2013年浙江文科 函数与导数第3讲导数及其应用

函数与导数第函数与导数第 3 讲讲 导数及其应用导数及其应用 真题试做真题试做 1 2012 辽宁高考 文 8 函数 y x2 ln x 的单调递减区间为 1 2 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 2 2012 浙江高考 文 21 已知 a R 函数 f x 4x3 2ax a 1 求 f x 的单调区间 2 证明 当 0 x 1 时 f x 2 a 0 3 2012 天津高考 文 20 已知函数 f x x3 x2 ax a x R 其中 a 0 1 3 1 a 2 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 求 a 的取值范围 3 当 a 1 时 设函数 f x 在区间 t t 3 上的最大值为 M t 最小值为 m t 记 g t M t m t 求函数 g t 在区间 3 1 上的最小值 考向分析考向分析 从近三年高考来看 该部分高考命题有以下特点 从内容上看 考查导数主要有三个层次 1 导数的概念 求导公式与法则 导数的几何 意义 2 导数的简单应用 包括求函数极值 求函数的单调区间 证明函数的单调性等 3 导数的综合考查 包括导数的应用题以及导数与函数 不等式等的综合题 从形式上看 考查导数的试题有选择题 填空题 解答题 有时三种题型会同时出现 热点例析热点例析 热点一 导数的几何意义 例 1 设函数 f x ax a b Z 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 y 3 1 x b 1 求 y f x 的解析式 2 证明曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定值 并求出此定值 规律方法规律方法 1 导数的几何意义 函数 y f x 在 x0处的导数 f x0 的几何意义是 曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 瞬时速度就是位移函数 s t 对时间 t 的导数 2 求曲线切线方程的步骤 1 求出函数 y f x 在点 x x0的导数 f x0 即曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处切线的斜率 2 已知或求得切点坐标 P x0 f x0 由点斜式得切线方程为 y y0 f x0 x x0 特别提醒 当曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线平行于 y 轴 此时导数不存在 时 由 切线定义可知 切线方程为 x x0 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再求解 变式训练变式训练 1 1 设曲线 y ax2在点 1 a 处的切线与直线 2x y 6 0 平行 则 a 2 设 f x xln x 1 若 f x0 2 则 f x 在点 x0 y0 处的切线方程为 热点二 利用导数研究函数的单调性 例 2 已知函数 f x x2 aln x 1 当 a 2 时 求函数 f x 的单调递减区间 2 若函数 g x f x 在 1 上单调 求实数 a 的取值范围 2 x 规律方法规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数 f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只需在函数 f x 的定义域内解 或证明 不等式 f x 0 或 f x 0 若已知函数的单调性求参数 只需转化为不等式 f x 0 或 f x 0 在单调区 间内恒成立问题求解 解题过程中要注意分类讨论 函数单调性问题以及一些相关的逆向问题 都离不开分类讨论思想 变式训练变式训练 2 已知函数 f x x a 2 ln x a 0 讨论 f x 的单调性 2 x 热点三 利用导数研究函数极值和最值问题 例 3 已知函数 f x x3 ax2 3x 1 若 f x 在区间 1 上是增函数 求实数 a 的取值范围 2 若 x 是 f x 的极值点 求 f x 在 1 a 上的最大值 1 3 3 在 2 的条件下 是否存在实数 b 使得函数 g x bx 的图象与函数 f x 的图象恰有 3 个交点 若存在 请求出实数 b 的取值范围 若不存在 试说明理由 规律方法规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤是 1 确定函数的定义域 2 求函数 f x 的导 数 f x 3 若求极值 则先求出方程 f x 0 的根 再检验 f x 在方程根左右边 f x 的符号 求出极值 