二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案 1 已知抛物线的顶点为 P 4 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 25 2 其中 B 点坐标为 1 0 1 求这条抛物线的函数关系式 2 若抛物线的对称轴交 x 轴于点 D 则在线段 AC 上是否存在这样的点 Q 使得 ADQ 为等腰三角形 若存在 请求出符合条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 y x2 4x 存在点 Q1 1 4 Q2 2 9 Q3 析析 1 2 9 2 55 13 2 5 4 试题分析 1 根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式 y a x 4 2 然后把点 B 的 25 2 坐标代入解析式求出 a 的值 即可得解 2 先根据顶点坐标求出点 D 的坐标 再根据抛物线解析式求出点 A C 的坐标 从而得 到 OA OC AD 的长度 根据勾股定理列式求出 AC 的长度 然后根据锐角三角形函数求出 OAC 的正弦值与余弦值 再分 AD Q1D 时 过 Q1作 Q1E1 x 轴于点 E1 根据等腰三角形 三线合一的性质求出 AQ1 再利用 OAC 的正弦求出 Q1E1的长度 根据 OAC 的余弦求出 AE1的长度 然后求出 OE1 从而得到点 Q1的坐标 AD AQ2时 过 Q2作 Q2E2 x 轴于点 E2 利用 OAC 的正弦求出 Q2E2的长度 根据 OAC 的余弦求出 AE2的长度 然后求出 OE2 从而得到点 Q2的坐标 AQ3 DQ3时 过 Q3作 Q3E3 x 轴于点 E3 根据等腰三角形三 线合一的性质求出 AE3的长度 然后求出 OE3 再由相似三角形对应边成比例列式求出 Q3E3 的长度 从而得到点 Q3的坐标 试题解析 1 抛物线顶点坐标为 4 25 2 设抛物线解析式为 y a x 4 2 25 2 抛物线过点 B 1 0 a 1 4 2 0 解得 a 25 2 所以 抛物线解析式为 y x 4 2 即 y x2 4x 25 2 2 存在点 Q1 1 4 Q2 2 9 Q3 理由如下 抛物线顶点坐标为 4 25 2 点 D 的坐标为 4 0 令 x 0 则 y 令 y 0 则x2 4x 0 整理得 x2 8x 9 0 解得 x1 1 x2 9 点 A 9 0 C 0 OA 9 OC AD 4 9 4 9 5 在 Rt AOC 中 根据勾股定理 AC sin OAC cos OAC AD Q1D 时 过 Q1作 Q1E1 x 轴于点 E1 根据等腰三角形三线合一的性质 AQ1 2 ADcos OAC 2 5 Q1E1 AQ1 sin OAC 4 AE1 AQ1 cos OAC 8 所以 OE1 OA AE1 9 8 1 所以 点 Q1的坐标为 1 4 AD AQ2时 过 Q2作 Q2E2 x 轴于点 E2 Q2E2 AQ2 sin OAC 5 AE2 AQ2 cos OAC 5 2 所以 OE2 OA AE2 9 2 所以 点 Q2的坐标为 2 9 AQ3 DQ3时 过 Q3作 Q3E3 x 轴于点 E3 则 AE3 AD 5 所以 OE3 9 Q3E3 x 轴 OC OA AQ3E3 ACO 即 解得 Q3E3 所以 点 Q3的坐标为 综上所述 在线段 AC 上存在点 Q1 1 4 Q2 2 9 Q3 使得 ADQ 为等腰三角形 2 如图 直线 y x 3 与 x 轴 y 轴分别交于 B C 两点 抛物线 y x2 bx c 经过 B C 两点 点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点 1 求 B C 两点坐标 2 求此抛物线的函数解析式 3 在抛物线上是否存在点 P 使 S PAB S CAB 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 请说明理由 1 B 3 0 C 0 3 2 此抛物线的解析式为 y x2 2x 3 3 存在这样的 P 点 其坐 标为 P 0 3 2 3 1 3 或 1 3 试题分析 1 已知了过 B C 两点的直线的解析式 当 x 0 时可求出 C 点的坐标 当 y 0 是 可求出 B 点的坐标 2 由于抛物线的解析式中只有两个待定系数 因此将 B C 两点的坐标代入抛物线中即可求 出抛物线的解析式 3 根据 2 的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标 由此可求出 AB 的长 由于 S PAB S CAB 而 AB 边为定值 由此可求出 P 点的纵坐标 然后将 P 点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求 出 P 点的坐标 