小学六年级数学培优专题训练

新航标教育 清溪分 校 成功源于专业1 第第 1 讲讲 数的认识数的认识 一 夯实基础 1 数的意义 4 百分数 百分数后面不带计量单位百分数后面不带计量单位 二 典型例题 数的认识课堂过关卷 一 细心填空一 细心填空 1 用用 3 个个 0 和和 3 个个 6 组成一个六位数 只读一个零的最大六位数是 组成一个六位数 只读一个零的最大六位数是 读两个零的六位数是 读两个零的六位数是 一个零也不读的最小六位数是 一个零也不读的最小六位数是 2 一个三位小数 四舍五入后得一个三位小数 四舍五入后得 4 80 这个三位小数最大是 这个三位小数最大是 最小是 最小是 3 若被减数 减数与差这三个数的和为若被减数 减数与差这三个数的和为 36 那么被减数为 那么被减数为 4 把把 0 35 34 从大到小排序 从大到小排序 3 8 1 3 4 11 5 某班男生人数是女生的某班男生人数是女生的 女生人数占全班人数的 女生人数占全班人数的 3 2 6 甲数比乙数多 甲数比乙数多 25 则乙数比甲数少 则乙数比甲数少 7 一个分数的分子比分母少一个分数的分子比分母少 20 约分后是 约分后是 这个分数是 这个分数是 7 3 8 写出三个比写出三个比小 而比小 而比大的最简分数是 大的最简分数是 3 2 3 1 9 中有 中有 个 个 9 5 m 9 1 10 有一个最简真分数 分子和分母的积是有一个最简真分数 分子和分母的积是 36 这个分数最大是 这个分数最大是 11 A B 60 A B A B 3 2 12 填两个分母小于12 的分数 填两个不同的整数 11 12 1 1 1 5 13 一个最简分数 若分子加上 1 可以约简为 若分子减去一 可化简成 3 2 2 1 这个分数是 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业2 14 修一段 600 米长的路 甲队单独修 8 天完成 乙队单独修 10 天完成 两队合 修 天完成它的 10 9 15 一种商品 先提价 20 又降价 20 后售价为 96 元 原价为 元 16 甲 乙两个数的差是 35 4 甲 乙两个数的比是 5 2 这两个数的和是 17 有甲 乙 丙三种 甲种盐水含盐量为 4 乙种盐水含盐量为 5 丙种盐 水含盐量为 6 现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释 得到含盐量为 2 的 盐水 60 千克 如果这项工作由你来做 你打算用 种盐水 取 千 克 加水 千克 18 x 表示取数 x 的整数部分 比如 13 58 13 若 x 8 34 则 x 2x 3x 二 选择 1 最大的小数单位与最小的质数相差 A 1 1 B 1 9 C 0 9 D 0 1 2 3 999 保留两位小数是 A 3 99 B 4 0 C 4 00 D 3 90 3 下列四个数中 最大的是 A 101 B 0 C D 1 9 2009 2008 4 平均每小时有 36 至 45 人乘坐游览车 那么 3 小时中有 人乘坐游览车 A 少于 100 B 100 与 150 之间 C 150 与 200 之间 D 200 与 250 之 间 5 小明所在班级的数学平均成绩是 98 分 小强所在班级的数学平均成绩是 96 分 小明考试得分比小强的得分 A 高 B 低 C 一样高 D 无法确定 6 一次数学考试 5 名同学的分数从小到大排列是 74 分 82 分 a 分 88 分 92 分 他们的平均分可能是 A 75 B 84 C 86 D 93 7 的分子加上 6 如果要使这个分数的大小不变 分母应该 10 3 A 加上 20 B 加上 6 C 扩大 2 倍 D 增加 3 倍 8 书店以 50 元卖出两套不同的书 一套赚 10 一套亏本 10 书店是 A 亏本 B 赚钱 C 不亏也不赚 9 把 1 克盐放入 100 克水中 盐与盐水的比是 A 1 99 B 1 100 C 1 101 D 100 101 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业3 10 甲 乙两个仓库所存煤的数量相同 如果把甲仓煤的调入乙仓 这时甲仓 4 1 中的煤的数量比乙仓少 A 50 B 40 C 25 三 星级挑战 1 财会室会计结账时 发现财面多出 32 13 元钱 后来发现是把一笔钱的小数 点点错了一位 原来这笔钱是多少元 2 暑假期间 明明和亮亮去敬老院照顾老人 7 月 13 日他们都去了敬老院 并约好明明每两天去一次 亮亮每 3 天去一次 1 7 月份 他们最后一次同去敬老院的日子是 2 从 7 月 13 日到 8 月 31 日 他们一起去敬老院的情况有 次 第第 2 讲讲 数的整除数的整除 一 夯实基础 整数 a 除以整数 b b 0 除得的商正好是整数而没有余数 我们就说 a 能 被 b 整除 也可以说 b 能整除 a 如果数 a 能被数 b 整除 那么 a 就叫做 b 的倍数 b 就叫做 a 的因数 能被 2 整除的数叫偶数 也就是个位上是 0 2 4 6 8 的数是偶数 不能被 2 整除的数叫奇数 也就是个位上是 1 3 5 7 9 的数是奇数 一个数如果只有 1 和它本身两个因数 这个数叫做质数 一个数除了 1 和它本 身 还有别的因数 这个数叫做合数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 这几个质数都叫做这个合数的质因 数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 公因数只有 1 的 两个数或几个数 叫做互质数 几个数公有的因数 叫做这几个数的公因数 其中最大的一个 叫做最大公因 数 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个叫做这个数的最 小公倍数 二 典型例题 