价差现象的一种解释

研究领域 微观经济学 1 价差现象的一种解释价差现象的一种解释 Hal R Varian 大减价模型的不对称均衡大减价模型的不对称均衡 王俊王俊 南开大学经济学院南开大学经济学院 内容提要内容提要 本文弥补了 Hal R Varian 大减价模型的缺陷 给出了该模型的不对称 均衡 ANE 然后用 ANE 来解释市场价差现象以及市场定价策略的多样性 最后证明 大减价模型有且仅有四类均衡 即 SNE ANE 关键词关键词 信息 价差 大减价模型 不对称纳什均衡 可行价格 一 导言一 导言 主流经济学通常假定对于同一种商品整个市场只有一个价格 即所谓的一价定律 然 而现实生活却远非如此 首先 从空间上看 同一时点上同一种商品在各地的价格并不相 同 其次 从时间上看 同一家店铺对同一种商品的定价也不一定是一成不变的 例如常 见的大减价的情形 也就是说市场上存在 价差 price dispersion 现象 价差现象的普遍性早就引起了经济学家的关注 首先是 George Stigler 1961 他开 创了信息经济学对市场价差的研究 Steven Salop 和 Joseph Stiglitz 1977 则首度将市场 上的消费者分为有信息的和无信息的两类 来说明市场价差 Hal R Varian 1980 的贡 献在于他弥补了前人局限于对空间价差 spatial price dispersion 的缺陷 将研究的触角延 伸到时间价差 temporal price dispersion 的领域 Hal R Varian 1980 分析了垄断竞争条件下的混合策略均衡 由于其分析过程中有 一个循环论证 1 所以只得出了对称均衡 该对称均衡存在三大不足 一是所有的店铺都 采用相同的定价策略 这与市场上定价策略的多样性矛盾 二是所有店铺的定价均为一个 连续区间 这与现实中定价的跳跃性矛盾 三是可行价格集中任意一点的定价概率均为 0 也即价格是常变的 不在任何一个特定的点 滞留 这也与现实不符 本文给出的 Hal R Varian 大减价模型的不对称均衡 弥补了上述三个缺陷 本文的第三部分先给出 Hal R Varian 模型的对称均衡和不对称均衡的具体形式 并对 其经济涵义进行了比较 第四部分再给出求均衡解的数学过程 为了行文的便利 本文第二部分首先给出 Hal R Varian 的大减价模型 二 二 Hal R Varian 的大减价模型的大减价模型 假定有某件商品拥有大量的消费者 每位消费者对该商品的购买量不会超过一件 要 么不买 要买也只买一件 所有的消费者对该商品都有一个相同的保留价格 r 当店铺出 价高于 r 时 没人愿意购买 消费者分为两类 有信息的和无信息的 无信息的消费者随 1 参见附录 1 研究领域 微观经济学 2 机选择店铺 如果价格不高于 r 就购买 有信息的消费者了解每家店铺的价格 因此他们 总能以最低的价格 当然该价格必须小于或等于 r 买到商品 用表示有信息的消费者的数量 用表示无信息的消费者的数量 市场上0I 0M 有 n 家店铺 由于市场可以自由进出 所以所有店铺的预期收益为 0 用表示每 UM n 间店铺分摊到的无信息的消费者的数量 每家店铺都有自己的价格策略 该策略给出了上每一个价格 p 对应的概率 或 0 概率密度 用 p 的累积密度函数表示 2 i Fp 每个时期 每家店铺都按各自的策略定价 各个店铺定价是相互独立的 即有 i Fp 定价高 即不是最低 的店铺只能拥 111 iniinn F pppFpFpFp 有 U 名无信息的消费者 定价最低的店铺不但拥有 U 名无信息的消费者还平均分摊 I 名有 信息的消费者 当只有一个店铺出价最低时 该店铺获得 I U 名消费者 其他店铺各获 得 U 名消费者 假定所有店铺具有相同的平均成本曲线 该曲线严格单调递减 3 用 表示总成本 C q 函数 表示平均成本函数 其中 q 为销售量 为了便于分析 令 AC q pAC IU 所有店铺都是理性的 而且以上假定的所有内容对所有店铺都是 共同知识 common