2020江苏高考数学模拟考试

2020 江苏高考数学模拟考试 数学 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应的位置上 1 若函数cos 3 yx 0 的最小正周期是 则 2 若复数 12 1 iai 是纯虚数 则实数a的值是 3 已知平面向量 1 1 a 2 1 bx 且ab 则实数x 4 一个袋中有 3 个大小质地都相同的小球 其中红球 1 个 白球 2 个 现从袋中有放回地取球 每次随机取一个 则连续取两次都是白球的概率是 5 右图是某程序的流程图 则其输出结果为 6 给出下列四个命题 1 如果平面 与平面 相交 那么平面 内所有的直线都与平面 相交 2 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 3 如果平面 平面 那么平面 内与它们的交线不垂直的直 线与平面 也不垂直 4 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂 直于平面 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 7 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长 那么该双曲线的离 心率为 8 已知二次函数 f x 2 41axxc 的值域是 1 则 19 ac 的最小值是 9 设函数 3 32f xxx 若不等式 2 32sin 3fmm 对任意R 恒成立 则实数 m的取值范围为 10 若动点 P m n在不等式组 24 0 0 xy x y 表示的平面区域内部及其边界上运动 则 1 nm t m 的取 值范围是 11 在ABC 中 AB边上的中线2CO 若动点 P 满足 22 1 sincos 2 APABAC R 开始 结束 1 1 SS k k 2011k 1 kk 0 S 是 否 输出S 1k 第 5 题 A B CD D1 C1 B1 A1 则 PAPBPC 的最小值是 12 设D是函数 yf x 定义域内的一个区间 若存在Dx 0 使 00 f xx 则称 0 x是 f x的一个 次不动点 也称 f x在区间D上存在次不动点 若函数 2 5 3 2 f xaxxa 在区间 1 4 上存在次不动点 则实数a的取值 范围是 13 将所有的奇数排列如右表 其中第i行第j个数表示为 ij a 例 如 32 9a 若445 ij a 则ij 14 若实数 a b c成等差数列 点 1 0 P 在动直线0axbyc 上的射影 为M 点 3 3 N 则线段MN长度的最大值是 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 ABC中 A B C 的对边分别为 a b c 且2 coscoscosaBcBbC 1 求角B的大小 2 设向量 cos cos2 mAA 12 5 n 求当m n 取最大值时 tan 4 A 的值 16 本小题满分 14 分 如图 直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 底面 ABCD 是直角梯形 90BADADC 2ABAD CDAD 1 求证 1 BCB 是二面角 1 BACB 的平面角 2 在 A1B1上是否存一点 P 使得 DP 与平面 BCB1与平面 ACB1都平行 证明你的结论 17 本小题满分 14 分 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲 乙两地间 运输成本由燃料费用和其它费用组成 已知 该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比 比例系数为0 5 其它费用为每小时 m元 根据市场调研 得知m的波动区间是 1000 1600 且该货轮的最大航行速度为 50 海 里 小时 1 3 5 7 9 11 第 12 题 1 请将从甲地到乙地的运输成本y 元 表示为航行速度x 海里 小时 的函数 2 要使从甲地到乙地的运输成本最少 该货轮应以多大的航行速度行驶 18 本小题满分 16 分 已知中心在原点O 焦点在x轴上的椭圆C过点 2 1 M 离心率为 3 2 如图 平行于 OM的直线l交椭圆C于不同的两点 A B 1 当直线l经过椭圆C的左焦点时 求直线l的方程 2 证明 直线 MA MB与x轴总围成等腰三角形 19 本小题满分 16 分 已知函数 2 1 21 2ln 2 f xaxaxx 其中常数0a 1 求 f x的单调区间 2 如果函数 f x H x g x在公共定义域 D 上 满足 f xH xg x 那么就称 H