高三解析几何学生

解析几何专题解析几何专题 一 一 基本定理公式基本定理公式 1 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a 2 第一分配律 a a a 3 第二分配律 a b a b 2与的数量积 或内积 a b a b a b cos 3 平面向量的坐标运算 1 设 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 2 设 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 则 a x yR a xy 5 设 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 x xy y 4 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b ab xyxy a 11 x yb 22 xy 5 平面两点间的距离公式 A B A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 6 向量的平行与垂直 设 且 则 a 11 x yb 22 xyb 0 交叉相乘差为零 a b b a 1221 0 x yx y 0 对应相乘和为零 a b a 0 a b 1212 0 x xy y 7 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 且 则 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 8 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A x y 22 B x y 则 ABC 的重心的坐标是 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 9 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 10 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 11 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 1212 xxyy 两点式的推广 无任何限制条件 211211 0 xxyyyyxx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 00ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 直线的法向量 方向向量 0AxByC lA B lBA 12 夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线l1与l2的夹角是 12 ll 2 13到的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线l1到l2的角是 12 ll 2 14 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 15 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B x y 16 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则点在圆外 22 00 daxby dr P 点在圆上 点在圆内 dr Pdr P d d d 交交 交交交交 交交交交 r1 r2 r2 r1od 17 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系0 CByAx 222 rbyax 有三种 22 BA CBbAa d 0 交交rd0 交交rd0 交交rd 18 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 则 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 19 椭圆的参数方程是 离心率 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 2 2 1 cb e aa 准线到中心的距离为 焦点到对应准线的距离 焦准距 2 a c 2 b p c 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a A 20 椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 12 2 1 tan 2 F PFP FPF Sc yb 21 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 22 椭圆的切线方程 1 椭圆上一点处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆与直线相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 23 双曲线的离心率 准线到中心的距离为 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 2 1 cb e aa 2 a c 焦点到对应准线的距离 焦准距 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 2 b p c 2 2 b a A 焦半径公式 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 两焦半径与焦距构成三角形的面积 12 2 1 cot 2 F PF FPF Sb 24 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 0 0 4 焦点到渐近线的距离总是 b 25 双曲线的切线方程 1 双曲线上一点处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线与直线相切的条件是 22 22 1 xy ab 0AxByC 22222 A aB bc 26 抛物线的焦半径公式 pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 二 例题二 例题 1 1 20102010 浙江理数 浙江理数 8 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若在双曲线右支上存在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的 实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 2 2 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右 焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 3 3 20102010 陕西文数 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则 p的值为 C A 1 2 B 1 C 2 D 4 4 4 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线 FB与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 5 5 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线 2 8yx 的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PAl A为垂足 如果直线AF斜率为3 那么PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 6 6 20102010 辽宁理数 辽宁理数 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 7 7 20102010 辽宁理数 辽宁理数 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂足 如果直线 AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 8 8 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 12 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 过右 焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若3AFFB 则 k A 1 B 2 C 3 D 2 9 9 20102010 浙江文数 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 1 F 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 1 FP 2 F 60 OP 7a 则该双曲线的渐近 线方程为 A x 3y 0 B 3x y 0 C x 2y 0 D 2x y 0 1010 20102010 重庆理数 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线 且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 1111 20102010 山东文数 山东文数 9 已知抛物线 2 2 0 ypx p 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛 物线与A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A 1x B 1x C 2x D 2x 1212 20102010 四川理数 四川理数 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交 点为A 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围 是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 1313 20102010 天津理数 天津理数 5 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 y 3x 它的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 1414 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆 的离心率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 1515 20102010 福建文数 福建文数 11 若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为 椭圆上的任意一点 则OP FP A的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 1616 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 P 在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 1 2010 辽宁文数 20 本小题满分 12 分 设 1 F 2 F分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左 右焦点 过 2 F的直线 l与椭圆C 相交于A B两点 直线l的倾斜角为60 1 F到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B 求椭圆C的方程 2 2010 浙江理数 21 本题满分 15 分 已知 m 1 直 线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为 椭圆C的左 右焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段GH为直径 的圆内 求实数m的取值范围 3 2010 江西理数 21 本小题满分 12 分 设椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 抛物线 22 2 Cxbyb 1 若 2 C经过 1 C的两个焦点 求 1 C的离心率 2 设 A 0 b 5 3 3 4 Q 又 M N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点 若 AMN 的垂心为 3 4 Bb 0 且 QMN 的重心在 2 C上 求椭圆 1 C和抛物线 2 C的 方程 4 2010 天津理数 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 3 2 e 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 积为 4 1 求椭圆的方程 2 设直线l与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点A的坐标为 0a 点 0 0 Qy在线段AB的垂直平分线上 且4QA QB A 求 0 y的值 5 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆 它的中心在原点 左焦点为 右xOy 3 0 F 顶点为 设点 2 0 D 1 1 2 A 1 求该椭圆的标准方程 2 若是椭圆上的动点 求线段中点的轨迹方程 PPAM 3 过原点的直线交椭圆于点 求面积的最大值 O B CABC 三 作业 三 作业 1 若将曲线 y f x 向左平移 使原曲线上的点 P 2 3 变为 P 1 3 则这时曲线的方程变为 A y f x 1 B y f x 1 C y f x 1 D y f x 1 2 已知抛物线的焦点为 1 1 准线方程为 x y 0 则其顶 点坐标为 A B C D 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 双曲线顶点为 2 1 2 5 一渐近线方程为 3x 4y c 0 则准线方 程为 B C D 5 16 2 x 5 16 2 y