数学专升本考试试题

高等数学 二 命题预测试卷 二 一 选择题 本大题共 5 个小题 每小题 4 分 共 20 分 在每个小题给出的选 项中 只有一项是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 下列函数中 当时 与无穷小量相比是高阶无穷小的是 1 x 1 x A B 3ln x xxx 23 2 C D 1cos x1 2 x 2 曲线在内是 x xy 1 33 1 A 处处单调减小 B 处处单调增加 C 具有最大值 D 具有最小值 3 设是可导函数 且 则为 xf1 2 lim 00 0 h xfhxf x 0 x f A 1 B 0 C 2 D 2 1 4 若 则为 1 1 x x x f 1 0 dxxf A B 2 1 2ln1 C 1 D 2ln 5 设等于 x u xyu z A B z zxy 1 z xy C D 1 z y z y 二 填空题 本大题共 10 个小题 10 个空 每空 4 分 共 40 分 把答案填在 题中横线上 6 设 则 2 yxez xy 2 1 y z 7 设 则 xexf x ln 3 f 8 则 x x xf 1 1 x f 9 设二重积分的积分区域 D 是 则 41 22 yx D dxdy 10 x x x 2 1 1 lim 11 函数的极小值点为 2 1 xx eexf 12 若 则 3 1 4 lim 2 1 x axx x a 13 曲线在横坐标为 1 点处的切线方程为 xyarctan 14 函数在处的导数值为 2 0 sin x tdty 2 x 15 1 1 2 2 cos1 sin dx x xx 三 解答题 本大题共 13 小题 共 90 分 解答应写出推理 演算步骤 16 本题满分 6 分 求函数的间断点 0 0 0 1 arctan x x xxf 17 本题满分 6 分 计算 12 1 lim 2 x xx x 18 本题满分 6 分 计算 x x xx 1 0 1 arcsinlnlim 19 本题满分 6 分 设函数 求 01 1ln 0 1 xx xxe xf x x f 20 本题满分 6 分 求函数的二阶导数 sin yxy 21 本题满分 6 分 求曲线的极值点 34 2 xxxf 22 本题满分 6 分 计算 dx x x 1 2 3 23 本题满分 6 分 若的一个原函数为 求 xfxxln dxxfx 24 本题满分 6 分 已知 求常数的值 0 2 2 1 1 dx x k k 25 本题满分 6 分 求函数的极值 5126 23 yxxyyxf 26 本题满分 10 分 求 其中 D 是由曲线与所围成的平面区域 D dxdyyx 22 xy 2 yx 27 本题满分 10 分 设 且常数 求证 a dxxfxxf 0 2 1 a 1 3 3 0 a a dxxf a 28 本题满分 10 分 求函数的单调区间 极值 此函数曲线的凹凸区间 拐点以及渐近 x x y ln 线并作出函数的图形 参考答案 一 选择题 1 B 2 B 3 D 4 D 5 D 二 填空题 6 7 12 2 e 3 1 3 e 8 9 1 1 x 3 10 11 2 1 e0 x 12 5 13 1 2 1 4 xy 14 15 0 4 sin 2 三 解答题 16 解 这是一个分段函数 在点的左极限和右极限都存在 xf0 x 2 1 arctanlim lim 00 x xf xx 2 1 arctanlim lim 00 x xf xx lim lim 00 xfxf xx 故当时 的极限不存在 点是的第一类间断0 x xf0 x xf 点 17 解 原式 2 2 2 1 1 2 11 1 lim 12 1 lim 2 2 2 x xx x xx xx 18 解 设 x xxxf 1 1 arcsin 由于是初等函数的可去间断点 0 x lnxf 故 x xxx xxxfxf 1 000 1 arcsinlimln limln lnlim x xx xx 1 00 1 limarcsinlimln 1ln 0ln ee 19 解 首先在时 分别求出函数各表达式的导数 即0 x 当时 0 x 1 1 1 1 2 111 x e x xeexexf xxxx 当时 01 x 1 1 1ln x xxf 然后分别求出在处函数的左导数和右导数 即0 x 1 1 1 lim 0 0 x f x 0 1 1 lim 0 1 0 x