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业4 例 3 同学们在操场上列队做体操 要求每行站的人数相等 当他们站成 10 行 15 行 18 行 24 行时 都能刚好站成一个长方形队伍 操场上同学最少是多少人 分析 题目要求的是 最少 为多少人 可知操场上的同学数量正好是 10 15 18 和 24 的最小公倍数 解 10 15 18 和 24 的最小公倍数是 2 3 5 1 1 3 4 360 答 操场上的同学最少是 360 人 数的整除课堂过关卷 一 填空 1 在 l 至 20 的自然数中 既是偶数又是质数 既是奇数又是合 数 2 一个数 如果用 2 3 5 去除 正好都能整除 这个数最小是 用一 个数去除 30 40 60 正好都能整除 这个数最大是 3 8 5 同时是 2 3 5 的倍数 则这个四位数为 4 一个五位数 7 35 如果这个数能同时被 2 3 5 整除 那么 代表的数字是 代表的数字是 5 从 0 5 8 7 中选择三个数字组成一个同时能被 2 3 5 整除的最大三位数 这个三位数是 把它分解质因数是 6 把 84 分解质因数 84 72 和 54 的最大公约数是 7 12 的约数有 从中选出 4 个数组成一个比 例是 8 公因数只有 的两个数 叫做互质数 自然数 a 和 一定是互质 数 9 a b 都是非零自然数 且 a b c c 是自然数 是 的因 数 a b 的最大公因数是 最小公倍数是 10 A B 分解质因数后分别是 A 2 3 7 B 2 5 7 A B 最大公因数是 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业5 最小公倍数是 11 A 2 2 3 B 2 C 5 已知 A B 两数的最大公约数是 6 那么 C 是 A B 的最小公倍数是 12 在括号里填上合适的质数 21 13 两个质数的和是 2001 这两个质数和积是 14 45 与某数的最大公因数是 15 最小公倍数是 180 某数是 15 已知两个互质数的最小公倍数是 153 这两个互质数是 和 二 解决问题 1 有两根绳子 第一根长 18 米 第二根长 24 米 要把它们剪成同样长短的跳绳 而且不能有剩余 每根跳绳最长多少米 一共可剪成几根跳绳 2 一块长方形木板长 20 分米 宽 16 分米 要锯成相同的正方形木板 要求正方 形木板的面积尽量大 而且原来木板没有剩余 可以锯成多少块 每块正方形木板 的面积是多少平方分米 3 汽车站有开住甲 乙 丙三地的汽车 到甲地的汽车每隔 15 分钟开出一辆 到 乙地的汽车每隔 27 分钟开出一辆 到丙地的汽车每隔 36 分钟开出一辆 三路汽车 在同一时刻发车以后 至少需要经过多少时间 才能又在同一时刻发车 三 星级挑战 1 有一行数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 从第三个数开始 每 个数都是前两个数的和 在前 100 个数中 偶数有多少个 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业6 2 有一堆苹果 如果 3 个 3 个的数 最后余 2 个 如果 5 个 5 个的数 最后 余 4 个 如果 7 个 7 个的数 最后余 6 个 这堆苹果最少有多少个 第第 3 讲讲 简便运算 简便运算 1 一 夯实基础 所谓简算 就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧 来解决一 些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题 简便运算中常用的技巧有 拆 与 凑 拆是指把一个数拆成的两部分中含有一 个整十 整百 整千或者有利于简算的数 凑是指把几个数凑成整十 整百 整 千 的数 或者把题目中的数进行适当的变化 运用运算定律或性质再进行简算 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质 乘法结合律 a b c a b c a c b 乘法分配律 a b c a b a c a b c a b a c 二 典型例题 例 1 1 9999 7778 3333 6666 2 765 64 0 5 2 5 0 125 分析 一 通过观察发现这道题中 9999 是 3333 的 3 倍 因此我们可以把 3333 和 6666 分解后重组 即 3333 3 2222 9999 2222 这样再利用乘法分配律进 行简算 解 一 原式 9999 7778 3333 3 2222 9999 7778 9999 2222 7778 2222 9999 分析 二 我们知道 0 5 2 2 5 4 0 125 8 均可得到整数或整十数 从而 使问题得以简化 故可将 64 分解成 2 4 8 再运用乘法交换律 结合律等进行计 算 解 二 原式 765 2 4 8 0 5 2 5 0 125 765 2 0 5 4 2 5 8 0 125 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业7 765 1 10 1 7650 例 2 399 6 9 1998 0 8 分析 这道题我们仔细观察两个积的因数之间的关系 可以发现减数的因数 1998 是被减数因数 399 6 的 5 倍 因此我们根据积不变的规律将 399 6 9 改写成 399 6 5 9 5 即 1998 1 8 这样再根据乘法分配律进行简算 解 原式 399 6 5 9 5 1998 0 8 1998 1 8 1998 0 8 1998 1 8 0 8 1998 1 1998 例 3 分析 这道题通过观察题中数的特点 可以看出被减数中的两个因数分别比减 数中的两个因数少 1 和多 1 即比少 1 比多 1 我们可以将被减数改写成 