数的整除知识点总结

一 数的分类 第一种分法 树状图 韦恩图 整数 整数 自然数负整数 零正整数 正奇数正偶数 第二种分法 整数 整数 奇数偶数 第三种分法 正整数 整数 素数合数 1 一些关于数的结论 1 0 是最小的自然数 1 是最大的负整数 1 是最小的正整数 2 没有最大的整数 没有最小的负整数 没有最大的正整数 3 正整数 负整数 整数的个数都是无限的 二 整除 1 整除定义 概念 整数 a 除以整数 b 如果除得的商是整数而余数为零 我们就说 a 能被 b 整除 或者说 b 能整除 a 注意点 一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁 这里的 a 相当于被除数 b 相当于除数 2 整除的条件 1 除数 被除数都是整数 2 被除数除以除数 商是整数而且余数为零 注意点 区分整除与除尽 整除是特殊的除尽 如正方形是特殊的长方形一样 即 a 能被 b 整除 则 a 一定能被 b 除尽 反之则不一定 即 a 能被 b 除尽 则 a 不一定能被 b 整除 如 4 2 2 4 既能被 2 除尽 也能被 2 整除 4 5 0 8 4 能被 5 除尽 正整数 零 负整数 奇数 偶数 素数 1 合数 却不能说 4 能被 5 整除 三 因数与倍数 1 因数与倍数的定义 整数 a 能被整数 b 整除 a 就叫做 b 的倍数 b 就叫做 a 的因数 约 数 注意点 1 因数和倍数是相互依存的 不能简单的说某个数是因数 某个数是倍数 如 6 3 2 不能说 6 是倍数 3 是因数 要说 6 是 3 的倍数 3 是 6 的因数 2 因数与倍数是建立在整除的基础上的 所以如 4 0 2 20 一般是不说 4 是 0 2 的倍数 0 2 是 4 的因数 2 因数与倍数的特点 一个整数的因数中最小的因数是 1 最大的因数是它本身 一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身 没有最大的倍数 因数的个数是有限的 都能一一列举出来 倍数的个数是无限的 3 求一个数因数的方法 利用积与因数的关系一对一对找 找出哪两个数的乘积等于这个 数 那么这两个数就是这个数的因数 如 16 1 16 2 8 4 4 那么 16 的因数就有 1 2 4 8 16 计算时一定不要忘了 1 和这 个数本身都是它的因数 注意按照一定的顺序以防遗漏 4 求一个数倍数的方法 这个数本身分别乘以 1 2 3 4 5 即正整数 得到的积就 是这个数的倍数 若用 n 表示所有的正整数 则 2 的倍数可表示为 2n 5 的倍数可表示为 5n 四 能被 2 5 3 整除的数的特点 1 能被 2 整除的数 即 2 的倍数 个位上的数字是 0 2 4 6 8 反之 个位上的数字是 0 2 4 6 8 的数也能被 2 整除 2 能被 5 整除的数 即 5 的倍数 个位上的数字是 0 5 反之 个位上的数字是 0 5 的数 都能被 5 整除 3 能被 3 整除的数 即 3 的倍数 各个位数上的数字之和是 3 的倍数 反之 各个位数上 的数字之和是 3 的倍数的数都能被 3 整除 4 能被 2 5 同时整除的数的个位数字都是 0 个位数字为 0 的数也能被 10 整除 能被 10 整除的数一定能被 2 或 5 其中的一个或两个同时整除 五 奇数 偶数 1 奇数与偶数的定义 能被 2 整除的整数叫做偶数 不能被 2 整除的整数叫做奇数 按照 能否被 2 整除来划分奇数与偶数 2 奇数个位数上的数的特点 1 3 5 7 9 偶数个位数上的数的特点 0 2 4 6 8 3 在连续的正整数中 除 1 外 与奇数相邻的两个数是偶数 与偶数相邻的两个数是奇数 4 相邻的奇数或偶数数字相差 2 奇数可用 2n 1 或 2n 1 表示 偶数可用 2n 表示 5 奇数与偶数加法和乘法的运算特点 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 奇数 奇数 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 偶数 利用此结论可检验一些运算是否正确 同时也要注意结论的逆向运用 如偶数 奇数 可 拆成哪些奇数或偶数的和 积 六 素数 合数 1 素数与合数定义 一个正整数如果只有 1 和它本身两个因数 这样的数叫做素数 质数 如果除了 1 和它本身以外还有别的因数 这样的数叫做合数 注意点 1 素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的 素数只有 2 个因数 1 和 本身 合数至少有三个因数 任何一个数 除 1 外 都有 1 和它本身两个因数 2 1 既不是素数也不是合数 3 最小的素数是 2 最小的合数是 4 2 素数与奇数的联系和区别 奇数不一定都是素数 1 既不是素数也不是合数 9 15 等是奇数但是合数 所有素数都是奇数 2 是素数 但 2 是偶数 