第四章-电路定理

第第四四章章 电电路路定定理理 电电路路定定理理是是电电路路理理论论的的重重要要组组成成部部分分 为为我我们们求求解解电电路路问问题题提提供供了了另另 一一种种分分析析方方法法 这这些些方方法法具具有有比比较较灵灵活活 变变换换形形式式多多样样 目目的的性性强强的的特特 点点 因因此此相相对对来来说说比比第第三三章章中中的的方方程程式式法法较较难难掌掌握握一一些些 但但应应用用正正确确 将将使使一一些些看看似似复复杂杂的的问问题题的的求求解解过过程程变变得得非非常常简简单单 应应用用定定理理分分析析电电路路 问问题题必必须须做做到到理理解解其其内内容容 注注意意使使用用的的范范围围 条条件件 熟熟练练掌掌握握使使用用的的方方 法法和和步步骤骤 需需要要指指出出 在在很很多多问问题题中中定定理理和和方方程程法法往往往往又又是是结结合合使使用用的的 4 4 1 1 应用叠加定理求图示电路中电压 ab u 解解 首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4 1 图 a 和 b 所示 对 a 图应用结点电压法可得 1 sin5 12 1 3 1 1 1 t un 解得 1 5sin 3sin 5 3 n t utV 1 1 1 11 13sinsin 2 133 n abn u uuttV 对 b 图 应用电阻的分流公式有 11 32 1 11 135 t t e ieA 所以 2 1 10 2 5 tt ab uieeV 故由叠加定理得 1 2 sin0 2 t ababab uuuteV 4 4 2 2 应用叠加定理求图示电路中电压 u 解解 画出电源分别作用的分电路如题解 a 和 b 所示 对 a 图应用结点电压法有 10 50 28 136 10 1 40 1 28 1 1 n u 解得 1 1 13 65 0 10 0250 1 n uu 18 6248 82 667 0 2253 V 对 b 图 应用电阻串并联化简方法 可求得 10 40 2 8 3216 1040 33 10 40 183 8 2 1040 si uV 2 1618 2323 si u uV 所以 由叠加定理得原电路的 u为 1 2 2488 80 33 uuuV 4 4 3 3 4 4 4 4 应用叠加定理求图示电路中电压 2 u 注意 不用叠加更 简单 解解 根据叠加定理 作出2V电压源和 3A电流源单独作用时的分 电路如题解图 a 和 b 受控源均保留在分电路中 a 图中 1 1 2 0 5 4 iA 所以根据 KVL 有 1 1 21 3 223 2 0 521uiV 由 b 图 得 0 2 1 i 2 2 3 39uV 故原电路中的电压 1 2 222 8uuuV 4 4 4 4 应用叠加定理求图示电路中电压 U 解解 按叠加定理 作出5V和 10V电压源单独作用时的分电路如题 解 4 4 图 a 和 b 所示 受控电压源均保留在分电路中 应用电源等效变换把图 a 等效为图 c 图 b 等效为图 d 由图 c 得 3 11 1 3 2 1 1 52 1 21 52 UU U 从中解得 1 3UV 由图 d 得 2 2 2 2020 22 33 1 211 21 33 UU U 从中解得 2 20 3 4 11 1 3 UV 故原电路的电压 1 2 341UUUV 注注 叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应 而不能用来计算功率 这是因为线性电路中的电压和电流都与激励 独立源 呈线性关系 而功率与激 励不再是线性关系 题4 1 至题 4 4 的求解过程告诉我们 应用叠加定理求解电路的基本思想是 化整为零 即将多个独立源作用 的较复杂的电路分解为一个一个 或一组一组 独立源作用的较简单的电路 在分 电路中分别计算所求量 最后代数和相加求出结果 需要特别注意 1 当一个独立源作用时 其它独立源都应等于零 即独立电压源短路 独立 电流源开路 2 最后电压 电流是代数量的叠加 若分电路计算的响应与原电路这一响应 的参考方向一致取正号 反之取负号 3 电路中的受控源不要单独作用 应保留在各分电路中 受控源的数值随每 一分电路中控制量数值的变化而变化 4 