试题解析 1 直线 y x 3 经过 B C 当 x 0 时 y 3 当 y 0 时 x 3 B 3 0 C 0 3 2 抛物线 y x2 bx c 经过 B C b 2 c 3 此抛物线的解析式为 y x2 2x 3 3 当 y 0 时 x2 2x 3 0 x1 1 x2 3 A 1 0 设 P x y S PAB S CAB 4 y 4 3 y 3 或 y 3 当 y 3 时 3 x2 2x 3 x1 0 x2 2 P 0 3 或 2 3 当 y 3 时 3 x2 2x 3 x1 1 x2 1 P 1 3 或 1 3 因此存在这样的 P 点 其坐标为 P 0 3 2 3 1 3 或 1 3 3 已知 如图 抛物线 y ax2 bx 2 与 x 轴的交点是 A 3 0 B 6 0 与 y 轴 的交点是 C 1 求抛物线的函数表达式 2 设 P x y 0 x 6 是抛物线上的动点 过点 P 作 PQ y 轴交直线 BC 于点 Q 当 x 取何值时 线段 PQ 的长度取得最大值 其最大值是多少 是否存在这样的点 P 使 OAQ 为直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 1 所求抛物线的函数表达式是 y x2 x 2 2 当 x 3 时 线段 PQ 的长度取得最大 值 最大值是 1 3 P 3 0 或 P 或 P 析析试题分析 1 已知了 A B 的坐标 可用待定系数法求出函数的解析式 2 QP 其实就是一次函数与二次函数的差 二次函数的解析式在 1 中已经求出 而一次 函数可根据 B C 的坐标 用待定系数法求出 那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析 式 得出的新的函数就是关于 PQ x 的函数关系式 那么可根据函数的性质求出 PQ 的最大值 以及相对应的 x 的取值 3 分三种情况进行讨论 当 QOA 90 时 Q 与 C 重合 显然不合题意 因此这种情况不成立 当 OAQ 90 时 P 与 A 重合 因此 P 的坐标就是 A 的坐标 当 OQA 90 时 如果设 QP 与 x 轴的交点为 D 那么根据射影定理可得出 DQ2 OD DA 由此可 得出关于 x 的方程即可求出 x 的值 然后将 x 代入二次函数式中即可得出 P 的坐标 试题解析 1 抛物线过 A 3 0 B 6 0 解得 所求抛物线的函数表达式是 y x2 x 2 2 当 x 0 时 y 2 点 C 的坐标为 0 2 设直线 BC 的函数表达式是 y kx b 则有 解得 直线 BC 的函数表达式是 y x 2 0 x 6 点 P Q 的横坐标相同 PQ yQ yP x 2 x2 x 2 x2 x x 3 2 1 当 x 3 时 线段 PQ 的长度取得最大值 最大值是 1 解 当 OAQ 90 时 点 P 与点 A 重合 P 3 0 当 QOA 90 时 点 P 与点 C 重合 x 0 不合题意 当 OQA 90 时 设 PQ 与 x 轴交于点 D ODQ ADQ 90 QAD AQD 90 OQD QAD 又 ODQ QDA 90 ODQ QDA 即 DQ2 OD DA x 2 2 x 3 x 10 x2 39x 36 0 x1 x2 y1 2 2 y2 2 2 P 或 P 所求的点 P 的坐标是 P 3 0 或 P 或 P 4 如图所示 在平面直角坐标系中 抛物线 经过 A 1 0 B 3 0 两点 抛物线与 y 轴交点为 C 其顶点为 D 连接 BD 点 P 是线段 BD 上一个动点 不与 B D 重合 过点 P 作 y 轴的垂线 垂足为 E 连接 BE 1 求抛物线的解析式 并写出顶点 D 的坐标 2 如果 P 点的坐标为 PBE 的面积为 求与的函数关系式 写 出自变量的取值范围 1 D 1 4 2 解析解析试题分析 1 本题需先根据抛物线经过 A 1 0 B 3 0 两点 分别求出 a b 的值 再代入抛物线 即可求出它的解析式 2 本题首先设出 BD 解析式 再把 B D 两点坐标代入求出 k b 的值 得出 BD 解析式 再根据面积公式即可求出最大值 试题解析 1 抛物线 经过 A 1 0 B 3 0 两点 把 1 0 B 3 0 代入抛物线得 抛物线解析式为 顶点 D 的坐标为 1 4 2 设直线 BD 解析式为 把 B D 两点坐标代入 得 解得 5 如图 抛物线与 x 轴相交于 B C 两点 与 y 轴相交于点 A 点 P a 是任意实数 在抛物线上 直线经过 A B 两点 1 求直线 AB 的解析式 2 平行于 y 轴的直线交直线 AB 于点 D 交抛物线于点 E 直线 0 t 4 与直线 AB 相交 F 与抛物线相交于点 G 若 FG DE 3 4 求 t 的值 将抛物线向上平移 m m 0 个单位 当 EO 平分 AED 时 求 m 的值 1 2 1 或 3 解析解析试题分析 1 根据点 P 的坐标 可得出抛物线解析式 然后求出 A B C 的坐标 