x 为 f x与 g x的 和谐函数 设 2 4g xxx 求证 当 5 2 2 a 时 在区间 0 2 上 函数 f x与 g x的 和谐函数 有无穷多个 20 本小题满分 16 分 已知无穷数列 n a的各项均为正整数 n S为数列 n a的前n项和 1 若数列 n a是等差数列 且对任意正整数n都有 3 3 n n SS 成立 求数列 n a的通项公式 2 对任意正整数n 从集合 12 n a aa 中不重复地任取若干个数 这些数之间经过加减运 算后所得数的绝对值为互不相同的正整数 且这些正整数与 12 n a aa 一起恰好是 1 至 n S全 体正整数组成的集合 i 求 12 a a的值 ii 求数列 n a的通项公式 数学 附加题 21 选做题 在 A B C D 四小题中只能选做两题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指 定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修41 几何证明选讲 如图 设AB为 O 的任一条不与直线l垂直的直径 P是 O 与l的公共点 AC l BD l 垂足分别为 C D 且PCPD 求证 PB平分 ABD B 选修42 矩阵与变换 已知矩阵 12 2 A x 的一个特征值为1 求另一个特征值及其对应的一个特征向量 C 选修44 坐标系与参数方程 若直线 22 xt yt 参数Rt 与圆 cos sin x ya 参数 0 2 a为常数 相切 求 a的值 D 选修45 不等式选讲 若对于一切实数x 不等式 21 1 21 xxxa 恒成立 求实数a的取值范围 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写 出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 一个口袋装有 5 个红球 3 个绿球 这些球除颜色外完全相同 某人一次从中摸出 3 个球 其 中绿球的个数记为X 1 求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率 2 X的分布列及X的数学期望 23 本小题满分 10 分 已知数列 n a中 1 12a 2 1 1 1 2 nnn aaa nN 1 求证 3 11 3 8 2 a 2 求证 当3n 时 1 2 2 n n a 2012 江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准 数学 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 1 解析 本题主要考查三角函数的周期性 答案 2 2 解析 本题主要考查复数的概念和运算 答案 1 2 3 解析 本题主要考查平面向量的垂直 答案 3 4 解析 本题主要考查古典概型 答案 4 9 5 解析 本题主要考查流程图 答案 2011 2012 6 解析 本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系 答案 3 4 7 解析 本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算 答案 5 8 解析 本题主要考查基本不等式 答案 3 9 解析 本题主要考查函数的性质 答案 4 1 10 解析 本题主要考查线性规划 答案 2 4 3 O 1 1 4 2 x y 解答如下 画出可行域 如图所示阴影部分 而 1 1 11 nmn t mm 其中 1 1 n m 表示 P m n与点 1 1 连线的斜率k 由图可知 1 5 3 k 故 2 1 4 3 tk 11 解析 本题主要考查平面向量的概念与数量积 答案 2 解答如下 因为 2222 1 sincossincos 2 APABACAOAC 且 22 sin cos 0 1 所以点 P 在线段OC上 故 2PAPBPCPO PC 设 POt 0 2 t 则 2 2 2 1 24PAPBPCtttt 当1t 时取最小值2 12 解析 本题主要考查函数的概念和最值 答案 1 2 解答如下 由题意 存在 1 4 x 使 2 5 20 2 g xf xxaxxa 当1x 时 使 1 1 0 2 g 当1x 时 解得 2 45 2 1 x a x 设 2 45 2 1 x h x x 则由 2 22 252 0 1 xx h x x 得2x 或 1 2 x 舍去 且 h x在 1 2 上递增 在 2 4 上递 减 因此当2x 时 2 451 2 1 2 x g x x 最大 所以a的取值范围是 1 2 13 解析 本题主要考查数列的通项 