1 把减数改写成 1 再利用乘法分配律进行简算 解 原式 1 1 三 熟能生巧 1 1 888 667 444 666 2 9999 1222 3333 666 2 1 400 6 7 2003 0 4 2 239 7 2 956 8 2 3 1 1989 1999 1988 2000 2 8642 2468 8644 2466 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业8 四 拓展演练 1 1234 4326 2468 2837 2 275 12 1650 23 3300 7 5 3 六 星级挑战 1 31 5 32 5 33 5 34 5 2 3333 4 5555 5 7777 7 3 99 99 99 99 99 99 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业9 4 48 67 67 3 2 486 7 973 4 0 05 第第 4 讲讲 简便运算 简便运算 2 一 夯实基础 在进行分数的运算时 可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩 小若干倍 从而简化计算过程 还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列 计算简便 同学们在进行分数简便运算式 要灵活 巧妙的运用简算方法 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质 乘法结合律 a b c a b c a c b 乘法分配律 a b c a b a c a b c a b a c 拆分 nn 1 1 1 1 nn 1 nkn a k a kn 1 n 1 三 熟能生巧 2 1 2 1 186548362 361548362 9 8 7 3 11 6 11 3 7 5 9 4 四 拓展演练 1 1 123 41 2 2 84 3 1 1 42 1 13 1 39 1 4 3 5 3 2 1 5 4 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业10 2 1 2 96 32 143 1 3805841992 1991584204 25 24 36 73 63 25 8 12 73 21 3 31 1 53 2 75 2 9997 2 10199 2 3 42 1 64 2 86 2 5048 2 4 1 3 1 12 7 20 9 30 11 42 13 56 15 第第 5 讲讲 简便运算 简便运算 3 一 夯实基础 所谓简算 就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算技巧 来解决一 些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题 简便运算中常用的技巧有 拆 与 凑 拆是指把一个数拆成的两部分中含有一 个整十 整百 整千或者有利于简算的数 凑是指把几个数凑成整十 整百 整 千 的数 或者把题目中的数进行适当的变化 运用运算定律或性质再进行简算 让我们先回忆一下基本的运算法则和性质 等差数列的一些公式 项数 末项 首项 公差 1 某项 首项 公差 项数 1 等差数列的求和公式 首项 末项 项数 2 二 典型例题 例 1 2 4 6 8 198 200 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业11 分析 这是一个公差为 2 的等差数列 数列的首项是 2 末项是 200 这个数 列的项数 末项 首项 公差 1 200 2 2 1 100 项 如何求和呢 我们 先用求平均数的方法 首 末两项的平均数 2 200 2 101 第二项和倒数第 二项的平均数也是 4 98 2 101 依次求平均数 共算了 100 次 把这 100 个平均数加起来就是数列的和 即和 首项 末项 2 项数 解 原式 2 200 2 100 10100 例 2 0 9 9 9 99 9 999 9 9999 9 99999 9 分析 通过观察我们可以发现题目中的 6 个加数都分别接近 1 10 100 1000 10000 这 6 个整数 都分别少 0 1 因此我们可以把这 6 个加 数分别看成 1 10 100 1000 10000 的整数 再从总和中减去 6 个 0 1 使计 算简便 解 原式 1 10 100 1000 10000 0 1 6 0 6 4 三 熟能生巧 1 1 3 5 7 65 67 2 9 99 999 9999 99999 3 1120 1 1221 0 四 拓展演练 1 1 0 11 0 13 0 15 0 97 0 99 2 8 9 0 2 8 8 0 2 8 7 0 2 8 1 0 2 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业12 2 1 98 998 9998 99998 2 3 9 0 39 0 039 0 0039 0 00039 3 1 1234 1 4321 4 2 2002 3003 六 星级挑战 1 1 438 9 5 2 47 26 5 3 574 62 25 4 14 758 0 25 2 44332 443 32 88664 886 64 3 1 8 2 8 3 8 50 8 4 2002 1999 1996 1993 1990 1987 16 13 10 7 4 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业13 第第 6 讲讲 简易方程简易方程 一 夯实基础 含有未知数的等式叫做方程 求方程的解的过程叫做解方程 解方程是列方 程解应用题的基础 解方程通常采用以下策略 对方程进行观察 能够先计算的部分先进行计算或合并 