叠加的方式是任意的 可以一次使一个独立源作用 也可以一次让多个独 立源同时作用 如4 2 解 方式的选择以有利于简化分析计算 学习应用叠加定理 还应认识到 叠加定理的重要性不仅在于可用叠加法分析 电路本身 而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据 4 4 5 5 试求图示梯形电路中各支路电流 结点电压和 s o u u 其中 s u 10V 解解 由齐性定理可知 当电路中只有一个独立源时 其任意支路的响应 与该独立源成正比 用齐性定理分析本题的梯形电路特别有效 现设支 路电流如图所示 若给定 55 1iiA 则可计算出各支路电压电流分别为 5 225 442 3345 1132 1123 11 201 2020 420 1 2424 1224 122 2 13 53 52439 1 34 44 43955 oo nn n nnn ssn uuiV uuiV iiuA iiiiA uuiuV iiiiA uuiuV 即当激励 ss uu V55 时 各电压 电流如以上计算数值 现给定 s u 10 V 相当于将以上激励 s u 缩小了55 10 倍 即 11 2 55 10 K 故电路各支路的电流和结点电压应同时缩小11 2 倍 有 11 22 33 44 55 11 22 28 40 727 1111 22 1 1111 26 3 1111 24 2 1111 22 1 1111 278 39 1111 248 24 1111 240 20 1111 nn nn oo iKiA iKiA iKiA iKiA iKiA uKuV uKuV uKuV 输出电压和激励的比值为 40 4 11 0 364 1011 o s u u 注注 本题的计算采用 倒退法 即先从梯形电路最远离电源的一端开始 对电压或电流设一便于计算的值 倒退算至激励处 最后再按齐性定理予以修正 4 4 7 7 图示电路中 当电流源 1s i 和电压源 1s u 反向时 2s u 不变 电压 ab u 是原来的 0 5 倍 当 1s i 和 2s u 反向时 1s u 不变 电压 ab u 是原来的 0 3 倍 问 仅 1s i 反向 1s u 2s u 均不变 电压 ab u 应为原来的几倍 解解 根据叠加定理 设响应 231211sssab uKuKiKu 式中1 K 2 K 3 K 为未知的比例常数 将已知条件代入上式 得 112132 0 5 absss uK iK uK u 231211 3 0 sssab uKuKiKu 231211sssab uKuKiKxu 将式 相加 得 231211 8 1 sssab uKuKiKu 显然 式等号右边的式子恰等于式 等号右边的式子 因此得所求倍 数 1 8x 注注 本题实际给出了应用叠加定理研究一个线性电路激励与响应关系的实验方法 4 4 8 8 图示电路中 1 10 s UV 2 15 s UV 当开关 S 在位置 1 时 毫安 表的读数为 40ImA 当开关 S 合向位置 2 时 毫安表的读数为 60ImA 如果把开关S 合向位置 3 毫安表的读数为多少 解解 设流过电流表的电流为I 根据叠加定理 12ss IK IK U 当开关 S 在位置 1 时 相当于 0 s U 当开关 S 在位置 2 时 相当于 1ss UU 当开关 S 在位置 3 时 相当于 2ss UU 把上述条件代入以上方程式 中 可 得关系式 104060 40 2121 1 KUKIK IK ss s 从中解出 10 10 100 2 K 所以当 S 在位置 3 时 有 122 40 10 15 190 ss IK IK UmA 4 4 9 9 求图示电路的戴维宁和诺顿等效电路 解解 求开路电压 oc u 设 oc u 参考方向如图所示 由KVL 列方程 0 1 23 42 II 解得 AI 8 1 VIuoc5 0 8 1 44 求等效内阻 eq R 将原图中电压源短路 电流源开路 电路变为 题解 4 8 a 图 应用电阻串并联等效 求得 eq R 2 2 4 2 画出戴维宁等效电路如图 b 所示 应用电源等效变换得诺顿等 效电路如图 c 所示 其中 A R u I eq oc sc 25 0 2 5 0 注意画等效电路时不要将开路电压 