knowledge 三 对称均衡和不对称均衡及其经济涵义三 对称均衡和不对称均衡及其经济涵义 定义定义 1 对于 如果 离散型 或 连续型 ppr 0 ii P pp 0 i fp 则称 p 为店铺 i 的可行价格可行价格 对称均衡对称均衡 4 简称 简称 SNE 为下述策略组合 参见图 1 市场上有 n 家店铺 n 由决定 所有店 0 f rrUC UrM nC M n 铺的可行价格的定义域均为 且定价策略 即累积密度函数 均为 pr 其中 1 1 1 n f fs p F p pp ppr s f pp IUC IU ppUC U 2 显然 这种策略表述既适用于混合策略 同时也涵盖了纯策略 3 这与零售业本身的特点基本相符 4 Hal R Varian 1980 有详细论述 研究领域 微观经济学 3 不对称纳什均衡 简称不对称纳什均衡 简称 ANE 为下述策略组合 参见图 2 4 市场上有 n 家店铺 n 同样由决定 n 家店铺中有 t 家的可 0 f r 2 1tn 行价格的定义域为 为了便于描述 不妨设这 t 家店铺为第 1 家 第 t 家 其余 pr 家店铺的可行价格的定义域为单值点和连续区间 其中 nt r i pp i ppr 5 不失一般性 令 即将后家店铺按 1 itn 12 ttn rpppp nt 其连续区间的上限由大到小排列 同时为了统一符号令 对于任意一点 t rp 所有 n 家店铺的定价策略 即累积密度函数均为 n ppp 1 1 1 n f n fs p Fp pp 对于任意一点 前 k 家店铺的定价策略 即 1 1 2 1 kk pppknntt 累积密度函数 均为 1 1 1 1 1 k f kn fsii i k p Fp ppFp 对后家店铺而言 它们定价为 r 的概率分别为其中 nt 1 kk Fp 1 ktn 按可行价格的定义域不同 ANE 又分为三种情形 参见图 2 有家店铺的可行价格的定义域 12 ttn rpppp 2t 5 当 时 可以理解为 店铺 i 的可行价格的定义域仅为单值点 i pp r 研究领域 微观经济学 4 均为 其余家店铺的可行价格的定义域为单值点和连续区间 其 prnt r i pp 中 参见图 i ppr 1 itn 11 tlln rppppp 3 有家店铺的可行价格的定义域均为 家店铺的可行价格的定义域为2t prlt 单值点和连续区间 其中 还有家店铺的 r i pp i ppr 1 itl nl 可行价格的定义域均为单值点 参见图 4 有家店铺 r 1 tn ppp 2t 的可行价格的定义域均为 其余家店铺的可行价格的定义域均为单值点 prnt r 从图 1 可以看出 SNE 中所有店铺的可行价格区间都是连续的 要用 SNE 来解释 大减价 这样的价格跳跃现象还需要进一步分析定价策略 通过计算可知 6 1 1 1 2 1 1 n fsf f fs fs ppUpIp dF p fp dpnpp pp 1 2 2 1 4 1 1 n fsf f fs fs ppUpI pdfp dpnpp pp 2 fsf nppUnpI 令 则当时 单调 22 21 C Un UnIn UC UI p nUI pp fp 递减 当时 达到最小值点 当时 单调递增 也就是说 pp fp pp fp 6 推导过程参见附录 2 研究领域 微观经济学 5 的大致形状为 U 形 fp 根据 Hal R Varian 1980 的解释 这种 U 形的定价意味着任意一家店铺定价 较高 和 较低 的概率较大 而定 中间价 的概率较小 他通过所有店铺只有固定成本 k 的 特例来阐述这一观点 参见图 5 然而 用这种方式来解释 大减价 现象有两个缺陷 第一 如果把 较高 的价格视为原价 把 较低 的价格视为 大减价 那么 中间 价 指代的又是什么呢 第二 7 当 时 参见图 6 不存在定 较低 2 nI U n pp 价 的概率较大的情形 从而更加不能解释 大减价 的现象 从图 2 可以看出 ANE 中有一部分店铺的可行价格区间是间断的 而且 