使其化简 把含有未知数的式子看做一个数 根据加 减 乘 除各部分的关系进行 化简 转化成熟悉的方程 再求方程的解 将方程的两边同时加上 或减去 一个适当的数 同时乘上 或除以 一 个适当的数 使方程简化 从而求方程的解 重视检验 确保所求的未知数的值是方程的解 二 典型例题 例 1 解方程 4 x 2 15 7x 20 分析 先运用乘法分配律将其展开 再运用等式的基本性质合并求解 4 x 2 15 7x 20 解 4x 8 15 7x 20 3x 27 x 9 经检验 x 9 是原方程的解 例 2 解方程 x 2 3x 10 5 分析 根据等式的基本性质 将方程两边同乘 2 和 5 的最小公倍数 使方程转 化为 x 5 3x 10 2 再求解 x 2 3x 10 5 解 x 2 10 3x 10 5 10 x 5 3x 10 2 5x 6x 20 x 20 0 x 20 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业14 经检验 x 20 是原方程的解 例 3 解方程 360 x 360 1 5x 6 分析 根据等式性质 将方程左右两边同乘 3x 使方程转化后再求解 360 x 360 1 5x 6 解 1080 720 18x 18x 360 x 20 经检验 x 20 是原方程的解 三 熟能生巧 1 12 2 x 1 4 5x 19 3 x 4 15 2 2x 4 18 28 5 3x 5 7 x 8 3 7 x 3 3 x 5 4 x x 3 2x 30 180 四 拓展演练 1 x 10 6 8 4 5x 3 2 5 1 2 2 x x x 7 4 x 9 2 1 2 5 6 4 52 3 5 3 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业15 3 18 3 20 x 5 6 4 2 x15 0 8 五 举一反三 六 星级挑战 1 解方程 13x 4 2x 5 17 x 2 4 2x 1 2 解方程 17 2 3x 5 12 x 8 1 7x 3 解方程 2 3 1 x 5 3 x 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业16 4 解方程 x 5 3 x 5 3 1 3 2 第第 7 讲讲 定义新运算定义新运算 一 夯实基础 同学们 我们都知道四则运算包括加 减 乘 除 我们接触到的运算符号也 无外乎 而在升学考试中 经常会出现一些崭新的题目 这种题目中又出现了新的运算符号 如 并赋予它们一种新的运算 方法 这种运算符号本身并不重要 重要的是在题目中 各种运算符号规定了某种 运算以及运算顺序 这种运算非常有趣 同学们 你们想了解吗 这一节我们就来 学习定义新运算 二 典型例题 例 1 1 a b a b 求 95 的值 2 定义新运算 m n m n 2 5 求 60 4 0 4 的值是多少 351 0 3 的值是多少 分析 1 本题中的新运算符号 表示的是求 前后两个数的和 也就是求 9 与 5 的和是多少 解 1 9 5 9 5 14 分析 2 本题中新运算 的含义是求 前后两个数的商的 2 5 倍 是多少 解 2 60 4 0 4 60 4 0 4 2 5 151 2 5 377 5 351 0 3 351 0 3 2 5 1170 2 5 2925 例 2 对于任意两个自然数 定义一种新运算 a b a b 2 求 34 52 48 值 分析 新运算 的含义表示 求 前后两数差的一半 本题在计算时 要注意运算顺序 先计算括号内的 52 48 再用 34 与 52 48 的结果在进行 一次这样的运算 解 52 48 52 48 2 4 2 2 因此 34 52 48 34 2 34 2 2 32 2 16 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业17 例 3 定义两种新运算 和 对于任意两个 数 x y 规定 x y x 5y x y x y 2 求 5 6 3 5 2 5 的值 分析 本题包含两种新运算 第一种新运算 表示求 前面的数与后 面数的 5 倍的和是多少 第二种运算 表示 前面的数减去 后面数的 差的 2 倍是多少 所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和 解 5 6 5 5 6 35 3 5 2 5 3 5 2 5 2 2 5 6 3 5 2 5 35 2 37 三 熟能生巧 1 1 a b a b 求 45 2 38 9 的值 2 x y 是两个自然数 规定 x y x y 10 求 3 8 的值 2 定义一种新运算 规定 A B 2 A B 求 0 6 5 4 5 的值 3 定义两种新运算 和 已知 a b a 2 4 1 b a b 8 3 a b 求 6 1 4 2 的值 四 拓展演练 1 1 定义一种新运算 规定 A B 4A 3B 5 求 1 6 9 2 9 6 2 定义一种新运算 规定 a b 3x y 2 x 求 10 15 15 10 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业18 2 1 定义新运算 规定 m n m n 2 那么 8 12 2 与 12 8 2 是否相等 如果不相等 哪个大 2 定义一种新运算 已知 ab 5a 10b 求 37 58 的值 3 定义两种运算 和 对于任意两个整数 a b ab a b 1 a b a b 1 计算 4 68 35 五 举一反三 六 星级挑战 1 定义新运算 若 2 3 2 3 4 5 4 5 6 7 8 求 2 3 2 的值 2 设设 a b 表示两个数如果表示两个数如果 a b 规定 规定 a b b 3 a 2 b 如果 如果 a b 规定 规定 a ba b a b 3 求 求 9 69 6 8 