2018江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷06答案

1 南京清江花苑严老师 1 0 1 解析 UA x x2 x 0 0 1 本题考查集合补集的概念及一元二次不 等式的解法 属于容易题 2 i 解析 i 本题主要考查复数的概念及四则运算等 3 5 1 5 1 i 2 i 1 i 2 i 2 i 2 i 3 5 1 5 基础知识 属于容易题 3 解析 由 5 只球中一次摸出 2 只球 共有 10 种摸法 摸到的 2 只球颜色不同的 3 5 摸法共有 6 种 则所求的概率为 本题考查用列举法解决古典概型问题 属于容易题 3 5 4 1 解析 作出可行域发现最优解为 1 1 则目标函数 z 2x y 的最小值为 1 本题考查线性规划解决最值问题 属于容易题 5 240 解析 n 30 时 S 30 n 28 时 S 30 28 n 26 时 S 30 28 26 以此类推 n 2 时 S 30 28 26 2 240 本题考查流程图基础知识 关键是把 握好每一次循环体的执行情况 本题属于容易题 6 解析 2a b 3 2 则 2a b 本题考查向量的坐标运算 以及利用 1313 平方法求模 本题属于容易题 7 2 0 2 解析 由 x 0 时 f x 1 log2x 则作出图象 再由 f x 是 定义在 R 上的奇函数 利用对称性作出 x 0 的图象 由图象可得不等式 f x 0 的解集是 2 0 2 本题考查函数的奇偶性 对数函数的图象变换 本题属于容易题 8 解析 中 b 与 c 可以异面 中 c 可以在平面 内 中 c 可以与平面 平 行 本题考查线面平行 垂直的性质与判定 属于容易题 9 1 解析 抛物线 y2 4x 的焦点为 1 0 即 c 1 以直线 y x 为渐近 x2 1 2 y2 1 2 线的双曲线标准方程设为 1 则 c2 1 得 双曲线标准方程为 x2 y2 1 2 1 本题考查双曲线标准方程 焦点 渐近线等内容 属于容易题 x2 1 2 y2 1 2 10 3 解析 由侧面积等于底面面积的 2 倍 得 2 3 R 2 得 1 23 R 2 由勾股定理得圆锥的高为 3 则圆锥的体积是 3 3 3 cm3 本题考查圆锥 3 1 3 的高 底面面积 侧面积等内容 以及圆锥的体积公式 本题属于容易题 11 2 解析 函数的周期 T 为 则 最高点和其相邻最低点的距离为 2 2 a T 4 2a 2 本题考查三角函数的周期 基本不等式求最值等内 a2 2 4a2 4a2 2 a24 容 本题属于中等题 12 解析 设 Sn kn n 1 S2n 2kn 2n 1 4kn2 2kn 符合题意 则 3 5 a3 S3 S2 12k 6k 6k a5 S5 S4 30k 20k 10k 则 本题考查等差数列求和 a3 a5 3 5 公式特征 以及 Sn与 an之间的关系 本题属于中等题 13 1 解析 画图 y2 kx k 过定点 1 0 找到临界 0 5 0 5 和 1 3 1 2 南京清江花苑严老师 1 0 连线斜率 与临界 f 1 1 由图象知实数 k 的取值范围为 1 本 1 3 1 3 1 题考查了分段函数 函数的零点问题以及导数问题 利用数形结合思想求参数范围 本题 属于难题 14 解析 cos2 016 cos36 又 sin36 cos54 2sin18 cos18 1 5 4 cos18 4sin218 cos18 4sin218 2sin18 1 0 sin18 则 cos2 016 1 5 4 cos36 2sin218 1 本题考查了三角函数的诱导公式 二倍角公式 以及 1 5 4 利用二倍角公式推导三倍角公式 cos3 cos 2 cos2 cos sin2 sin 2cos2 1 cos 2cos sin2 2cos3 cos 2cos 2cos3 4cos3 3cos cos 4sin2 cos 本题属于难题 15 证明 1 在直角梯形 ABCD 中 AB CD CD 2AB 点 M 是 CD 的中点 所 以 AB CM 且 AB CM 所以四边形 ABCM 是平行四边形 且是矩形 3 分 所以 AM BC 4 分 又 BC平面 PBC AM 是平面 PBC 外一条直线 6 分 故 AM 平面 PBC 7 分 2 连结 PM 因为 PD PC 点 M 是 CD 的中点 所以 CD PM 8 分 因为四边形 ABCM 是矩形 所以 CD AM 9 分 又 PM平面 PAM AM平面 PAM