1 tn 对这些店铺而言定价为的概率分别为其中 这r 10 kk PprF p 1 ktn 刚好解释了现实中普遍存在的现象 对于大多数店铺而言 商品通常按 原价 卖 偶尔 才有 大减价 从图 3 可以看出 ANE 中不但有一部分店铺的可行价格区间是间断的 1 tl 而且还有一部分店铺以概率 1 定价为 因此 在 ANE 的框架下 不仅可 1 ln r 以解释 大减价 现象还可以解释市场上定价策略的多样性 有的店铺频繁变动其价格 有的店铺采用 大减价 的策略 还有的店铺始终维持高价 从图 4 可以看出 ANE 所对应的市场中有一部分店铺始终维持高价 1 tn r 其余店铺频繁变动其价格 表 1 总结了上述四种均衡的经济涵义 表 1 Hal R Varian 大减价 模型的四种类型的均衡与其所解释的市场类型 均衡类型可用来解释的市场类型 SNE所有店铺定价策略相同 均频繁变动其定价 ANE 一部分店铺频繁变动其价格 其余店铺采用 大减价 策略 7 参见附录 3 研究领域 微观经济学 6 一部分有的店铺频繁变动其价格 一部分店铺采用 大减价 的策略 一部分店铺始终维持高价 一部分有的店铺频繁变动其价格 一部分店铺始终维持高价 本节直接给出了均衡的几种类型 下一节将给出求解这几种均衡的推导过程 并证明 Hal R Varian 大减价 模型只有这四种均衡 不存在其他类型的均衡 四 求均衡解的数学推导四 求均衡解的数学推导 为了求 Hal R Varian 大减价 模型的价格策略纳什均衡 8 Nash 1950 必须进一 步分析每家店铺的策略空间 由于任意一家店铺可能获得的最多消费者为 I U 位 由模 型的假设知 根据平均成本严格单调递减可知 p 为任意一家店铺所能达 pAC IU 到的最低平均成本 从而没有一家店铺的定价会低于 p 同时只有定价低于保留价 r 时消 费者才会购买 所以没有一家店铺的定价高于 r 从而有 结论结论 19 01 ii FpF r 0 1 in 引理引理 1 任取一店铺 i 其所有可行价格的预期收益均等于 0 也即对于 ppr 如果 离散型 或 连续型 则 0 ii P pp 0 i fp isif P min pppP min ppp 2 1 0 n iik k P min pppkpp 且中有个等于 其中 s k f pp IUC IU pp I kUC I kU ppUC U 表示除 i 外其余 n 1 家店铺的定价 111 iiin ppppp 证明 证明 不失一般性 设可行价格的预期收益小于可行价格的预期收益 则理性 1 p 2 p 的消费者会以来替代 策略有偏移的诱因 这与均衡的定义矛盾 所以均衡中的 2 p 1 p 1 p 预期收益只能等于的预期收益 由于是任取的 所以所有可行价格的预期收益相 2 p 12 p p 等 又因为市场是自由进入的 所以所有可行价格的预期收益都等于 0 8 本节的分析均以纳什均衡为对象 9 该结论与 Hal R Varian 1980 文章中的命题 1 相一致 只不过用累积密度函数 F 来表示比用密度函 数 f p 更加严谨 前者涵盖了离散型分布的情形而后者没有 研究领域 微观经济学 7 引理引理 210 对任意店铺 i 的某一可行价格有 p 10 2 3 ii P min pppkpkn 且中有个等于 证明 证明 假定对于店铺 i 有或 由于在任意概率分布中 正概 0 i P pp 0 i fp 率点群 points of positive mass 的个数是可数的 所以可以找到足够小的使得 n 家0 店铺定价为的概率都等于 0 比较店铺 i 定价分别为和的预期收益 p p p 定价为时预期收益表示为以下五项之和 p 15 aa 1 2 3 is is is P min pppa P min pppa P pmin pppa 4 2 5 1 n iik k if P min pppkppa P min pppa 且中有个等于 而定价为时预期收益表示为以下三项之和 p 13 bb 1 2 2 3 1 is n iik k if