88 8 2 7 7 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业19 3 设 设 a b 表示两个数 表示两个数 a b a b a b 已知 已知 a 7 37 求 求 a 的值 的值 4 设 a b 表示两个整数 规定 a b a a 1 a 2 a 3 a b 1 求 1 100 的值 第第 8 讲讲 巧求面积 巧求面积 1 一 夯实基础 小学数学教材中学习了长方形 正方形 平行四边形 三角形 梯形 圆等基 本图形面积的计算方法 常用的面积公式如下 正方形边长 边长S a2 长方形长 宽S ab 平行四边形底 高S ah 三角形底 高 2S ah 2 梯形 上底 下底 高 2S a b h 2 在实际应用过程中 我们除了掌握切分 割补 做差等一些基本的几何解题 思想外 还要掌握等量代换 妙用同底等一些有难度的解题方法 二 典型例题 例 1 两个相同的直角三角形两个相同的直角三角形如图如图所示 单位 厘米 重叠在一起 求阴影部分的所示 单位 厘米 重叠在一起 求阴影部分的 面积 面积 分析 阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形 然而 它的上底与下底都不知道 因而不能直接求出它的面积 因为三角形 ABC 与三角形 DEF 完全相同 都减去三角形 DOC 后 根据差不变性质 差应相等 即阴影部分与直角 梯形 OEFC 面积相等 所以求阴影部分的面积就转化为求 直角梯形 OEFC 的面积 解 直角梯形 OEFC 的上底为 10 3 7 厘米 直角梯形 OEFC 的面积为 7 10 2 2 17 平方厘米 答 阴影部分的面积是 17 平方厘米 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业20 例 2 如图 平行四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米 直角三角形 ECB 的直角边 EC 长 8 厘米 已知阴影部分的总面积比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米 求平 行四边形 ABCD 的面积 分析 因为阴影部分比三角形 EFG 的面积大 10 平方 厘米 都加上梯形 FGCB 后 根据差不变性质 所得的两个 新图形的面积差不变 即平行四边行 ABCD 比直角三角形 ECB 的面积大 10 平方厘米 解 三角形 EFG 的面积为 10 8 2 40 平方厘米 平行四边形 ABCD 的面积为 40 10 50 平方厘米 答 平行四边形的面积为 50 平方厘米 例 3 如图 在三角形 ABC 中 BC 8 厘米 AD 6 厘米 E F 分别为 AB 和 AC 的中点 那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米 分析 由 E F 分别为 AB 和 AC 的中点 可知 AF CF AE BE 所以三 角形 ABF 和三角形 CBF 是同底等高的三角形 面积相等 三角形 AEF 和三角形 BEF 面积也相等 故有 S三角形 EBF S三角形 ABF S三角形 ABF S三角形 ABC 2 1 2 1 解 S三角形 ABC 8 6 2 24 平方厘米 S三角形 ABF S三角形 ABC 24 12 平方厘 2 1 2 1 米 S三角形 EBF S三角形 ABF 12 6 平方厘 2 1 2 1 米 答 三角形 EBF 的面积是 6 平方厘米 三 熟能生巧 1 如图 两个相同的直角梯形重叠在一起 求阴影部分的面积 单位 厘米 2 如图 正方形边长是10 厘米 长方形的长为8 厘米 宽为5 厘米 ABCDEFGH 阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业21 3 如图 在三角形 ABC 中 DC 2BD CE 3AE 阴影部分的面积是 20 平方厘米 求三角形 ABC 的面积 四 拓展演练 1 如图 在长方形内画了一些直线 已知边上有三块面积分别是 13 35 49 那么 图中阴影部分的面积是多少 单位 平方厘米 2 如图 梯形的下底为8 厘米 高为4 厘米 阴影部分的面积是多少平方厘米 3 如图 长方形ABCD 中 AB 24cm BC 26cm E 是 BC 的中点 F G 分别是 AB CD 的四等分点 H 为 AD 上任意一点 求阴影部分面积 五 星级挑战 1 如图 梯形 ABCD 中 AD 7 厘米 BC 12 厘米 梯形高 8 厘米 求三角形 BOC 的面积比三角形 AOD 的面积大多少平方厘米 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业22 2 有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形 已知等腰直角三角形 的面积是 36 平方厘米 两个正方形的面积分别是多少 第第 9 讲讲 组合图形面积 组合图形面积 2 一 夯实基础 不规则图形常由圆 扇形 弓形与三角形 正方形 长方形等规则图形组合而 成的 计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割 拼补 旋转 使之 转化为规则图形的和 差关系 有时要和 容斥原理 合并使用才能解决 计算圆的周长与面积的主要公式有 1 圆的周长 直径 2 半径 即 C d 2 r 2 中心角为 n 的弧的长度 n 半径 180 即 l 180 n r 3 圆的面积 半径 2 即 S r2 4 中心角为 n 的扇形的面积 n 半径 2 360 即 S l lr 360 n 2 r 2 1 二 典型例题 例 1 如下图 1 在一个边长为 4cm 的正方形内 以正方形的三条边为直径 向内作三个半圆 求阴影部分的面积 