人教版八年级数学下册第二章勾股定理

1 八年级 下册 八年级 下册 第二章 三角形勾股定理第二章 三角形勾股定理 考点一 勾股定理考点一 勾股定理 1 对于任意的直角三角形 如果它的两条直角边分别为 对于任意的直角三角形 如果它的两条直角边分别为 a b 斜边为 斜边为 c 那么一定有 那么一定有 222 cba 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2 结论 结论 有一个角是有一个角是 30 的直角三角形 的直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半 角所对的直角边等于斜边的一半 有一个角是有一个角是 45 的直角三角形是等腰直角三角形 的直角三角形是等腰直角三角形 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 例题 例题 例例 1 已知直角三角形的两边 利用勾股定理求第三边 已知直角三角形的两边 利用勾股定理求第三边 1 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 5 b 12 则 c 若 a b 3 4 c 10 则 Rt ABC 的面积是 2 如果直角三角形的两直角边长分别为 2n n 1 那么它的斜边长是 1n 2 A 2nB n 1C n2 1D 1n 2 3 在 Rt ABC 中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A B 222 abc 222 acb C D 以上都有可能 222 cba 4 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25B 14C 7D 7 或 25 例例 2 已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长 面积等问题 已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长 面积等问题 1 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 则它斜边上的高为 2 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24B 36 C 48D 60 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 3 已知 x y 为正数 且 x2 4 y2 3 2 0 如果以 x y 的长为直角边作一个直角三角形 那么以这个直角三 角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5B 25 C 7D 15 考点二 勾股定理的逆定理考点二 勾股定理的逆定理 1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 有关系 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 222 cba 2 常见的勾股数 常见的勾股数 3n 4n 5n 5n 12n 13n 8n 15n 17n 7n 24n 25n 9n 40n 41n n 为正整数 为正整数 3 直角三角形的判定方法 直角三角形的判定方法 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a b c 有关系 有关系 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 222 cba 有一个角是直角的三角形是直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 两内角互余的三角形是直角三角形 两内角互余的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 例题 例题 例例 1 勾股数的应用 勾股数的应用 2 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 例例 2 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 1 1 下面的三角形中 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 若三角形的三边之比为 则这个三角形一定是 21 1 22 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 不等边三角形 3 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a2 b2 a2 b2 c2 0 则它的形状为 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 4 4 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 5 5 若 ABC 的三边长 a b c 满足试判断 ABC 的形状 222 abc20012a16b20c 6 ABC 的两边分别为 5 12 另一边为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形为 例例 3 求最大 最小角的问题 求最大 最小角的问题 1 若三角形三条边的长分别是 7 24 25 则这个三角形的最大内角是 度 2 已知三角形三边的比为 1 2 则其最小角为 3 考点三 勾股定理的应用考点三 勾股定理的应用 例例 1 求长度问题 求长度问题 1 在一棵树 10m 高的 B 处 有两只猴子 一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处 另外一只爬到树顶 D 处后 直接跃到 A 外 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 试问这棵树有多高 C A D B 例例 3 最短路程问题 最短路程问题 1 如图 1 已知圆柱体底面圆的半径为 高为 2 AB CD 分别是两底面的直径 AD BC 是母线 若一只小虫从 2 A 点出发 从侧面爬行到 C 点 则小虫爬行的最短路线的长度是 结果保留根式 2 如图 2 有一个长 宽 高为 3 米的封闭的正方体纸盒 一只昆虫从顶点 A 要爬到顶点 B 那么这只昆虫爬行 的最短距离为 3 AB C D B A 图 1 图 2 例例 4 航海问题 航海问题 1 一轮船以 16 海里 时的速度从 A 港向东北方向航行 另一艘船同时以 12 海里 时的速度从 A 港向西北方向航行 经过 1 5 小时后 它们相距 海里 2 深圳 如图 1 某货船以 24 海里 时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处 在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向上 该货船航行 30 分钟到达 B 处 此时又测得该岛在北偏东 30 的方向上 已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正东方向航行 该货船有无暗礁危险 试说明理由 东 东 30 60 BA C M D D B C A 图 1 图 2 例例 5 网格问题 网格问题 1 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无理数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 3 如图 小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形 ABCD 的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 B C A A B C D C B A 图 1 图 2 图 3 例例 6 图形问题 图形问题 1 如图 1 求该四边形的面积 2 如图 2 已知 在 ABC 中 A 45 AC AB 1 则边 BC 的长为 2 3 4 3 12 13 B C D A 图 1 图 2 图 3 4 3 某公司的大门如图所示 其中四边形 是长方形 上部是以 为直径的半圆 其中 2 3 2 现有一辆装满货物的卡车 高为 2 5 宽为 1 6 问这辆卡车能否通过公司的大门 并说明你的理由 三 课后训练 一 填空题 1 如图 1 在高 2 米 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯 地毯的长至少需 米 图 1 2 种盛饮料的圆柱形杯 如图 测得内部底面半径为 2 5 高为 12 吸管放进杯里 杯口外面至少要露出 4 6 问吸管要做 3 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 二 选择题 6 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这种草皮每平方米售价 a 元 则购买这种草皮至少需要 A 450a 元B 225a 元C 150a 元 D 300a 元 7 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 6cm2B 8cm2C 10cm2D 12cm2 8 在 ABC