答案 34 解答如下 可以求得通项 2 21 ij aiij 所以 2 21445iij 且1ji 从而 2 2 444 446 ii ii 解 得21i 于是13j 故34ij 14 解析 本题主要考查直线与圆的方程及位置关系 答案 52 解答如下 由题可知动直线0axbyc 过定点 1 2 A 设点 M x y 由MPMA 可求得点M的轨迹 方程为圆 Q 22 1 2xy 故线段MN长度的最大值为52QNr 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 15 本题主要考查平面向量的数量积 边角关系的互化 考查运算求解能力 解 1 由题意 2sincossincoscossinABCBCB 2 分 所以2sincossin sin sinABBCAA 3 分 因为0Ap 所以sin0A 所以 1 cos 2 B 5 分 因为0Bp 所以 3 B 6 分 2 因为12cos5cos2m nAA 8 分 所以 22 343 10cos12cos510 cos 55 m nAAA 10 分 所以当 3 cos 5 A 时 m n 取最大值 此时 4 sin 5 A 0Ap 于是 4 tan 3 A 12 分 所以 tan11 tan 4tan17 A A A 14 分 16 本题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查空间想象能力 推理论证能力 证明 1 直棱柱 1111 ABCDABC D 中 BB1 平面 ABCD BB1 AC 2 分 又 BAD ADC 90 22ABADCD 45CABABC BC AC 5 分 AC 平面 1 B BC AC 1 BC 1 BCB 是二面角 1 BACB 的平面角 7 分 2 存在点 P P 为 A1B1的中点 8 分 由 P 为 A1B1的中点 有 PB1 AB 且 PB1 1 2 AB 又 DC AB DC 1 2 AB DC PB1 且 DC PB1 DC PB1为平行四边形 从而 CB1 DP 11 分 又 CB1 面 ACB1 DP 面 ACB1 DP 面 ACB1 12 分 同理 DP 面 BCB1 14 分 17 本题主要考查 考查数学建模能力 抽象概括能力和解决实际问题的能力 解 1 由题意 每小时的燃料费用为 2 0 5 050 xx 1 分 从甲地到乙地所用的时间为 300 x 小时 2 分 则从甲地到乙地的运输成本 2 300300 0 5yxm xx 050 x 即 2 150 m yx x 050 x 6 分 2 2 2 150 1 m y x 8 分 令 0y 得2xm 负值舍去 当 0 2 xm 时 y关于x单调递减 当 2 xm 时 y关于x单调递增 9 分 所以 当250m 即12501600m 时 50 x 时y取最小值 11 分 当250m 即10001250m 时 2xm 时y取最小值 13 分 综上所述 若10001250m 则当货轮航行速度为2m海里 小时时 运输成本最少 若12501600m 则当货轮航行速度为 50 海里 小时时 运输成本最少 14 分 18 本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程 考查数学运算求解能力 综合分析问题的能力 解 1 根据 3 2 c e a 可设椭圆方程为 22 22 1 4 xy bb 将 2 1 M代入可得 2 2b 所以椭圆C的方程为 22 1 82 xy 4 分 因此左焦点为 6 0 斜率 1 2 lOM kk 所以直线l的方程为 1 6 2 yx 即 16 22 yx 6 分 2 设直线 MA MB的斜率分别为 12 k k 则 1 1 1 1 2 y k x 2 2 2 1 2 y k x 121221 12 1212 11 1 2 1 2 22 2 2 yyyxyx kk xxxx 1221 12 11 1 2 1 2 22 2 2 xmxxmx xx 1212 12 2 4 1 2 2 x xmxxm xx 10 分 设 1 2 l yxm 1122 A x yB xy 由 22 1 2 1 82 yxm xy 得 22 2240 xmxm 所以 12 2xxm 2 12 24x xm 13 分 代入 式 得 2 12 12 24 2 2 4 1 2 2 mmmm kk xx 22 12 242444 2 2 0 mmmm xx 所以直线 MA MB与x轴总围成等腰三角形 16 分 19 本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质 不等式与方程中的运用 考查探索 分析及求 证能力 解 1 2 2 2