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业23 1 2 3 4 分析 一 把上图靠下边的半圆换成 面积与它相等 右边的半圆 得到 图 2 这时 右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样 因此它们的 面积相等 所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半 分析 二 将上半个 弧边三角形 从中间切开 分别补贴在下半圆的上侧 边上 如图 3 所示 阴影部分的面积是正方形面积的一半 分析 三 将下面的半圆从中间切开 分别贴补在上面弧边三角形的两侧 如图 4 所示 阴影部分的面积是正方形的一半 解 4 4 2 16 平方厘米 例 2 如下图 正方形 ABCD 的边长为 4 厘米 分别以 B D 为圆心以 4 厘米 为半径在正方形内画圆 求阴影部分面积 分析 阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积 解 S阴影 S扇形 ACB S扇形 ACD S正方形 ABCD AB2 2 AB2 4 42 2 42 4 16 9 12 平方厘米 2 214 3 例 3 如下图 两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米 求阴影部分的面积 分析 阴影部分的面积 等于底为 16 高为 6 的直角三角形面积与图中 的面积之差 而图中 的面积等于边长 为 6 的正方形面积减去的以 6 为半径的圆的面积 1 4 解 S阴影 S三角形 ACD S正方形 BCDE S扇形 EBD 2 11 106 6 6 66 24 40 26 平方厘米 A B D C I 6 10 G F E D CBA 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业24 三 熟能生巧 1 如下图 圆的直径为 8cm 求阴影部分的面积 2 如图 三角形 ABC 是等腰直角三角形 AC BC 10cm 分别以 A B 为圆心 以 AC BC 为半 径在三角形 ABC 内画弧 求阴影部分的面积 3 如下图 直角三角形 ABC 中 AB 是圆的直径 且 AB 20 厘米 如果阴影 1 的面积比阴影 2 的面积 大 7 平方厘米 求 BC 长 四 拓展演练 1 如下图 三个同心圆的半径分别是 2 6 10 求图中阴 影部分面积占大圆面积的百分之几 2 如下图 大正方形的边长为 6 厘米 小正方形的边长为 4 厘米 求阴影部分的 面积 2 1 C B A 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业25 3 如图 已知直角梯形的上底 下底与高之比是 1 2 1 和为 24 厘米 图 中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少 五 星级挑战 1 如下图 将直径 AB 为 3 厘米的半圆绕 A 逆时针旋转 60 此时 AB 到达 AC 的位置 求阴影部分的面积 取 3 14 2 求图中的阴影部分的面积 单位 厘米 第第 10 讲讲 长方体的表面积和体积长方体的表面积和体积 一 夯实基础 长方体和正方体六个面的总面积 叫做它们的表面积 长方体的六个面分为上 下 左右 前后三组 每组对面的大小 形状完全相同 正方体的六个面是大小相 等的六个正方形 长方体的表面积 长 宽 宽 高 长 高 2 正方体的表面积 棱长 棱长 6 物体占空间的大小 叫做物体的体积 容积是指所能容纳物体的体积 一个物 体的容积计算方法与体积计算方法相同 不过体积是从物体外面测量出长度再进行 计算 容积是从物体内部测量出长度再进行计算 通常物体的体积要大于容积 当 厚度忽略不计时 容积就等于体积 长方体体积 长 宽 高 正方体体积 棱长 棱长 棱长 二 典型例题 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业26 例 1 一块长方形铁皮长 24 厘米 四角剪去边长 3 厘米的正方形后 然后通过折 叠 焊接 做成一个无盖的长方体铁盒 铁盒的容积是 486 立方厘米 求原来长方 形铁皮的面积 分析 要求原来长方形铁皮的面积 关键要能求出原 长方形铁皮的宽 根据题意 画出示意图 结合空间相像 可知做成的长方体铁盒的长是 24 3 2 18 厘米 高就 是剪下的小正方形的边长 也就是 3 厘米 又知铁盒的容 积是 486 厘米 这样就可以算出铁盒的宽 铁盒宽并不是 原来长方形铁皮的宽 再加上 3 2 6 厘米 才是原铁皮的宽 解 长方体铁盒的长 24 3 2 18 厘米 长方体铁盒的宽 486 3 18 9 厘米 长方形铁皮的宽 9 3 2 15 厘米 长方形铁皮的面积 24 15 360 平方厘米 答 原长方形铁皮的面积是 360 平方厘米 例 2 如右图 用 3 条丝带捆扎一个礼盒 第一条丝带长 235cm 第二条丝带长 445cm 第三条丝带长 515cm 每条丝带的接头处的长度均为 5cm 求礼盒的体积 分析 从图中可以看出 在捆扎礼盒的丝带 中最长的一根去掉接头的 5cm 剩余部分的长度 等于长方体长与宽和的 2 倍 解 长 宽 515 5 2 255 cm 长 高 445 5 2 220 cm 宽 高 235 5 2 115 cm 长 宽 高 255 220 115 2 295 cm 长 295 115 180 cm 宽 295 220 75 cm 高 295 255 40 cm 礼盒体积 180 75 40 cm3 540 dm3 答 这个礼盒的体积是 540 立方分米 例 3 如图 1 一个密封的长方体玻璃缸长 15 厘米 水深 3 厘米 如果把玻璃 缸按图 2 放置 里面的水深是多少厘米 玻璃的厚度忽略不计 