利用待定系数法求出直线 AB 的解析式 2 根据点 E 2 5 D 2 1 G F 表示出 DE FG 再由 FG DE 3 4 可得出 t 的值 设点 A 0 2 m 则点 E 2 5 m 作 AH DE 垂足为 H 在 Rt AEH 中利用勾 股定理求出 AE 根据 EO 平分 AED 及平行线的性质可推出 AEO AOE AO AE 继而 可得出 m 的值 试题解析 1 P a 是实数 在抛物线上 抛物线的解析式为 当时 即 解得 当 x 0 时 y 2 A 0 2 B 4 0 C 0 将点 A B 的坐标代入 得 解得 故直线 AB 的解析式为 2 点 E 2 5 D 2 1 G F DE 4 FG FG DE 3 4 解得 设点 A 0 2 m 则点 E 2 5 m 作 AH DE 垂足为 H 即 AE EO 平分 AED AEO DEO AO ED DEO AOE AEO AOE AO AE 即 解得 m 6 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 3 0 B 1 0 与 y 轴 交于点 C 若点 P Q 同时从 A 点出发 都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB AC 边运 动 其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 1 求该二次函数的解析式及点 C 的坐标 2 当 P Q 运动 t 秒时 APQ 沿 PQ 翻折 点 A 恰好落在抛物线上 D 点处 请判定 此时四边形 APDQ 的形状并求说明理由 3 当点 P 运动到 B 点时 点 Q 停止运动 这时 在 x 轴上是否存在点 E 使得以 A E Q 为顶点的三角形为等腰三角形 若存在 请求出 E 点坐标 若不存在 请说明理 由 1 y x2 x 4 C 0 4 2 四边形 APDQ 为菱形 3 存在满足条件的点 E 点 E 的坐标为 0 或 0 或 1 0 或 7 0 解析解析试题分析 1 将 A B 点坐标代入函数 y x2 bx c 中 求得 b c 进而可求解析 式及 C 坐标 2 注意到 P Q 运动速度相同 则 APQ 运动时都为等腰三角形 又由 A D 对称 则 AP DP AQ DQ 易得四边形四边都相等 即菱形 3 等腰三角形有三种情况 AE EQ AQ EQ AE AQ 借助垂直平分线 画圆易得 E 大致位置 设边长为 x 表示其他边后利用勾股定理易得 E 坐标 试题解析 1 二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 3 0 B 1 0 解得 y x2 x 4 C 0 4 2 四边形 APDQ 为菱形 理由如下 如图 D 点关于 PQ 与 A 点对称 过点 Q 作 FQ AP 于 F AP AQ t AP DP AQ DQ AP AQ QD DP 四边形 AQDP 为菱形 3 存在 如图 1 过点 Q 作 QD OA 于 D 此时 QD OC A 3 0 B 1 0 C 0 4 O 0 0 AB 4 OA 3 OC 4 AC 5 当点 P 运动到 B 点时 点 Q 停止运动 AB 4 AQ 4 QD OC QD AD 作 AQ 的垂直平分线 交 AO 于 E 此时 AE EQ 即 AEQ 为等腰三角形 设 AE x 则 EQ x DE AD AE x 在 Rt EDQ 中 x 2 2 x2 解得 x OA AE 3 E 0 以 Q 为圆心 AQ 长半径画圆 交 x 轴于 E 此时 QE QA 4 ED AD AE OA AE 3 E 0 当 AE AQ 4 时 1 当 E 在 A 点左边时 OA AE 3 4 1 E 1 0 2 当 E 在 A 点右边时 OA AE 3 4 7 E 7 0 综上所述 存在满足条件的点 E 点 E 的坐标为 0 或 0 或 1 0 或 7 0 7 如图 已知抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 另一个交点为 B 与 y 轴的交点为 C 0 3 其顶点为 D 对称轴为直线 1 求抛物线的解析式 2 已知点 M 为 y 轴上的一个动点 当 ACM 是以 AC 为一腰的等腰三角形时 求点 M 的坐标 3 将 OBC 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度 0 m 3 得到另一个三角形 EFG 将 EFG 与 BCD 重叠部分的面积记为 S 用含 m 的代数式表示 S 1 2 M 的坐标为 3 解析解析试题分析 1 抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 对称轴为直线 得到抛物线与 x 轴的另一个交点为 B 3 0 把 A B C 的坐标代入抛物线 即可得到抛物线的解析式 2 当 AC AM 时 C