oc u 的极性画错 本题设a 端为 oc u 的 极性端 求得的 oc u 为负值 故 b 图中的 b 端为开路电 压的实际 极性端 4 4 9 9 求图示电路的戴维宁等效电路 解解 本题电路为梯形电路 根据齐性定理 应用 倒退法 求开 路电压 oc u 设 10 ococ uuV 各支路电流如图示 计算得 55 22 2 44 3345 1132 1 22 123 11 10 1 10 2 10 112 12 2 4 55 2 4 13 4 77 3 4 1235 8 35 8 5 967 66 5 9673 49 367 99 9 36735 8120 1 nn n nnn n ssn iiA uuV u iiA iiiiA uuiuV u iiA iiiA uuiu V 故当 5 s uV 时 开路电压 oc u 为 5 100 416 12 1 ococ uKuV 将电路中的电压源短路 应用电阻串并联等效 求得等效内阻 eq R 为 9 67 52 103 505 eq R 画出戴维宁等效电路如题解4 9 图所示 4 4 1 10 0 求图中各电路在ab 端口的戴维宁等效电路或诺顿等效电路 解解 a a 先求开路电压 oc u 应用结点电压法 结点编号如图 a 所示 结点方程为 12 12 111110 22222 1111 0 2223 nn nn uu uu 把以上方程加以整理有 12 12 310 380 nn nn uu uu 应用消去法 解得 2 10 7 n uV 故开路电压 2 10 1 2 121 n oc u uV 再把电压源短路应用电阻串并联等效求内阻 eq R 16 2 22 22 1 21 eq R 画出戴维宁等效电路如题解图 a1 所示 解解 b b 应用电阻分压求得开路电压 oc u 为 s ocs u uRu R 把电压源短路 可求得等效内电阻为 11 1 eq RRRRRRR 等效电路如题解图 b1 所示 解解 c c 这个问题用诺顿定理求解比较方便 把ab 端口短路 显然短路电流等于电流源的电流 即 1 scab IIA 把电流源开路求等效内电阻 eq R 由于电路是一平衡电桥 可以把 cd 右侧电阻电路断去如题解图 c1 所示 则 2060 2060 40 eq R 画出诺顿等效电路如题解图 c2 所示 解解 d d 应用替代定理 图 d 可以等效变换为题解图 d1 所示的电路 则开路电压为 Vuoc51510 把图 d1 中的电压源短路 电流源开路 等效电阻 5510 eq R 画出戴维宁等效电路如图 d2 所示 4 4 1 11 1 图 a 所示含源一端口的外特性曲线画于图 b 中 求其等 效电源 解解 根据戴维宁定理可知 图示含源一端口电路可以等效为题解 4 11 图所示的电源电路 其端口电压 u和电流i满足关系式 iRuu eqoc 图 b 所示的含源一端口的外特性曲线方程为 1 10 5 ui 比较以上两个方程式 可得等效电源电路的参数 10 oc uV 1 0 2 5 eq R 4 4 1 12 2 求图示各电路的等效戴维宁电路或诺顿电路 解解 a a 先求开路电压 oc u 应用网孔电流法 设网孔电流 1 i 2 i 其绕行方向如图 a 所示 列网孔电流方程为 1 12 2 10 10 105 0 i ii 联立求解以上方程 可得 2 20 0 8 25 iA 故开路电压为 2 10 1 56511 5 0 815 oc uiV 将电压源短接 电流源开路 得题解图 a1 所示电路 应用电 阻串 并联等效求得等效电阻 5 10 10 1014 eq R 戴维宁等效电路如题解图 a2 所示 解解 b b 根据 KVL 求开路电压 ab u 为 96 236 ab uV 把 3V 电压源短路 2A 电流源断开 可以看出等效内阻为 10616 eq R 戴维宁等效电路见题解图 b1 解解 c c 设开路电压参考方向如图 c 所示 显然 oc u 等于受控源所在支路 得电压 即 11 220 oc uii 由于电路中有受控源 求等效电阻时不能用电阻串 并联等效的方法 现采用求输入电阻的外加电源法 将 c 图中 4V独立电压源短路 在 ab 端子间加电压源 u如题图 c1 所示 根据 KVL 列方程 1 111 58 82 20 uii