P min pppb P min pppkppb P min pppb 且中有个等于 当时 0 1153 0 i ab abP pmin pp 10 ii P min pppkp 且中有个等于 从而 店铺 i 定价为的预期收益与定价为的预期收益之差趋向于下式 p p 10 该结论适用于 而不仅适用于可行价格 从而将端点也涵盖在内 0 p ppr p 研究领域 微观经济学 8 2 1 n isiik k P min pppP min pppkpp 且中有个等于 2 1 n iisk k P min pppkppp 且中有个等于 上式不能大于 0 否则有偏离的诱因 从而与均衡的定义矛盾 同时 又p 0 sk II pppAC IUIUpACUU kk 2 3 kn 11 11 10 2 3 ii P min pppkpkn 且中有个等于 由引理 1 和引理 2 可得 推论推论 1 对任意店铺 i 的某一可行价格 p 其预期收益可由下式表示 0 isif P min pppP min ppp 结论结论 2 任意两间店铺在可行价格相同的点 累积密度函数的取值相同 证明 证明 从市场上任取两个店铺 i 和 j 假定是两个店铺共同的可行价格 ppr 亦即 离散型 或 连续型 且或 0 ii P pp 0 i fp 0 jj Ppp 0 j fp 则店铺 i 定价为 p 的预期收益为 推论 1 0 isif P min pppP min ppp tsif t i P pppP min ppp 1 n ts t P ppp f p ijijjijj P min ppP min ppP ppP min ppP pp 其中表示除 i 和 j 以外其余 n 2 家店铺的 11111 ijiijjn ppppppp 定价 两边同乘以 化简得 i P pp 11 引理 2 的结论要弱于 Hal R Varian 文章中命题 3 的结论 原因是这里考虑了不对称均衡存在的可能性 而不是假定只存在对称均衡 研究领域 微观经济学 9 1 n tsiijf t P pppP ppP min ppp 引理 1 iijjjf P ppP min ppP ppP ppp 2 1 n tsiijf t P pppP ppP min ppp 引理 1 iijjf P ppP min ppP ppp 2 1 n tsiijf t P pppP ppP min ppp 1 iijjf P ppP min ppP ppp 考虑店铺 j 同理可得 1 n tsjijf t P pppP ppP min ppp 2 jijif P ppP min ppP ppp 由 1 式和 2 式可知 ijij P ppP ppFpFp 定义定义 2 用 Si表示店铺 i 的所有可行价格的集合 则称为市场价格可行集市场价格可行集 1 n i i SS 引理引理 312 市场价格可行集 13 也就是说 对于市场价格可行集 S 而言 不 Spr 可能在的某个连续区间没有定义 14 pr 证明 证明 由于所有店铺的定价都不会小于 p 或大于 r 所以 S 必然是的一个子集 pr 反证法 假定存在区间且 A Bpr A BS 12 这里并不排除某家店铺的可行价格集 不成立的情形 i Spr 13 在这里 符号 表示 S 可以是区间 也可以是区间剔除掉可数个点的情形 下同 pr pr 14 可以参看 Hal R Varian 1980 文章中的命题 6 命题 7 和命题 8 的证明 研究领域 微观经济学 10 若 则所有店铺的最低定价都大于 此时若有一家店铺改变其策略 Ap Bp 以概率 1 定价为则它的收益将由 0 引理 1 变为正数 15 由于有偏离的诱 2pAB 因所以时不存在均衡 Ap 若 令 那么就是市场价 rAp AmaxSA 2BAB A 格可行集中小于的价格中最大的一个 不妨设 则对店铺 i 而言 定价为的 B i AS B 预期收益为 推论 isif P min pBBP min pBB 1 isif P min pABP min pAB 