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业27 分析 长方体玻璃缸中的水的体积没有变化 长也没有变化 只是宽和水深相 应的变化了 解 设容器侧放后水深是 x 厘米 15 8 3 15 4 x x 6 答 如果把玻璃缸按图 2 放置 里面的水深是 6 厘米 三 熟能生巧 1 在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体 下图 求这 个立体图形的表面积 2 一个密闭的长方体水箱 长 10 分米 宽 8 分米 高 6 分米 内装 3 分米深的水 若将长方体的长边竖立起来 水深会是多少分米 3 右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的几何体 求此几何体的表面积是 多少 四 拓展演练 1 如图所示是一个棱长 12 厘米的正方体 从前住后 有一个 十 字型的洞 十 字最短边长都是 2 厘米 求它的表面积和体积 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业28 2 如图 在一块平坦的水泥地上 用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池 墙厚为 10 厘米 底面利用原有的水泥地 这个水泥池的体积是多少 3 图中的一些积木是由 16 块棱长为 2 厘米的正方体堆成的 它的表面积是多少平 方厘米 五 星级挑战 1 一个长方形水箱 从里面量长 40 厘米 宽 30 厘米 深 35 厘米 原来水深 10 厘米 放进一个棱长 20 厘米的正方形铁块后 铁块的顶面仍然高于水面 这时 水面高多少厘米 2 有一个棱长是 5 厘米的正方体木块 它的表面涂上红油漆 将这个大正方 体木块锯成棱长是 1 厘米的小正方体 散乱为一堆 在这些小正方体木块中 三面 涂红漆的有几块 两面涂红漆 一面涂红漆的各有几块 没有涂上红漆的有几块 第第 11 讲讲 圆柱体的表面积圆柱体的表面积 一 夯实基础 圆柱体是常见的立体图形 它的表面是由一个侧面 展开是长方形 和两个相 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业29 同的圆形底面组成 圆柱从中间竖切成两个半圆柱后 切面是一个长方形 从中间 横切成两个圆柱后 切面是一个圆形 圆柱的表面积 侧面积 两个底面积 即 S表 S侧 2S底 S表 2 rh 2 r2 二 典型例题 例 1 把一段长 20 分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块 表面积增加了 320 平方分米 原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米 分析 按这种方法 截面是相同的两个长方形 长方形的长是圆柱的高 宽是 圆柱的底面直径 解 长方形面积是 320 2 160 平方分米 底面直径 160 20 8 分米 侧面积 3 14 8 20 502 4 平方分米 底面积 3 14 8 2 2 50 24 平方分米 表面积 502 4 50 24 552 64 平方分米 答 原来这段圆柱形圆木的表面积是 552 64 平方分米 例 2 有一个圆柱体的零件 高 10 厘米 底面直径是 6 厘米 零件的一端有一个 圆柱形的直孔 如下图 圆孔的直径是 4 厘米 孔深 5 厘米 如果将这个零件接触 空气部分涂上防锈漆 一共需涂多少平方厘米 分析 解题时 既要注意圆柱体的外表面积 又要注意圆孔内的表面 同时还 要注意到零件的底面是圆环 由于打孔的深度与柱体的长度不相同 所以在孔内还 要有一个小圆的底面需要涂油漆 这一点不能忽略 但是 我们可以把小圆的底面 与圆环拼成一个圆 即原圆柱体的底面 解 3 14 6 2 2 2 3 14 6 10 3 14 4 5 3 14 18 60 20 3 14 98 307 72 平方厘米 答 涂油漆面积是 307 72 平方厘米 例 3 在一棱长为 4 厘米的正方体的各个面的中心位置上 各打一个直径为 2 厘米 深为 1 厘米的圆柱形的孔 求打孔后它的表面积是多少 分析 因为正方体的棱长为 4 厘米 而孔深只有 1 厘米 所以正方体没有被打 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业30 透 这一来打孔后所得几何体的表面积 等于原来正方体的表面积 再加上六个完 全一样的圆柱的侧面积 解 4 4 6 2 1 6 133 68 平方厘米 答 打孔后它的表面积是 133 68 平方厘米 三 熟能生巧 1 把一个圆柱体的侧面展开 得到一个边长 6 28 分米的正方形 这个圆柱体的底 面周长是多少分米 底面积是多少平方分米 2 一个圆柱体的零件 高 20 厘米 底面直径是 14 厘米 零件的上面有一个圆柱 形的圆孔 圆孔的直径是 8 厘米 孔深 12 厘米 见右图 如果将这个零件接触空 气的部分涂上防锈漆 那么一共要涂多少平方厘米 3 有一个长方体木块 高 20 厘米 底面是个长方形 长 30 厘米 宽 15 厘米 上 面有一个底面直径和高都是 10 厘米的圆柱形的孔 它的表面积是多少平方厘米 四 拓展演练 1 将高都是 1 米 底面半径分别是 1 5 米 1 米和 0 5 米的三个圆柱体组成一个物 体 求它的表面积 2 右图是一个零件的直观图 下部是一个棱长为 40cm 的正方体 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业31 上部是圆柱体的一半 求这个零件的表面积 3 右图是一顶帽子 帽顶部分是圆柱形 用黑布做 帽沿部分是一个圆环 用白 布做 如果帽顶的半径 高与帽沿的宽都是 a 厘米 那么哪种颜色的布用得多 五 星级挑战 1 一根圆柱形钢材 