iiii 从第二个方程中解出 1 21 84 iii 把 1 i 代入第一个方程中 可得 1 58 7 4 uiii 故等效电阻为 7 eq u R i 画出戴维宁等效电路如题解图 c2 所示 解解 d d 解解法法一一 先求开路电压 oc u 把图 d 中受控电流源与 电阻的并接支路等效变换为受控电压源与电阻的串接支路如题解图 d1 所示 由 KVL 得 111 25 40iuu 把 11 4 8ui 代入上式中 解得 1 96 5 647 17 iA 故开路电压 1 55 5 64728 235 oc uiV 求等效电阻 eq R 可以采用如下两种方法 1 开路 短路法 把图 d1 中的 1 1 端子短接如题解图 d2 所示 由 KVL 得 11 240 sc iuu 即 1 3 2 sc iu 把 1 4 8 sc ui 代入式中 有 3 2 sc i 8 4 sc i 解得 48 4 364 11 sc iA 则等效电阻 28 235 6 471 4 364 oc eq sc u R i 2 外加电源法 把图 d1 中 4 A电流源开端 在 1 1 端子间加电压源u如图 d3 所示 由 KVL 得 23 24 11111 iiuuiiuu 把 11 8 uii 代入上式中 有 111 3 8 2 22 uiiiiii 考虑到 1 5 u i 则 2222 5 u ui 所以 22 5 17 ui 故等效电阻为 22 5 6 471 17 eq u R i 戴维宁等效电路如题解图 d4 所示 解解法法二二 在图 d1 的端口 1 1 处外加一个电压源u 图题解图 d5 所示 通过求出在端口 11 的ui 关系得出等效电路 应用 KVL 列出中间网孔的电压方程 应用KCL 列出下部结点的电流方程有 11 1 2 3 4 85 iiuu uu i 把 1 5 u i 代入第一个方程中 并从两方程中消去 1 u 可得 uuiui 5 24 9624 5 2 2 整理得ui 关系为 iiu471 6 235 28 17 522 17 596 这个关系式与图 d4 的等效电路的端口电压 电流的关系式是一致的 即可得原图 1 1 端口的 28 235 oc uV 6 471 eq R 这一解法是一步同时求出 oc u 和 eq R 但在电路比较复杂时 由于 这一解法要求解方程组 不如解法一方便 注注 戴维宁定理 诺顿定理是分析线性电路最常用的两个定理 从 4 8 题至 4 12 题的求解过程可以归纳出应用这两个定理求等效电路的步骤为 1 求一端口 电路端口处的开路电压或短路电流 2 求等效内电阻 3 画出等效电 路 开路电压 oc u 可这样求取 先设端口处 oc u 的参考方向 然后视具体电路形式 从已掌握的电阻串 并联等效 分压分流关系 电源等效互换 叠加定理 回路电 流法 结点电压法等方法中 选取一个能简便地求得 oc u 的方法计算 oc u 求等效电阻 eq R 的一般方法为 1 开路 短路法 即在求得 oc u 后 将 端口的两端子短路 并设短路电流 sc i sc i 的参考方向为从 oc u 的 极性端 指向 极性端 应用所学的任何方法求出 sc i 则 eqocsc Rui 此法在求 oc u 和 sc i 时 一端口电路内所有的独立源均保留 2 外加电源法 即令一端 口电路内所有的独立源为零 独立电压源短路 独立电流源开路 在两端子 间外加电源 电压源 电流源均可 求得端子间电压 u和电流i的比值 则 eq Ru i u与i对两端电路的参考方向关联 3 若两端电路是不含受控源 的纯电阻电路 则除上述方法外常用电阻串 并联等效和Y 互换等效求 eq R 4 4 1 13 3 求图示两个一端口的戴维宁或诺顿等效电路 并解释所得结果 解解 a a 因为端口开路 端口电流 0i 故受控电流源的电流为 零 可将其断开 从而得开路电压 10 65 426 oc uV 把端口短路 电路变为题解4 13 图 a1 所示电路 由KVL 可得 1032 24 scsc ii 从中解出 10 422 3 sc i 这说明该电路的等效电阻 0 oc eq sc u R i 故等效电路为题解图 a2 所 示的 5V 理想电压源 显然其诺顿等效电路是不存在的 解解 b b 把端子 11 短路 电路如题解图 