3 合数与偶数的联系与区别 合数不一定都是偶数 9 15 等都是合数 但它们是奇数 偶数都是合数 2 是偶数但 2 是素数 注意 判断题对的要说明原因 错的要举出反例 七 素因数与分解素因数 1 素因数与分解素因数的定义 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式 其中每个素数 都是这个合数的因数 叫做这个合数的素因数 把一个合数用素因数相乘的形式表示出 来 叫做分解素因数 注意 1 求一个数的素因数时 先把这个数分解素因数 有几个素因数就写几个 如 24 2 2 2 3 则素因数是 2 2 2 3 而不是 2 3 2 因数与素因数的区别 因数可以是素数或合数 素因数一定是素数 一个数的素 因数一定是这个数的因数 因数的个数一定比素因数的个数多 2 分解素因数的方法 树枝分解法 过程中注意不要漏写乘号 分解要彻底 直到没有合数出现 也不能出现 1 要分解的合数写在等号左边 把它的素因数用相乘的形式写在等号右边 再 把这几个素因数按从小到大的顺序排列 短除法 1 先用一个能整除这个合数的素数去除 通常从最小的开始 偶数肯定先用 2 除 奇数一般从 3 开始一个个带入验算 2 得出的商如果是合数 再按照上面的方法继续除下去 直到得出的商是素数为 止 3 然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式 3 由一个数分解素因数求这个数的因数 12 2 2 3 素因数是 2 2 3 除 1 外由单个的素因数组成因数有 2 3 由两个素因数 组成的因数有 2 2 4 2 3 6 由三个素因数组成的因数有 2 2 3 12 所以 12 的因数有 1 2 3 4 6 12 4 由一个数分解素因数求这个数因数的个数 1 所有素因数都相同时 因数的个数是它素因数的个数 1 如 8 2 2 2 素因数是 2 2 2 则 8 的因数的个数是它素因数的个数 1 即 4 个 2 素因数不完全相同时 因数的个数是每个素因数个数 1 后相乘的积 如 12 2 2 3 素因数 2 的个数是 2 素因数 3 的个数是 1 则 12 的因数的个数 是 2 1 1 1 6 八 公因数与最大公因数 1 公因数与最大公因数定义 几个数公有的因数 叫做这几个数的公因数 其 中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2 互素定义 如果两个整数只有公因数 1 那么称这两个数互素 如 8 和 9 注意 互素是两个数之间 素数是指一个数 互素的两个数的最大公因数就是 1 两个互素的数未必都是素数 8 和 9 互素 但 8 和 9 都是合数 两个不同的素数一定互素 若缺少 不同的 则错 因为 3 和 3 都是素数但不互 素 3 求两个数最大公因数的方法 1 一般方法 写出两个数所有的因数 再找出它们共同的最大的因数 2 分解素因数的方法 把这两个数分解素因数 再找出相同的素因数 把它们所有的公 有的素因数相乘 所得的积就是它们的最大公因数 3 短除法 先用这两个数公有的素因数去除 一般从最小的素因数开始 得出的商如果 是合数 再按照上面的方法继续除下去 直到两个数互素为止 这两个数的最大公因数就 是左侧的除数的乘积 类比用短除法分解素因数的方法 4 两个整数中 如果某个数是另一个数的因数 那么这个数就是这两个数的最大公因数 如果这两个数互素 那么它们的最大公因数就是 1 九 公倍数和最小公倍数 1 公倍数与最小公倍数定义 几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数 其中最小的一个叫做它 们的最小公倍数 2 求两个数最小公倍数的方法 1 一般方法 从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数 再找出它们共同的最小的倍数 2 分解素因数的方法 把这两个数分解素因数 再找出相同的素因数 再取各自剩余的素 因数 将这些数连乘所得的积 就是这两个数的最小公倍数 3 短除法 先用这两个数公有的素因数去除 一般从最小的素因数开始 得出的商如果是 合数 再按照上面的方法继续除下去 直到两个数互素为止 这两个数的最小公倍数就是 左侧的除数与底部商的乘积 注意点 1 用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时 过程都相同 只是最后写结论时注 意需要乘哪些数 2 求两个数的最大公因数和最小公倍数 先判断这两个数是否存在因数 倍数 关系或 互素关系 存在因数 倍数 关系时 最大公因数就是较小的那个数 最小公倍数就是较 大的那个数 两数互素时 最大公因数就是 1 最小公倍数就是它们的乘积 3 两个整数的公倍数一定能被这两个数整除 十 求三个整数的最大公因数和最小公倍数 拓展 1 求三个整数的最大公因数 同样也是三种方法 只需找出三个数共同的因数 最大的因数就 是最大公