当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内 若已知极值大小或存在情 况 则转化为已知方程 f x 0 根的大小或存在情况 从而求解 变式训练变式训练 3 设 a R 函数 f x ax3 3x2 1 若 x 2 是函数 y f x 的极值点 求 a 的值 2 若函数 g x f x f x x 0 2 在 x 0 处取得最大值 求 a 的取值范围 思想渗透思想渗透 转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时 采用某种手段将问题通过变 换使之转化 进而使问题得到解决的一种数学方法 一般是将复杂的问题通过变换转化为简 单的问题 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题通过变换转化为 已解决的问题 转化与化归常用的方法是等价转化法 把原问题转化为一个易于解决的等价问题 以达 到化归的目的 已知函数 f x x ln x m g x x3 x a 3 1 当 m 2 时 求 f x 的单调区间 2 若 m 时 不等式 g x f x 恒成立 求实数 a 的取值范围 3 2 解 解 1 当 m 2 时 f x x ln x 2 xln x 2x 定义域为 0 且 f x ln x 1 由 f x 0 得 ln x 1 0 所以 x e 由 f x 0 得 ln x 1 0 所以 0 x e 故 f x 的单调递增区间是 e 递减区间是 0 e 2 当 m 时 不等式 g x f x 3 2 即 x3 x x恒成立 a 3 ln x 3 2 由于 x 0 所以 x2 1 ln x a 3 3 2 即 x2 ln x 所以 a a 3 1 2 3 ln x 1 2 x2 令 h x 则 h x 3 ln x 1 2 x2 6ln x x3 由 h x 0 得 x 1 且当 0 x 1 时 h x 0 当 x 1 时 h x 0 即 h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以 h x 在 x 1 处取得极大值 h 1 3 2 也就是函数 h x 在定义域上的最大值 因此要使 a 恒成立 需有 a 此即为 a 的取值范围 3 ln x 1 2 x2 3 2 1 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 3xf 1 x2 则 f 1 A 1 B 2 C 1 D 2 2 2012 浙江名校 创新 冲刺卷 文 10 已知 f x 是 R 上的周期为 2 的偶函数 当 0 x 1 时 f x x2 2x 3ln x 设 a f b f c f 则 1 2 1 4 5 4 3 2 A a b c B c a b C a c b D b c a 3 已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0 时 不等式 f x xf x 0 成立 若 a 30 3f 30 3 b log 3f log 3 c log3f 则 a b c 间的大小关系是 1 9 log3 1 9 A a b c B c b a C c a b D a c b 4 函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 x R f x 2 则 f x 2x 4 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 5 三次函数 f x 当 x 1 时有极大值 4 当 x 3 时有极小值 0 且函数图象过原点 则 f x 6 已知函数 f x x3 3x2 9x a a 为常数 在区间 2 2 上有最大值 20 那么此函数 在区间 2 2 上的最小值为 7 已知函数 f x ax ln x a R 1 若 a 1 求曲线 y f x 在 x 处切线的斜率 1 2 2 求函数 f x 的单调区间 3 设 g x 2x 若对任意 x1 0 存在 x2 0 1 使 f x1 g x2 求实数 a 的取 值范围 8 2012 浙江宁波十校联考 文 21 设函数 f x a2ln x 4x g x bx2 a 0 b 0 a b R 1 当 b 时 函数 h x f x g x 在 x 1 处有极小值 求函数 h x 的单调递增区间 3 2 2 若函数 f x 和 g x 有相同的极大值 且函数 p x f x 在区间 1 e2 上的最大值为 g x x 8e 求实数 b 的值 其中 e 是自然对数的底数 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 B 解析 解析 对函数 y x2 ln x 求导 1 2 得 y x x 0 1 x x2 1 x 令Error 解得 x 0 1 因此函数 y x2 ln x 