2017年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学(解析版)

20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理 数学 理 北京卷 北京卷 本试卷共 5 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作 答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 若集合 A x 2x1 B x x3 则 AB A x 2 x 1 B x 2 x 3 C x 1 x 1 D x 1 x 3 2 若复数 1 i a i 在复平面内对应的点在第二象限 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 3 执行如图所示的程序框图 输出的 s 值为 A 2B C D 3 2 5 3 8 5 4 若 x y 满足 则 x 2y 的最大值为 3 2 x xy yx A 1 B 3 C 5 D 9 5 已知函数 则 f x 1 3 3 x x fx A 是奇函数 且在 R 上是增函数 B 是偶函数 且在 R 上是增函数 C 是奇函数 且在 R 上是减函数 D 是偶函数 且在 R 上是减函数 6 设 m n 为非零向量 则 存在负数 使得 m n 是 m n 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的最长棱的长度为 A 32B 23C 22D 2 8 根据有关资料 围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361 而可观测宇宙中普通物质 的原子总数 N 约为 1080 则下列各数中与 M N 最接近的是 参考数据 lg3 0 48 A 1033 B 1053 C 1073 D 1093 第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率为3 则实数 m 10 若等差数列 n a和等比数列 n b满足 a1 b1 1 a4 b4 8 则 2 2 a b 11 在极坐标系中 点 A 在圆 2 2 cos4 sin40 点 P 的坐标为 1 0 则 AP 的最小值为 12 在平面直角坐标系 xOy 中 角 与角 均以 Ox 为始边 它们的终边关于 y 轴对称 若 1 sin 3 cos 13 能够说明 设 a b c 是任意实数 若 a b c 则 a b c 是假命题的一组整数 a b c 的值依次为 14 三名工人加工同一种零件 他们在一天中的工作情况如图所示 其中点 Ai的横 纵 坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数 点 Bi的横 纵坐标分别为第 i 名 工人下午的工作时间和加工的零件数 i 1 2 3 记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数 则 Q1 Q2 Q3中最大的是 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 则 p1 p2 p3中最大的是 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 在 ABC 中 A 60 c 3 7 a 求 sin C 的值 若 a 7 求 ABC 的面积 16 本小题 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 平面 PAD 平面 ABCD 点 M 在线 段 PB 上 PD 平面 MAC PA PD 6 AB 4 I 求证 M 为 PB 的中点 II 求二面角 B PD A 的大小 III 求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 17 本小题 13 分 为了研究一种新药的疗效 选 100 名患者随机分成两组 每组个 50 名 一组服药 另一组 不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据 并制成下图 其中 表示服药者 表示为服药者 从服药的 50 名患者中随机选出一人 求此人指标 y 的值小于 60 的概率 从图中 A B C D 四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1 7 的 人数 求 的分布列和数学期望 E 试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大 小 只需写出结论 18 本小题 14 分 已知抛物线 C y2 2px 过点 P 1 1 过点 0 1 2 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M N 过 点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP ON 交于点 A B 其中 O 为原点 求抛物线 C 的方程 并求其焦点坐标和准线方程 求证 A 为线段 BM 的中点 19 本小题 13 分 已知函数 f x excos x x 求曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 求函数 f x 在区间 0 2 上的最大值和最小值 20 本小题 13 分 设 an 和 bn 是两个等差数列 记 cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中 max x1 x2 xs 表示 x1 x2 xs这 s 个数中最大的数 若 an n bn 2n 1 求 c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 证明 或者对任意正数 M 存在正整数 m 当 n m 时 n c M n 