M 关于 x 轴对称 得到 M 当 AC CM 时 AC 以 C 为圆心 AC 为半径作圆与 y 轴有两个交点 为 M或 M 3 分别求出直线 BC BD 的解析式 分两段计算重叠的面积 试题解析 1 由题意可知 抛物线与 x 轴的另一个交点为 B 3 0 则 解得 故抛物线的解析式为 2 当 AC AM 时 C M 关于 x 轴对称 得到 M 当 AC CM 时 AC 以 C 为圆心 AC 为半径作圆与 y 轴有两个交点 为 M或 M 所以 点 M 的坐标为 3 记平移后的三角形为 EFG 设直线 BC 的解析式为 y kx b 则 解得 则直线 BC 的解析式为 OBC 沿 x 轴向右平移 m 个单位长 度 0 m 3 得到 EFG 易得直线 FG 的解析式为 设直线 BD 的解析 式为 y k x b 则 解得 则直线 BD 的解析式为 连结 CG 直线 CG 交 BD 于 H 则 H 3 在 OBC 沿 x 轴向右平移的过程中 当时 如图 1 所示 设 EG 交 BC 于点 P GF 交 BD 于点 Q 则 CG BF m BE PE 3 m 联立 解得 即点 Q 3 m 2m 当时 如图 2 所示 设 EG 交 BC 于点 P 交 BD 于点 N 则 OE m BE PE 3 m 又因为直线 BD 的解析式为 所以当 x m 时 得 y 2m 6 所以点 N m 2m 6 综上所述 8 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于点 A 2 0 和点 B 6 0 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与轴交于点 M 在对称轴上存在点 P 使 CMP 为等腰三角 形 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 3 设点 Q 是抛物线对称轴上的一个动点 当点 Q 满足最大时 求出 Q 点 的坐标 4 如图 若点 E 为第二象限抛物线上一动点 连接 BE CE 求四边形 BOCE 面积 的最大值 并求此时 E 点的坐标 1 y x2 2x 6 2 P 2 或 P 2 2 或 P 2 2 或 P 2 12 3 当 Q 在 2 12 的位置时 QB QC 最大 4 最大值为 E 坐标为 3 解析解析试题分析 1 将点 A 2 0 和点 B 6 0 分别代入 y ax2 bx 6 得到关于 a b 的二元一次方程组 解方程组求出 a b 的值 进而得到抛物线的解析式 2 根据 1 的函数解析式得出抛物线的对称轴为 x 2 再求出 M 点的坐标 由于 C 是抛物 线与 y 轴的交点 因此 C 的坐标为 0 6 根据 M C 的坐标求出 CM 的距离 然后分三种情 况进行讨论 CP PM CM MP CM CP 3 由抛物线的对称性可知 QB QA 故当 Q C A 三点共线时 QB QC 最大 连结 AC 并延长 交对称轴于点 Q 利用待定系数法求出直线 AC 的解析式 再将 x 2 代入 求出 y 的值 进而 得到 Q 点的坐标 4 由于四边形 BOCE 不是规则的四边形 因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算 过 E 作 EF x 轴于 F 四边形 BOCE 的面积 三角形 BFE 的面积 直角梯形 FOCE 的面积 直角梯 形 FOCE 中 FO 为 E 的横坐标的绝对值 EF 为 E 的纵坐标 已知 C 的纵坐标 就知道了 OC 的 长 在三角形 BFE 中 BF BO OF 因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长 如果根据抛物线设出 E 的坐标 然后代入上面的线段中 即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式 根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值 即可求出此时 E 的坐 标 试题解析 1 由题知 解得 故所求抛物线解析式为 y x2 2x 6 2 抛物线解析式为 y x2 2x 6 对称轴为 x 设 P 点坐标为 2 t 当 x 0 时 y 6 C 0 6 M 2 0 CM2 2 0 2 0 6 2 40 当 CP PM 时 2 2 t 6 2 t2 解得 t P 点坐标为 P1 2 当 CM PM 时 40 t2 解得 t 2 P 点坐标为 P2 2 2 或 P3 2 2 当 CM CP 时 由勾股定理得 40 2 2 t 6 2 解得 t 12 P 点坐标为 P4 2 12 综上所述 存在符合条件的点 P 其坐标为 P 2 或 P 2 2 或 P 2 2 或 P 2 12 3 点 A 2 0 和点 B 6 0 关于抛物线的对称轴 x 2 对称 QB QA QB QC QA QC 要使 QB QC 最大 