 1 ACB 1000 APB 500 若 P C 在 AB 的异侧 则 APB 1800 50 1300 例 2 如图 在 ABC 中 B 900 O 是 AB 上一点 以 O 为圆心 OB 为半径 的圆与 AB 交于 E 与 AC 切于点 D 直线 ED 交 BC 的延长线于 F 若 AD AE 2 1 P 例 1 图 P C B A 23 求 cot F 的值 分析 由 AD AE 2 1 和 ADE ABD 有 DE DB 1 2 而 F EBD 则 cot F cot EBD 故结论得证 DE BD 解 连结 BD AC 为 O 的切线 1 2 A A ADE ABD 即 DE BD AE AD 1 2 AE AD 2 1 2 DE DB BE 为 O 的直径 BDE 900 2 BEF 900 F BEF 900 2 F cot F cot 2 2 DE BD 例 3 如图 由矩形 ABCD 的顶点 D 引一条直线分别交 BC 及 AB 的延长线于 F G 连结 AF 并延长交 BGF 的外接圆于 H 连结 GH BH 1 求证 DFA HBG 2 过 A 点引圆的切线 AE E 为切点 AE CF FB 1 2 求 AB 的长 33 3 在 2 的条件下 又知 AD 6 求 tan HBG 的值 分析 1 证 DAF AFB BGH DFA HFG HBG 即可 2 由 DC AG 得 CF FB CD BG 1 2 则 AB AG 1 3 由切割 线定理得 AB 3 3 由 2 知 AB 3 AG 9 过 A 作 AQ DG 于 Q 由 得 所以 DF DG 由ABADAQDG 2 1 2 1 13 1318 AQ 3 1 13 得 所以 故DGDQAD 2 13 1312 DQ 13 13 QF tan HBG tan HFG tan QFA 18 FQ AQ 例 3 图 H G Q E F D C B A 问题一图 O P D C BA 例 2 图 2 1 OE F D C B A 24 探索与创新 问题一 如图 已知 半圆的直径 AB 6cm CD 是半圆上长为 2cm 的弦 问 当 弦 CD 在半圆上滑动时 AC 和 BD 延长线的夹角是定值吗 若是 试求出这个定角的正弦 值 若不是 请说明理由 分析 本题有一定难度 连结 BC 或 AD 可构成直角三角形 这是遇直径常用的辅 助线 解 连结 BC CD 为定长 虽 CD 滑动 但的度数不变 PBC 为定值 CD P ACP PBC 900 PBC 为定值 PCD PBA PCD PBA 3 1 6 2 BA CD PB PC 在 Rt PBC 中 cos P sin P 3 1 PB PC 3 22 3 1 1 2 评注 本题是在变中寻不变 有一定的难度 但考虑到常用的辅助线 直径 问题 便迎刃而解了 变式 如图 BC 与 AD 交于 E 其它条件与上题一致 问 P 与 DEB 的大小关系 分析 AB 为直径 则 PCB ADB 900 而 cos P 又 AB CD PB PC CED AEB cos DEB cos P cos DEB 故 P 与 DEB 的大 EB DE AB CD 小相等 问题一变式图 E O P D C BA P 问题二图 O P D C B A 问题二 如图 AB 是 O 的直径 弦 非直径 CD AB P 是 O 上不同于 C D 的任一点 1 当点 P 在劣弧 CD 上运动时 APC 与 APD 的关系如何 请证明你的结论 2 当点 P 在