的单调递减区间为 0 1 故选 B 1 2 2 1 解 解 由题意得 f x 12x2 2a 当 a 0 时 f x 0 恒成立 此时 f x 的单调递增区间为 当 a 0 时 f x 12 x a 6 x a 6 此时函数 f x 的单调递增区间为 和 a 6 a 6 单调递减区间为 a 6 a 6 2 证明 由于 0 x 1 故当 a 2 时 f x a 2 4x3 2ax 2 4x3 4x 2 当 a 2 时 f x a 2 4x3 2a 1 x 2 4x3 4 1 x 2 4x3 4x 2 设 g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x 3 3 x 3 3 于是 x0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 g x 0 g x 1减极小值增1 所以 g x min g 1 0 3 3 4 3 9 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 故 f x a 2 4x3 4x 2 0 3 解 解 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由 f x 0 得 x1 1 x2 a 0 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 1 a a a f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 故函数 f x 的单调递增区间是 1 a 单调递减区间是 1 a 2 由 1 知 f x 在区间 2 1 内单调递增 在区间 1 0 内单调递减 从而函数 f x 在区 间 2 0 内恰有两个零点当且仅当Error 解得 0 a 1 3 所以 a 的取值范围是 0 1 3 3 a 1 时 f x x3 x 1 1 3 由 1 知 f x 在 3 1 上单调递增 在 1 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 当 t 3 2 时 t 3 0 1 1 t t 3 f x 在 t 1 上单调递增 在 1 t 3 上单调递减 因此 f x 在 t t 3 上的最大值 M t f 1 而最小值 m t 为 f t 与 f t 3 中的较小 1 3 者 由 f t 3 f t 3 t 1 t 2 知 当 t 3 2 时 f t f t 3 故 m t f t 所以 g t f 1 f t 而 f t 在 3 2 上单调递增 因此 f t f 2 5 3 所以 g t 在 3 2 上的最小值为 g 2 1 3 5 3 4 3 当 t 2 1 时 t 3 1 2 且 1 1 t t 3 下面比较 f 1 f 1 f t f t 3 的大小 由 f x 在 2 1 1 2 上单调递增 有 f 2 f t f 1 f 1 f t 3 f 2 又 f 1 f 2 f 1 f 2 从而 M t f 1 m t f 1 5 3 1 3 1 3 5 3 所以 g t M t m t 4 3 综上 函数 g t 在区间 3 1 上的最小值为 4 3 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 1 解 解 f x a 1 x b 2 于是Error 解得Error 或Error 由 a b Z 故 f x x 1 x 1 2 证明 在曲线上任取一点 x0 x0 1 x0 1 由 f x0 1 知 过此点的切线方程为 y x x0 1 x0 1 2 x2 0 x0 1 x0 1 1 1 x0 1 2 令 x 1 得 y 切线与直线 x 1 的交点为 x0 1 x0 1 1 x0 1 x0 1 令 y x 得 y 2x0 1 切线与直线 y x 的交点为 2x0 1 2x0 1 直线 x 1 与直线 y x 的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为 2x0 1 1 1 2 x0 1 x0 1 1 2x0 2 2 1 2 2 x0 1 所围三角形的面积为定值 2 变式训练 1 1 1 解析 解析 y ax2 y 2ax y x 1 2a 又 y ax2在点 1 a 处的切线与直线 2x y 6 0 平行 2a 2 a 1 2 2x y e 1 0 解析 解析 因为 f x xln x 1 所以 f x ln x x ln x 1 1 x 因为 f x0 2 所以 ln x0 1 2 解得 x0 e y0 e 1 由点斜式得 f x 在点 e e 1 处的切线方程为 y e 1 2 x e 即 2x y e 1 0 例 2 解 解 1 由题意知 函数的定义域为 0 当 a 2 时 f x 2x 2 x 2 x 1 x 1 x 故 f x 