2AmaxSA 以及引理 isif P min pAAP min pAA 从而店铺 i 有偏离选择的诱因 所以时也不存在均衡 证毕 A B rAp 引理引理 4 对任意店铺 i 的任一可行价格 有 即 pr 1 i Fp 0 i P pp 证明 证明 反证法 假定 由可知存在某家店铺的某个 1 i pr Fp Spr ji 可行价格 j 定价为的预期收益为 j ppp r p jsjf P min pppP min ppp if P min ppp 0 ii P ppP pp 与引理 1 矛盾 0 if P min ppr 推论推论 2 对任意店铺 i 的任一可行价格 有 ppr 0 i P pp 证明 证明 反证法 假定 则有 0 i P pp 与引理 2 矛盾 16 0 jiji P min ppP min ppP pp 引理引理 5 n 家店铺中至少存在一家店铺 i 其可行价格集合 i Spr 15 2 0 ss ABp 16 最后一个不等式用到了引理 4 的结论 研究领域 微观经济学 11 证明 证明 反证法 假定对 均不成立 也就是说没有一家店铺的1 in i Spr 可行价格集为 或剔除掉可数个点的情形 pr pr 设 同时假定 1 1 i n iikik k Sabin 1 1 1 1 ikii k bain kn 也就是假定任意店铺 i 的可行价格集由从小到大按顺序排列的个相分离的区间构成 17 i n 由引理 3 易知 从 n 家店铺中挑出这些可行价格集的最小值等于 1 1 i in min ap 或趋向于 的店铺来 不妨称这些店铺构成的集合为 再从中挑出其第一个区 pGG 间的上限最大的一间店铺来 不失一般性 不妨设这间店铺为 i 则有且 1 i ap 11ik k G bmax b 由于假定不成立 所以 又 所以市场上肯定存在一家店铺 i Spr 1 i br Spr j 有可行价格集且 参见图 7 18 11 jii Sb b 11ji bb 由引理 1 可知店铺 j 定价为时 其预期收益为 0 若店铺 i 定价 1 0 i pb 为 则其预期收益为 1 i pb isif P min pppP min ppp jijs P ppP min ppp f p ijijjijj P min ppP min ppP ppP min ppP pp 因为 由引理 2 知 所以 1 i pbpr 0 ij P min pp 上式 jijs P ppP min ppp f p 1 ijijj P min ppP min ppP pp 当 也即时 见图 7 0 1 i pb 11 0 ijjii FpFpP bpb ji P ppP pp 17 允许 也即某个区间为单值点的情形 ikik ab 18 另有 11 iii b bS 研究领域 微观经济学 12 上式 iijs P ppP min ppp f p 1 ijiji P min ppP min ppP pp 引理 0 jsjf P min pppP min ppp 1 也就是说 若店铺 i 定价为可以获得正的预期收益 从而有偏离的诱因 1 i pb 所以 对 均不成立时 不存在均衡 证毕 1 in i Spr 推论推论 3 3 对任意店铺 i 的可行价格集 若 则 1 i n iikik k Sab 11ii ba 1 i ap 证明 证明 由引理 5 知市场上有一家店铺 i 的可行价格集 显然 而 i Spr 1 i ap 对于任意一家店铺 若 则由结论 2 有 ji 1 j ap 11 1 0 jj jijj papa FpFpFa 这与累积密度函数的右连续性质矛盾 推论推论 4 4 对任意店铺 i 的可行价格集 不存在 1 i n iikik k Sab 2 ikiki bakn 换句话说 在区间内只存在可数个可行价格点 1 1 i brin 证明 证明 反证法 假设使得 不妨从这些 k 值中找出最小的一个 2 i kn ikik ba 不是一般性 设其为 则会出现图 8 中的情形 19 此时有 k 19 中只有个定价概率为零的可行价格 