PM MA M 11 分 所以 CD 平面 PAM 12 分 又 AP平面 PAM 所以 CD PA 14 分 16 解 1 因为 m n 所以 a2 c2 b2 ac 2 分 因为 cosB B 0 5 分 a2 c2 b2 2ac ac 2ac 1 2 故 B 6 分 3 2 因为 A cos 8 分 6 6 5 6 A 6 3 39 26 所以 sin 9 分 A 6 5 13 26 所以 sinA sin 11 分 A 6 6 39 26 在 ABC 中 由正弦定理可得 解得 a 1 14 分 a sinA b sinB 17 解 1 如图 1 作 OH AB 设垂足为 H 记 OH d 2 AOH 1 分 图 1 因为 cos AOH 要使 有最小值 只需要 d 有最大值 结合图象可得 d OP 5 d 10 3 南京清江花苑严老师 km 3 分 当且仅当 AB OP 时 dmax 5 km 此时 min 2 AOH 2 4 分 3 2 3 设 AB 把园区分成两个区域 其中较小区域面积记为 S 根据题意可得 S f S扇形 S AOB 50 sin 6 分 f 50 1 cos 0 恒成立 f 为增函数 7 分 所以 Smin f 50 km2 8 分 2 3 2 3 3 2 答 视角的最小值是 较小区域面积的最小值是 50 km2 9 分 2 3 2 3 3 2 图 2 2 如图 2 过 O 分别作 OH AB OH1 CD 垂足分别是 H H1 记 OH d1 OH1 d2 由 1 可知 d1 0 5 所以 d d OP2 25 且 2 12 2 d 25 d 10 分 2 22 1 因为 AB 2 CD 2 所以 AB CD 2 2 11 分 记 L d1 AB CD 2 可得 L2 d1 4 175 2 12 分 由 d 0 25 可得 d 0 或 d 25 时 L2 d1 的最小值是 100 7 4 2 12 12 1 3 从而 AB CD 的最小值是 20 10 km 13 分 3 答 两条公路长度和的最小值是 20 10 km 14 分 3 18 解 1 由题意可知 a 3 得 c 2 分 c a 3 2 3 3 2 因为 a2 b2 c2 所以 b2 故椭圆的标准方程是 1 4 分 9 4 x2 9 y2 9 4 2 设直线 AE 的方程 y k x 3 点 E x1 y1 由可得 4k2 1 x2 24k2x 36k2 9 0 5 分 x2 9 y2 9 4 1 y k x 3 因为 3 x1 得 x1 代入直线 y k x 3 得 y1 所 24k2 4k2 1 3 12k2 4k2 1 6k 4k2 1 以 E 7 分 3 12k2 4k2 1 6k 4k2 1 4 南京清江花苑严老师 同理可得 F 8 分 3 12k2 4k2 1 6k 4k2 1 根据条件可知圆心 O 到直线 AE 的距离等于圆心 O 到直线 EF 的距离 可得 r 解之得 k2 9 分 3k k2 1 3 12k2 4k2 1 1 8 从而 r2 1 所以圆 O 的方程为 x2 y2 1 10 分 3 设直线 BM 的方程为 y kx 因为直线 BM 与圆 O 相切 所以 d r 解得 3 2 k 11 分 5 2 当 k lBM y x 5 2 5 2 3 2 由可得 x2 x 0 所以 M 1 13 分 x2 9 y2 9 4 1 y 5 2 x 3 2 55 同理可得 N 1 14 分 5 可得直线 MN 方程是 y 1 15 分 直线 MN 与圆 O 的位置关系是相切 16 分 19 解 1 解法 1 因为 Sn 1 an 所以 Sn 1 1 an 1 得 an 1 1 an 2 分 当 0 时 an 0 数列 an 是等差数列 4 分 当 0 时 a1 1 a1 a1 1 且 an 1 an an 1 要使数列 an 是等差数列 则 式右边 an为常数 即 an 1 an为常数 1 式左边 an 1 an 0 an 0 又 a1 1 矛盾 6 分 综上可得 0 时 数列 an 为等差数列 且 an 0 7 分 解法 2 若数列 an 是等差数列 必有 2a2 a1 a3 当 0 时 a1 a2 a3 0 满足 2a2 a1 a3 1 分 此时 Sn an 从而 Sn 1 an 1 3 分 故 an 0 4 分 当 0 时 a1 1 a2 1 a3 5 分 1 1 1 2 由 2a2 a1 a3 得 2 1 该方程无解 6 分 1 1 1 1 2 综上可得 0 时 数列 an 为等差数列 