的单调递减区间是 0 1 2 由题意得 g x 2x 函数 g x 在 1 上是单调函数 a x 2 x2 若 g x 为 1 上的单调增函数 则 g x 0 在 1 上恒成立 即 a 2x2在 1 上恒成立 设 x 2x2 2 x 2 x x 在 1 上单调递减 x max 1 0 a 0 若 g x 为 1 上的单调减函数 则 g x 0 在 1 上恒成立 不可能 实数 a 的取值范围为 a 0 变式训练 2 解 解 f x 的定义域是 0 f x 1 2 x2 a x x2 ax 2 x2 设 g x x2 ax 2 二次方程 g x 0 的判别式 a2 8 当 0 即 0 a 2时 对一切 x 0 都有 f x 0 2 此时 f x 是 0 上的单调递增函数 当 0 即 a 2时 仅对 x 有 f x 0 对其余的 x 0 都有 f x 0 22 此时 f x 也是 0 上的单调递增函数 当 0 即 a 2时 方程 g x 0 有两个不同的实根 2 x1 x2 0 x1 x2 a a2 8 2 a a2 8 2 x 0 x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 单调递增A 极大值 单调递减A 极小值 单调递增A 此时 f x 在上单调递增 在上单调递减 在 0 a a2 8 2 a a2 8 2 a a2 8 2 上单调递增 a a2 8 2 例 3 解 解 1 f x 3x2 2ax 3 f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上恒有 f x 0 即 3x2 2ax 3 0 在 1 上恒成立 则必有 1 且 f 1 2a 0 a 3 a 0 2 依题意 f 0 即 a 3 0 1 3 1 3 2 3 a 4 f x x3 4x2 3x 令 f x 3x2 8x 3 0 得 x1 x2 3 1 3 则当 x 变化时 f x 与 f x 变化情况如下表 x1 1 3 3 3 4 4 f x 0 f x 6 A 18A 12 f x 在 1 4 上的最大值是 f 1 6 3 函数 g x bx 的图象与函数 f x 的图象恰有 3 个交点 即方程 x3 4x2 3x bx 恰有 3 个不等实根 x3 4x2 3x bx 0 x 0 是其中一个根 方程 x2 4x 3 b 0 有两个非零不等实根 Error b 7 且 b 3 存在满足条件的 b 值 b 的取值范围是 b 7 且 b 3 变式训练 3 解 解 1 f x 3ax2 6x 3x ax 2 因为 x 2 是函数 y f x 的极值点 所以 f 2 0 即 6 2a 2 0 因此 a 1 经验证 当 a 1 时 x 2 是函数 y f x 的极值点 2 由题设 g x ax3 3x2 3ax2 6x ax2 x 3 3x x 2 当 g x 在区间 0 2 上的最大值为 g 0 时 g 0 g 2 即 0 20a 24 得 a 6 5 反之 当 a 时 对任意 x 0 2 6 5 g x x2 x 3 3x x 2 2x2 x 10 2x 5 x 2 0 6 5 3x 5 3x 5 而 g 0 0 故 g x 在区间 0 2 上的最大值为 g 0 综上 a 的取值范围为 6 5 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 A 解析 解析 f x 3f 1 2x 令 x 1 得 f 1 3f 1 2 f 1 1 故选 A 2 D 解析 解析 当 0 x 1 时 f x x 2 0 则函数 f x 在区间 0 1 上为 3 x x 1 x 3 x 减函数 又 b f f f f 5 4 5 4 2 3 4 3 4 c f f 则有 b c a 3 2 1 2 3 C 解析 解析 设 g x xf x 则 g x f x xf x 0 当 x 0 时 g x xf x 为减函数 又 g x 为偶函数 当 x 0 时 g x 为增函数 1 30 3 2 0 log 3 1 log3 2 1 9 g 2 g 30 3 g log 3 即 c a b 故选 C 4 B 解析 解析 设 h x f x 2x 4 则 h x f x 2 0 故 h x 在 R 上单调递增 又 h 1 f 1 2 0 所以当 x 1 时 h x 0 即 f x 2x 4 5 x3 6x2 9x 解析 解析 设 f x ax3 bx2 cx d a 0 则 f x 3ax2 2bx c 由题意 有Error 即Error 解得Error 故 f x x3 6x2 9x 6 7 解析 解析 f x 3x2 6x 9 0 得 x 1 或 x 3 舍去 f 2 2 a f 1 5 a f 2 a 22 a 22 20 a 2 故最小值为 f 1 7 7 解 解 1 f x 1 x 0 f 1 2 3 1 x 1 2 故曲线 y f x 在 x 处切