1 jjk ba 1k 研究领域 微观经济学 13 11 jkjk jiijjjjjk papa FpFpF bFbFa 这与累积密度函数的右连续性质矛盾 结论结论 3 3 n 家店铺中至少存在两家店铺 i 和 j 其可行价格集为和 i Spr 即 j Spr 11ij bbr 证明 证明 反证法 假设只有 i 的可行价格集为 即 i Spr 1 j br 1 1 1 jiin 由引理 4 推论 2 和推论 4 知 而且 0 1 1 1 j P prjiin 在该区间内只有店铺 i 有可行价格 此时 i 定价为的预期收益为 rr r 0 isif P min prrP min prr 1 jsjf j ij i P prrP prr 1 jsjf pr j ij i limP prpP prp isif pr lim P min pppP min ppp 也就是说 店铺 i 定价为时 会获得正的收益 这与引理 1 矛盾 pr 结论结论 4 对于可行价格集的任一店铺 i 不成立 i Spr 0 i P pr 证明 证明 反证法 假设使得 则由结论 2 知对于所有价格集i 0 i P pr 的店铺均有 由引理 4 推论 2 和推论 4 知对于除 j Spr ji j 0 j P pr i 和就 j 之外的其他店铺也有 0 ij P pr 由引理 1 知店铺 i 定价为 r 的预期收益为 0 1 jnjf j ij i P prrP prr 1 jsjf j ij i P prrP prr isif pr LimP min pppP min ppp 研究领域 微观经济学 14 也就是说 店铺 i 定价为时 会获得正的收益 这与引理 1 矛盾 pr 命题 命题 Hal R Varian 大减价 模型的所有均衡可以表述为下述策略组合 20 市场上有 n 家店铺 n 由决定 n 家店 0 f rrUC UrM nC M n 铺中有 t 家的可行价格的定义域为 为了便于描述 设这 t 家店铺为 2 tn pr 第 1 家 第 t 家 其余家店铺 21的可行价格的定义域为单值点 和连续区间nt r 其中 22 不失一般性 令 i pp i ppr 1 itn 即将后家店铺按其连续区间的上限由大到小排列 12 ttn rpppp nt 同时为了统一符号令 对于任意一点所有 n 家店铺的定价策略 即累 t rp n ppp 积密度函数均为 1 1 1 n f n fs p Fp pp 对于任意一点 前 k 家店铺的定价策略 即 1 1 2 1 kk pppknntt 累积密度函数均为 1 1 1 1 1 k f kn fsii i k p Fp ppFp 对后家店铺而言 它们定价为 r 的概率分别为其中 nt 1 kk Fp 1 ktn 证明 证明 由推论 2 3 4 结论 3 以及定义 1 可知 Hal R Varian 大减价 模型的均衡 只可能以以下四种方式出现 23 1 参见图 1 1 i Sprin 此时 所有店铺的可行价格集相同 由结论 2 知所有店铺的可行价格的累积密度函数 也相同 再由推论 1 求出均衡中任意一家店铺的策略的具体形式为 24 1 1 1 n f fs p F pppr pp 20 随着 t 和 的取值不同 均衡的具体形式可以不同 1 i pitn 21 当 时 其余家店铺就不存在了 tn nt 22 当 时 可以理解为 店铺 i 的可行价格的定义域仅为单值点 i pp r 23 四种方式的划分以可行价格集的不同为标准 另外 由于添加或剔除可数个取值概率为 0 的点不会改 变累积密度函数的形式 为了便于描述 以下分析涉及可行价格集时将 均改成 24 可以参看 Hal R Varian 1980 研究领域 微观经济学 15 这正是命题中时 亦即时的情形 tn 1tn ppr 2 1 2 1 i Sprit tn 参见图 2 11 1 jjj Spbrjtn pbr 令 则有 由结论 2 知在 1 1 jj pbjtn 1 n inn i SSppr 上 n 