b1 所示 由图可知 12 电 阻和 8 电阻并联 则电压 2 12 8 12 8 1512 820 61283 uV 电流 sc i 为 222 12 4992015 7 5 848832 sc uuu iiiA 把15V电压源短路 应用外加电源法求等效电阻 eq R 由题解图 b2 可得 2 22 2 6 12 4 6 12 6 12843 8 6 12 433 0 46 1244443 uuu u uuuuuu iu 说明该电路的等效电阻 1 0 eq u R i 故等效电路为一电流为 7 5 A的理想电流源 即该电路只有诺顿等效电 路如题解图 b3 所示 而不存在戴维宁等效模型 注注 本题两个电路的计算结果说明 一个一端口电路不一定同时存在戴维宁 和诺顿等效电路 当端口的开路电压 0 oc u 而等效电阻 0 eq R 时 电路的 等效模型为一理想电压源 即只有戴维宁等效电路 当端口的短路电流 0 sc i 而等效电导 0 eq G 时 电路的等效模型为理想电流源 即只有诺顿等效 电路 只有当 eq R 不等于0和 时 电路才同时存在戴维宁和诺顿等效电路 4 4 1 14 4 在图示电路中 当 L R 取 0 2 4 6 10 18 24 42 90和186 时 求 L R 的电压 L U 电流 L I 和 L R 消耗的功率 可列表表示各结果 解解 本题计算 L R 所在支路的电量 且 L R 的值是变化的 这种求解 电路的局部量问题选用戴维宁等效电路的方法最适宜 把所求支路以外 的电路用戴维宁等效电路替代 再求所求量 先把 L R 支路断开如题解4 14 图 a 所示 应用电源等效互换得 一端口电路的戴维宁等效电路的电压源和电阻为 48 6 oceq uV R 接上 L R 支路 如题解图 b 所示 则 2 48 6 L L LLL LLL I R UR I PR I 把 L R 的各个值代入 计算得 L U L I L P 的值如下表所示 L R 02461018244290186 L IA 864 84321 610 50 25 L U V 01219 224303638 4424546 5 L P W 07292 1696907261 444222 511 625 4 4 1 16 6 在图示电路中 试问 1 R为多大时 它吸收的功率最大 求此时最大功率 2 若 80R 欲使 R中电流为零 则a b 间应并接什么元件 其 参数为多少 画出电路图 解解 1 自 a b 断开R所在支路 应用电阻串 并联及电源等效 互换将原图变为题解图 a 由题解图 a 易求得开路电压 5025 10 10 2537 5 10 1020 oc uV 将 a 图中电压源短路 求等效电阻 10 10 2010 eq R 最后得等效电路如题解图 b 所示 由最大功率传输定理可知 当 10 eq RR 时 其上可获得最大功率 此时 22 max 37 5 35 156 44 10 oc eq u PW R 2 利用电源等效互换 图 b 电路可以变化为图 c 由 KCL 可知 在 a b 间并接一个理想电流源 其值 3 75 s iA 方向由 a 指向 b 这样R中的电流将为零 注注 求解负载 L R 从有源一端口电路吸收最大功率这一类问题 选用戴维宁 定理或诺顿定理与最大功率传输定理结合的方法最为简便 因为最大功率传输定理 告诉我们 最大功率匹配的条件是负载电阻等于有源一端口电路的等效电阻 即 Leq RR 此时最大功率为 2 max 4 oc eq u P R 这里需要注意 1 Leq RR 这一 条件应用于 L R 可改变 eq R 固定的情况下 若 L R 固定 eq R 可变则另当别论 2 eq R 上消耗的功率不等于一端口电路内部消耗的功率 因此 L R 获最大功 率时 并不等于 L R 获取了一端口电路内电源发出功率的 50 4 4 1 17 7 图示电路的负载电阻 L R 可变 试问 L R 等于何值时可吸收最大功 率 求此功率 解解 首先求出 L R 以左部分的等效电路 断开 L R 设 如题解 4 16 图 a 所示 并把受控电流源等效为受控电压源 由KVL 可 得 11 1 22 86 6 0 5 12 ii iA 故开路电压 1111 2281212 0 56 oc uiiiiV 