或者存在正整数 m 使得 cm cm 1 cm 2 是等差数列 参考答案 参考答案 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 答案 A 解析 故选 A 21ABxx 2 答案 B 解析 因为对应的点在第二象限 1ii11izaaa 所以 解得 故选 B 10 10 a a 1a 3 答案 C 解析 时 成立 第一次进入循环 成立 第二 0k 03 1 1 1 2 1 ks 13 次进入循环 成立 第三次进入循环 2 13 2 22 ks 23 3 1 5 2 3 3 3 2 ks 否 输出 故选 C 33 5 3 s 4 答案 D 解析 如图 画出可行域 表示斜率为的一组平行线 当过点时 目标函数取得最大值2zxy 1 2 3 3C 故选 D max 32 39z 5 答案 A 解析 所以函数是奇函数 并且是增 11 33 33 xx xx fxf x 3x 函数 是减函数 根据增函数 减函数 增函数 所以函数是增函数 故选 A 1 3 x 6 答案 A 解析 若 使 即两向量反向 夹角是 0 mn 0 180 那么 0 cos1800 m nm nm n 反过来 若 那么两向量的夹角为 并不一定反向 0 m n 00 90 180 即不一定存在负数 使得 所以是充分不必要条件 故选 A mn 7 答案 B 解析 几何体是四棱锥 如图 红色线为三视图还原后的几何体 最长的棱长为正方体的对角线 故选 B 222 2222 3l 8 答案 D 解析 设 两边取对数 361 80 3 10 M x N 所以 361 36180 80 3 lglglg3lg10361 lg3 8093 28 10 x 93 28 10 x 即最接近 故选 D M N 93 10 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 答案 2 解析 1 32 1 m m 10 答案 1 解析 3 2 2 13 1383 21 1 2 a dqdq b 11 答案 1 解析 2222 2440 1 2 1C xyxyxy A 所以 min 211APACr 12 答案 7 9 解析 22 2 sinsin coscos cos coscossinsin cossin 2sin1 7 9 13 答案 1 2 3 解析 123 1 2 3 14 答案 1 Q 2 p 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 解 1 根据正弦定理 sin3333 3 sin sin60 sinsin77214 acCA C ACa 2 当时 7a 3 3 7 ca sinC 3 3 14 ca 3 cossin 14 CC 2 1 ABC 中 sin sin sin BACAC sincoscossin AC AC 3313 3 214214 3 3 14 1139 S sin 7333 22144 ABC acB 16 解 1 连接 AC BD 连接 OMACBD O PD 平面 MAC 且平面 PBD平面 MAC MO PD MO O 为 BD 中点 M 为 PB 中点 2 取 AD 中点 E 连接 PE PA PD PE AD 又 平面 PAD 平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD AD PE 平面 ABCD 建立如图所示坐标系 则 B 2 4 0 P 0 0 D 2 0 0 A 2 0 0 2 易知平面 PDA 的法向量 0 1 0 m 设平面 BPD 的法向量 则n 000 xy z A A 00000 00000 2 02220 4 4 0440 m DPx y zxz n DBx y zxy n 1 1 2 二面角 B PD A 的平面角 coscos A A 2 22 11 23 1112 m n m n m n 17 分布列如下 012 p 1 6 2 3 1 6 即所求数学期望为 1 121 0 1 2 1 636 E 由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大 18 解 把 P 1 1 代入 y2 2Px 得 P C y2 x 1 2 焦点坐标 0 准线 x 1 4 1 4 设 l y kx A x1 y1 B x2 y2 OP y x ON y 1 2 2 2 y x x 由题知 A x1 x1 B x1 12 2 x y x k2x2 k 1 x 0 x1 x2 x1 x2 2 1 2 ykx yx 1 4 2 1k k 2 1 4k 11 1212 111 222 1 12 2 22 xkx x yxx ykxkx xxx 由 x1 x2 x1x2 2 1k k 2 1 4k 上式 A 为线段 BM 中点 2 1111 2 1 1 22122 1 2 4 k k kxkxkxx x k x 19 解 f x ex cos x x f 0 1 f x ex cos x sin x 1 f 0 0 y f x 在 0 f 0 处切线过点 0 1 k 0 切线方程为 y 1 f x ex cos x sin x 1 设 f x g x g x 2sin x ex 0 g x 在 0 上单调递减 2 g x g 0 0 f x 0 f x 在 0 上单调递减 2 f x max f 0 1 f x min f 2 2 20 解 当 n时 1 111 21122 3112233 max max 0 0 max 22 max 1 1 1 max 333 max 2 3 2 cba cbaba cbababa 4 所以 对于且 n 都有 n N2 11n cba n 只需比较与其他项的大小比较 11 ba n 当且 1 k0 且 2 n 0 所以 11kk ba nba n 所以 对于且 1 n n N2n 11n cba n 所以 1 1nn cc 2n 又 21 1 cc 所以是以首项d 1 为公差的等差数列 n c 1 0 c 1 设 的公差为 对于 n a n b 12 d d 1122 nn ba