如图沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体 已知一个剖 面的面积是 960 平方厘米 求原来钢材的侧面积 2 有一张长方形铁皮 如图剪下阴影部分制成圆柱体 求这个圆柱体的表面 积 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业32 第第 12 讲讲 圆柱和圆锥的体积圆柱和圆锥的体积 一 夯实基础 本节主要是对圆柱和圆锥的认识 圆柱的表面积以及圆柱 圆锥体积计算 圆柱的特征 圆柱有一个侧面 展开是长方形 和两个底面 完全相同的圆 圆柱有无数条高 两个底面之间的距离 圆柱的侧面积 底面周长 高 S侧 ch 2 rh 圆柱的表面积 圆柱的侧面积 两个底面面积 圆柱的体积 底面积 高 即 V sh r2h 圆锥的特征 圆锥的底面是一个圆 侧面 展开是扇形 圆锥的高 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高 一个圆锥只有一条 高 圆锥的体积 底面积 高 即 V sh r2h 3 1 3 1 3 1 圆锥的表面积 扇形面积 底圆面积 二 典型例题 例 1 把高 10 厘米的圆柱体按下图切开 拼成近似的长方体 表面积就增加了 60 平方厘米 圆柱的体积是多少立方厘米 分析 把圆柱体按上图切开并拼成近似长方体 表面积比原来增加了左 右两 个侧面 长方形 长方形的长是底面半径 宽是圆柱的高 解 60 2 30 平方厘米 30 10 3 厘米 3 14 32 10 282 6 立方厘米 答 圆柱的体积是 282 6 立方厘米 例 2 把一块长 18 84 厘米 宽 5 厘米 高 4 厘米的长方体钢锭和一块底面直径是 8 厘米 高 25 厘米的圆柱形钢块 熔铸成一个底面半径为 8 厘米的圆锥形钢块 这个圆锥形钢块的高是多少厘米 分析 要求圆锥的高 必须知道圆锥的体积和底面积 而题中的圆锥是两个不 同形体的几何体熔铸而成的 所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和 解 设圆锥的高为厘米 3 14 82 18 84 5 4 3 14 8 2 2 25 3 1 24 375 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业33 答 这个圆锥形钢块高是 24 375 厘米 例 3 下图是一块长方形铁皮 利用图中的阴影部分 刚好能做成一个油桶 接头 处忽略不计 求这个油桶的容积 分析 图中的两个圆是圆柱的底面 长方形是圆 柱的侧面 因为刚好做成一个圆柱形油桶 所以长方 形的长相当于圆柱的底面周长 也就是说 以底面直 径为 1倍 长方形的长应是直径的 倍 从图中可 以看出长方形的宽是直径的 2 倍 解 设底面直径为 厘米 3 14 4 2 2 4 2 100 48 立方厘米 100 48 毫升 答 这个油桶的容积是 100 48 毫升 三 熟能生巧 1 把一个底面直径是 10 厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块 表面积增 加了 100 平方厘米 求这个圆柱体的体积 2 求空心机器零件的体积 单位 厘米 3 有一张长方体铁皮 下图 剪下图中两个圆及一块长方形 正好可以做成一个 圆柱体 这个圆柱体的底面半径为 10 厘米 那么圆柱的体积是多少立方厘米 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业34 四 拓展演练 1 一种儿童玩具 陀螺 如下图 上面是圆柱体 下面是圆锥体 经过测试 只有当圆柱直径 3 厘米 高 4 厘米 圆锥的高是圆柱高的 时 才能旋转时稳又快 试问这个陀螺的体积是多大 保留整立方 3 4 厘米 2 一个圆柱形水桶 若将高改为原来的一半 底面直径为原来的 2 倍 可装水 40 千克 那么原来的水桶可装水多少千克 3 如下图 用一张长 82 8 厘米的铁皮 剪下一个最大的圆做圆柱的底面 剩下的 部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶 算一算这个铁皮水桶的容积是多少 铁皮厚度不计 五 星级挑战 1 一个胶水瓶 如图 它的瓶身呈圆柱形 不 包括瓶颈 容积为 32 4 立方厘米 当瓶子正放时 瓶内胶水液面高为 8 厘米 瓶子倒放时 空余部分高为 2 厘米 请你算一算 瓶内 胶水的体积是多少立方厘米 2 有一块棱长分别为 6dm 8dm 10dm 的长方 体木块 把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块 求 新航标教育 清溪分 校 成功源于专业35 这个圆锥体木块的体积 第第 13 讲讲 画图法解应用题画图法解应用题 一 夯实基础 在解答一些应用题时 用作图法可以把题目的数量关系揭示出来 使题意形象 具体 一目了然 从而有助于快速找到解题的途径 作图法解题可以画线段图 也 可以画示意图 对解答条件隐蔽 复杂疑难应用题 能起到化难为易的作用 例如在解答和差 和倍和差倍三类问题时 都可以用画图法表示 简图如下 1 和差问题 2 和倍问题 3 差倍问题 二 典型例题 例1 哥弟俩共有邮票哥弟俩共有邮票70张 如果哥哥给弟弟张 如果哥哥给弟弟4张邮票 这时哥哥还比弟弟多张邮票 这时哥哥还比弟弟多2张 张 哥哥和弟弟原来各有邮票多少张 哥哥和弟弟原来各有邮票多少张 分析 由已知条件 哥哥给弟弟4 张后 还比弟弟多2 张 画图如下 可知哥 哥的邮票比弟弟多4 2 2 10 张 解 弟弟有邮票 70 10 2 30 张 哥哥有邮票 30 10 40 张 答 弟弟有邮票 30 张 哥哥有邮票 40 张 例 2 果园里有桃树 梨树 苹果树共果园里有桃树 梨树 苹果树共 146 棵 桃树比梨树少棵 桃树比梨树少 7 棵 苹果树比桃树棵 苹果树比桃树 多多 4 棵 三种树各有多少棵 棵 三