ef x x 从而 函数在处不可导 0 0 ff0 x 所以 0 1 1 0 1 1 1 x x x x e xf x 20 解 sin yxy cos cos 1 cos yxyyxyyxy 1 sin cos 1 sin yyxyyxyyyxy 2 1 sin cos 1yyxyyx cos 1 1 sin 2 yx yyx y 又由 解得 cos 1 cos yx yx y 代入 得 2 cos 1 cos 1 cos 1 cos yx yx yx yx y 3 cos 1 sin yx yx 21 解 先出求的一阶导数 xf 2 3 464 223 xxxxxf 令 即 解得驻点为 0 x f0 2 3 4 2 xx 2 3 0 21 xx 再求出的二阶导数 xf 1 121212 2 xxxxxf 当时 故是极小值 2 3 2 x09 2 3 f 16 27 2 3 f 当时 在内 在内0 1 x0 0 f 0 0 x f 2 3 0 0 x f 故 不是极值点 0 1 x 总之 曲线只有极小值点 24 2 xxxf 2 3 x 22 解 11 1 11 22 2 2 3 2 3 x x x x xxx x xxx x x dx x x xdxdx x x xdx x x 1 1 1 222 3 Cxx x xd x 1ln 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 22 2 2 23 解 由题设知1ln lnln ln xxxxxxxf 故 dxxxdxxfx 1 ln xdxxdxxln 22 2 1 2 1 lnxdxx 222 2 1 lnln 2 1 xxdxxx 222 2 11 2 1 ln 2 1 xdx x xxx 22 2 1 2 1 ln 2 1 xxdxxx Cxxx 22 4 1 ln 2 1 24 解 0 2 0 2 0 2 1 1 lim 1 1 1 aa dx x kdx x kdx x k 2 arctan limarctanlim 0 kakxk a a a 又 2 1 1 0 2 dx x k 故 解得 2 1 2 k 1 k 25 解 123 62 2 y y f x x f 解方程组得驻点 0123 062 2 y x 2 3 2 3 00 BA 又 yfCfBfA yyxyxx 6 0 2 对于驻点 故126 0 2 2 30 y x yCBAA024 2 ACB 驻点不是极值点 0 A 对于驻点126 0 2 2 30 y x yCBAB 故 又 024 2 ACB02 A 函数在点取得极大值 yxf 2 3 0 B 30524189 2 2 3 3 f 26 解 由与得两曲线的交点为与 2 xy 2 yx 0 0 O 1 1 A 的反函数为 0 2 yyxxy dxyyxdyyxdxdxdyyx x x x x D 2 1 0 22 2 2 1 0 2 2 1 140 33 10 3 4 1 7 2 2 1 2 1 1 0 52 2 7 1 0 44 2 5 xxx dxxxxx 27 证 aaa dxdxxfxdxxf 00 2 0 dxdxxfdxx aaa 000 2 aa a dxdxxfx 00 0 3 3 1 a dxxfa a 0 3 3 3 3 00 a dxxfadxxf aa 于是 1 3 3 0 a a dxxf a 28 解 1 先求函数的定义域为 0 2 求和驻点 令得驻点 y 2 ln1 x x y 0 y ex 3 由的符号确定函数的单调增减区间及极值 y 当时 所以单调增加 ex 00 ln1 2 x x yy 当时 所以单调减少 ex 0 y y 由极值的第一充分条件可知为极大值 e y ex 1 4 求并确定的符号 y y 令得 3 3ln2 x x y 0 y 2 3 ex 当时 曲线为凸的 2 3 0ex 0 y y 当时 曲线为凹的 2 3 ex 0 y y 根据拐点的充分条件可知点为拐点 2 3 2 3 2 3 ee 这里的和的计算是本题的关键 读者在计算时一定要认真 仔细 y y 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷 现列表如下 x 0 e e 2 3 ee 2 3 e 2 3 e y 0 y 0 就表上所给的和符号 可得到 y y 函数的单调增加区间为 x x y ln 0 e 函数的单调减少区间为 x x y ln