则连结 AC 并延长 与直线 x 2 相交于点 Q 即点 Q 为直线 AC 与直线 x 2 的交点 设直线 AC 的解析式为 y kx m A 2 0 C 0 6 解得 y 3x 6 当 x 2 时 y 3 2 6 12 故当 Q 在 2 12 的位置时 QB QC 最大 4 过点 E 作 EF x 轴于点 F 设 E n n2 2n 6 6 n 0 则 EF n2 2n 6 BF n 6 OF n S四边形 BOCE BF EF OC EF OF n 6 n2 2n 6 6 n2 2n 6 n n2 9n 18 n 3 2 所以当 n 3 时 S四边形 BOCE最大 且最大值为 此时 点 E 坐标为 3 9 如图 在平面直角坐标系中 一抛物线的对称轴为直线 与 y 轴负半轴交于 C 点 与 x 轴交于 A B 两点 其中 B 点的坐标为 3 0 且 OB OC 1 求此抛物线的解析式 2 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点 当点 P 运动到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积 3 若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M N 两点 其中点 M 在点 N 的右侧 在 x 轴 上是否存在点 Q 使 MNQ 为等腰直角三角形 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存在 请 说明理由 1 2 P 点的坐标为 的最大值为 3 Q 0 或 0 或 0 或 0 或 1 0 解析解析试题分析 1 设抛物线的解析式为 根据已知得 到 C 0 3 A 1 0 代入得到方程组 求出方程组的解 即可 2 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 F 求出点 G 的坐标 2 3 设直线 AG 为 代入得到 求出方程组的解得出直线 AG 为 设 P x 则 F x x 1 PF 根 据三角形的面积公式求出 APG 的面积 化成顶点式即可 3 存在 根据 MN x 轴 且 M N 在抛物线上 得到 M N 关于直线 x 1 对称 设点 M 为 m 且 m 1 得到 MN 2 m 1 当 QMN 90 且 MN MQ 时 由 MNQ 为等腰直角三角形 得到 求出 m 的值 得出点 M 和点 Q 的坐标 当 QNM 90 且 MN NQ 时 同理可求点 Q 的坐标 当 NQM 90 且 MQ NQ 时 过 Q 作 QE MN 于点 E 则 QE MN 根据抛物线及等腰直角三角形的轴 对称性 得到点 Q 的坐标 试题解析 1 设抛物线的解析式为 由已知得 C 0 3 A 1 0 解得 抛物线的解析式为 2 过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q 由 令 x 2 则 y 3 点 G 为 2 3 设直线 AG 为 解得 即直线 AG 为 设 P x 则 F x x 1 PF 当时 APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 3 存在 MN x 轴 且 M N 在抛物线上 M N 关于直线 x 1 对称 设点 M 为 且 当 QMN 90 且 MN MQ 时 MNQ 为等腰直角三角形 MQ MN 即 MQ x 轴 即或 解得 舍 或 舍 点 M 为 或 点 Q 为 0 或 0 当 QNM 90 且 MN NQ 时 MNQ 为等腰直角三角形 同理可求点 Q 为 0 或 0 当 NQM 90 且 MQ NQ 时 MNQ 为等腰直角三角形 过 Q 作 QE MN 于点 E 则 QE MN 方程有解 由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点 Q 为 1 0 综上所述 满足存在满足条件的点 Q 分别为 0 或 0 或 0 或 0 或 1 0 10 在梯形 ABCD 中 AD BC BA AC ABC 450 AD 2 BC 6 以 BC 所在直 线为 x 轴 建立如图所示的平面直角坐标系 点 A 在 y 轴上 1 求过 A D C 三点的抛物线的解析式 2 求 ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标 并求 M 的半径 3 E 为抛物线对称轴上一点 F 为 y 轴上一点 求当 ED EC FD FC 最小时 EF 的长 4 设 Q 为射线 CB 上任意一点 点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点 问是否存在这样 的点 P Q 使得以 P Q C 为顶点的三角形与 ADC 相似 若存在 直接写出点 P Q 的坐 标 若不存在 则说明理由 1 由题