其中 an 0 7 分 2 由 1 可得 当 0 时 不是等比数列 8 分 当 1 时 由 得 Sn 1 则 a1 S1 1 an Sn Sn 1 0 n 2 不是等比数列 9 分 当 0 且 1 时 得 1 an 为公比是 q 1 的等比数列 10 分 an 1 an 1 1 又对任意 n an N 则 q 1 N 故仅有 1 q 2 时 满足题意 1 又由 1 得 a1 1 故 an 2n 1 11 分 5 南京清江花苑严老师 因为 i 2 016 j i k a 2k 1 2j k 1 1 2 1 所以 2k 1 2j k 1 1 2 016 25 32 7 13 分 j k 1 2 2j k 1 1 为大于 1 的奇数 2k 1 25 k 6 15 分 则 2j 5 1 32 7 2j 5 64 j 11 故仅存在 k 6 时 j 11 i 2 016 16 分 j i k a 20 解 1 f x ax2 x ex x ax 1 ex 若 a 0 则 f x xex 令 f x 0 则 x 0 令 f x 0 则 x 0 若 a 0 由 f x 0 得 x 0 由 f x 0 得 x 或 0 x 1 a 1 a 若 a 0 由 f x 0 得 0 x 由 f x 0 得 x 或 x 0 1 a 1 a 综上可得 当 a 0 时 函数 f x 的增区间是 0 减区间是 0 3 分 当 a 0 时 函数 f x 的增区间是 减区间是 0 5 分 1 a 0 1 a 当 a 0 时 函数 f x 的增区间是 0 减区间是 7 分 1 a 0 1 a 2 因为 2a 3 m 1 由 1 x 0 上函数 f x 的最小值是 f 1 a 因为 f x b2a 1e 恒成立 所以 f b2a 1e 恒成立 8 分 1 a 1 a 1 a 所以 e 2a 1 b2a 1e 恒成立 即 2a 1 b2a 1恒成立 9 分 1 a 1 a 由 2a 3 m 1 令 2a 1 t 2 m 则 t bt 所以 lnb g t 10 分 lnt t 由 g t 可知函数 g t 在 0 e 上递增 e 上递减 且 g 2 g 4 11 1 lnt t2 分 当 2 m 4 时 g t min g 2 从而 lnb 解得 0 b 13 分 ln2 2 ln2 2 2 当 m 4 时 g t min g m 从而 lnb 解得 0 b m 15 分 lnm m lnm m 1 m 故 当 2 m 4 时 0 b 当 m 4 时 0 b m 16 分 2 1 m 21 A 证明 作 PE AB 于 E AB 为直径 ANB AMB 90 2 分 6 南京清江花苑严老师 P E B N 四点共圆 P E A M 四点共圆 6 分 8 分 AE AB AP AN BE AB BP BM 得 AB AE BE AP AN BP BM 9 分 即 AP AN BP BM AB2 10 分 B 解 特征多项式 f 3 2 1 2 6 8 3 分 3 1 1 3 由 f 0 解得 1 2 2 4 6 分 将 1 2 代入特征方程组 得 x y 0 可取为属于特征值 1 2 x y 0 x y 0 1 1 的一个特征向量 8 分 同理 当 2 4 时 由 x y 0 x y 0 x y 0 所以可取为属于特征值 2 4 的一个特征向量 1 1 综上所述 矩阵有两个特征值 1 2 2 4 3 1 1 3 属于 1 2 的一个特征向量为 属于 2 4 的一个特征向量为 10 分 1 1 1 1 C 解 由 sin 3 可得 3 3 1 2sin 3 2 cos y x 6 即x y 6 0 3 分 33 由得 x2 y2 4 圆的半径为 r 2 6 分 x 2cos y 2sin 圆心到直线 l 的距离 d 3 8 分 6 2 P 到直线 l 的距离的最大值为 d r 5 10 分 D 证明 x y x y 3 分 4 x2 2xy y2 4 x y 2 5 分 x y 2 x y 2 4 x y 2 x y x y 0 3 x y 2 x y 2 4 x y 2 3 x y 2 x y 2 4 x y 2 3 当且仅当 时取等号 此时 x y 2 10 分 x y 2 x y 2 4 x y 2 22 解 1 以 D 为原点 建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示 7 南京清江花苑严老师 则 A 3 0 0 C1 0 3 3 3 3 3 B 3 3 0 E 3 0