家店铺的可行价格的累积密度函数相同 由推论 1 有 n pp 11 1 1 0 1 11 0 1 isif nn nsnf n f nn fs P min pppP min ppp FppFpp p Fpppp pp 再考虑区间 25 第 n 家店铺在该区间内没有定义 由结论 2 知前 家店铺 1 nn pp 1n 的可行价格的累积密度函数相同 再由推论 1 知 对于前家店铺有 1n 0 isif P min pppP min ppp 22 11 11 111 0 nn nnnsnnnf FpFppFpFpp 1 2 11 1 1 n f nnn fsnn p Fpppp ppFp 依此类推 对于前家店铺有 26 1 2 1 k knntt 1 1 1 1 1 1 k f kkkn fsii i k p Fpppp ppFp 另外 后家店铺定价为 r 的概率分别为其中 nt 1 kk Fp 1 ktn 这正是命题中且时的情形 2 1tn 12 ttn rpppp 要证明上述策略组合是纳什均衡 还需证明所有店铺都没有偏离的诱因 以及累积密 25 若 则可以考虑区间 基本思路不变 1nn pp 12 nn pp 26 记 t pr 研究领域 微观经济学 16 度函数是单调不减函数 且 证明的过程在附录 4 中给出 t Fp 0 1 tt FpF r 用同样的方法可以求出另外两种情形下的解 3 1 2 2 i Sprit tn 1 i Sriln 参见图 3 11 1 jjj Spbrjtl pbr 后家店铺以概率 1 定价为 r 对于前家店铺nl 1 ln 2 1 k kl ntt 有 27 1 1 1 1 1 1 k f kkkn fsii i k p Fpppp ppFp 另外 中间家店铺定价为 r 的概率分别为其中 lt 1 kk Fp 1 ktl 这正是命题中且时的情形 2 2tn 11 tlln rppppp 4 参见图 4 1 2 1 i Sprit tn 1 i Sritn 后店铺以概率 1 定价为 r 对于前 t 家店铺有 nt 1 1 1 t f t fs p Fpppr pp 这正是命题中且时的情形 2 1tn 1 tn ppp 综上所述 Hal R Varian 大减价 模型有且仅有四类均衡 SNE ANE ANE 和 ANE 命题给出的正是这四类均衡的统一描述 附录 附录 1 Hal R Varian 1980 分析过程中的循环论证 Hal R Varian 用命题 9 来证明在任意均衡中 每个店铺选择相同的定价策略 又在 每个店铺选择相同的定价策略 条件下得出命题 3 而命题 9 的证明又是以命题 3 的结 论为前提 其逻辑过程如图 9 27 这里有 且 1 ln ppp 11 0 llnn FpFp 研究领域 微观经济学 17 命题命题 3命题命题 9 图 9 每个店铺选择相同的定价策略每个店铺选择相同的定价策略 所以 Hal R Varian 的文章是在对称均衡的前提下得出了只存在对称均衡的结论 并 误认为其他均衡不存在 2 SNE 中任意一家店铺的定价策略 即累积密度函数 的进一步分析 F p 1 1 1 n f fs p F p pp 1 1n f fs p d pp dF p fp dpdp 1 1 1 2 1 1 n fsf f fs fs ppUpIp npp pp 12 2 1 2 11 1 11 n fsf f fs fs ppUpIp dfp dpnnpp pp 1 1 1 4 11 1 n f fs fs p npp pp 2 02 fsfsfsf ppppIppUpI 1 2 1 4 11 1 n f fs fs p npp pp 28 2 1 1 1 fsf ppUpI n 研究领域 微观经济学 18 1 2 2 1 4 1 1 n fsf f fs fs ppUpIp npp pp 212 fsff nppUpInpI 1 2 2 1 4 1 1 n fsf f fs fs ppUpI p npp pp 2 fsf nppUnpI C IUC U AC IUAC UUC IUC UIU IUU 0 fsf ppUpI 前面几项的乘积大于 0 从而的符号由最后一项决定 dfp dp 令 即 20 fsf nppUnpI 22 222 2122 0 pUC Un UnIn Up UIC UI pUnInIC Un UnIn UC UI nUIpC Un UnIn UC UI 22 21 C Un UnIn UC UI pp nUI 所以 当时 单调递减 当时 达 pp 0 dfp dp fp pp 0 dfp dp fp 到最小值点 当时 单调递增 pp 0 dfp dp fp 3 pUIC UI 28 2 f fsfsf fs p ppIppUpI pp 2 ffsf pIppUpI 研究领域 微观经济学 19 22 21 C Un UnIn UC UI UIC UI nUI 2 22 21 C Un UnIUIC UIn UnUI nUI 2 21 n UnIC UUIC UI U nUI 当时 2 nI U n 0 pUIC UIpUIC UIpp 4 证明证明 1 检验有无偏离的诱因 对于任意一家店铺 i 而言 定价为的预期收益为 n ppp isif P min pppP min ppp 2 1 n iik k P min pppkpp 且中有个等于 11 1110 nn tstf FppFpp 而前 k 家店铺中的某一店铺 i 定价为的预期收益为 1 1 kk pppknt isif P min pppP min ppp 2 1 n iik k P min pppkpp 且中有个等于 1 1 11 n k kiis k FpFpp 1 1 1110 n k kiif k FpFpp 上面的最后一个等式用到了的定义 k Fp 再考虑后家店铺中的某家店铺 i 定价为的预期收益 nt r isif P min pppP min ppp 2 1 n iik k P min pppkpp 且中有个等于 研究领域 微观经济学 20 0 0 sif rP min prr 从而对于任意一家店铺而言 其每个可行价格预期收益均为 0 再看是否存在某家店铺偏离可行价格区域定价的诱因 先考虑第家店铺 假定其定n 价为 29 则其预期收益为 1 1 kk pppknt nsnf P min pppP min ppp 2 1 n nnk k P min pppkpp 且中有个等于 1 1 11 n k kiis k FpFpp 1 1 111 n k kiif k FpFpp 1 1 11 n k kiis k FpFpp 1 1 1110 n k kiif k FpFpp 不等式成立是因为 该不等式说明 第家 0 0 nnksf FpFppp n 店铺若定价不在可行价格区间 则其预期收益为负 因此它没有偏离其可 n ppr 行价格区域的诱因 重复该论证过程 易知任意一家店铺若定价于其可行价格区域以外 其预期收益均小于 0 综上所述 所有店铺都没有偏离其可行价格区域的诱因 而在可行价格区域内每一点 的预期收益又相等 所以家店铺均没有任何偏离的诱因 n 2 检验累积密度函数 由于这类均衡中 部分店铺的累积密度函数为分段函数 所以在证明累积密度函数是 单调不减函数时 要分析累积密度函数分段点的取值 根据对均衡的描述可知当时 前 k家店铺有 1k pp 1 2 1 knntt 1 1 1 1 11 1 1 1 k k fk kn pp fkskii i k p lim Fp ppFp 29 这里不考虑第 n 家店铺定价为 即 情形 因为是可行价格 前面已经分析过了 t prr 研究领域 微观经济学 21 1 1 1 1 11 11 k k n fk kii pp i k fksk p lim FpFp pp 而前 k 家店铺在处有下式成立 1k p 1 11 2 11 11 n k fk kkii i k fksk p FpFp pp 两式相除然后化简得 即前 k 家店铺的累积密度函数在 1 11 k kkk pp lim FpFp 处连续 30 1k p