把端口短路 如题解图 b 所示应用网孔电流法求短路电流 sc i 网 孔方程为 0 82 42 2 682 22 11 11 iii iii sc sc 解得 63 42 sc iA 故一端口电路的等效电阻 6 4 3 2 oc eq sc u R i 画出戴维宁等效电路 接上待求支路 L R 如题解图 c 所示 由最大功率传输定理知 4 Leq RR 时其上获得最大功率 L R 获得的 最大功率为 22 max 6 2 25 44 4 oc eq u PW R 4 4 1 17 7 图示电路中N 方框内部 仅由电阻组成 对不同的输入直流电 压 s U 及不同的 1 R 2 R 值进行了两次测量 得下列数据 12 2RR 时 8 s UV 1 2IA 2 2UV 1 1 4R 2 0 8R 时 9 s UV 1 3IA 求 2 U 的值 解解 设 N 网络二个端口的电压为 1 U 2 U 如图所示 由题意可知 第一次测量有 11 1 82 24 s UUR IV VU2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 IA U IA R 第二此测量有 11 1 9 1 4 34 8 s UUR IV 8 0 3 2 2 2 2 1 U R U I AI 根据特勒根定理2 应满足 11221122 UIU IUIU I 代入数据 有 2 2 4 3 24 8 2 1 0 8 U U 从中解得 2 129 64 2 41 6 6 6 4 UV 注注 特勒根定理是对任何具有线性 非线性 时不变 时变元件的集总电路 都适用的基本定理 它有两种形式 应用特勒根定理时 支路的电压 电流要取关 联参考方向 如4 17 题求解时 由于 1 U 和 1 I 为非关联参考方向 所以在列方 程时 1 I 前加负号 特勒根定理常用于求解多端口电路的电压 电路问题 应用特 勒根定理可以导得互易定理 4 4 1 18 8 在图 a 中 已知 2 6UV 求图 b 中 1 U 网络 N 仅由电 阻组成 解解法法一一 设N网络端口得电压和电流如图 a 和 b 所示 其中 1 1111 1 2 2222 22 4 6 2 U UI RI R U IUIR RR 应用特勒根定理2 有关系式 1 1221 122 U IU IU IU I 即 1 1121 122 12 6 4 6 2 U I RIU IIR RR 整理可得 1 12 3 4 UV 解解法法二二 把 1 R 2 R 和N网络归为 N网络中 图 a 和 b 变 为题解 4 18 图 a 和 b N网络仍为纯电阻网络 为互易网络 根据互 易定 理 N网络端口电压电流关系为 21 42 UU 故 2 1 6 223 44 U UV 注注 互易定理是指 对一个仅含线性电阻的二端口电路 N 当激励端口 与响应端口互换位置时 同一激励源所产生的响应相同 应用互易定理分析电路时 应注意以下几点 1 互易前后应保持网络的拓扑结构及参数不变 仅理想电 源搬移 2 互易前后 网络端口 1 1 22 支路的电压和电流的参考方 向应保持一致 即要关联都关联 要非关联都非关联 3 互易定理只适用 于一个独立源作用的线性电阻网路 且一般不能含有受控源 对一些仅含一个独立 源的互易电路 应用互易定理 通过互换激励与响应位置 可以使计算简便 4 4 1 19 9 图中网络N仅由电阻组成 根据图 a 和图 b 的已知情况 求图 c 中电流 1 I 和 2 I 解解 首先求电流 1 I 解解法法一一 对图 c 应用叠加定理 两个电源单独作用的分电路为图 a 和题解 4 19 图 a1 由图 a 知 1 1 12 3 1IAIA 题解 4 19 图 a1 相当于把图 a 中的激励和响应互换 因此 根据互易 定理可得 2 1 12 1IIA 故图 c 中的电流 1 I 为 AIII213 2 1 1 11 解解法法二二 对图 a 和图 c 应用特勒根定理2 可得端口电压 和电流的关系式为 120 3 200 20 21 II 故有 1 6020 2 20 IA 解解法法三三 把图 c 中 1 I 支路的 20V电压源断开 求一端口电路的 诺顿等效电路 首先把 1 1 端口短路 电路为题解4 19 图 a1 由互易定理 得短路电流 AIIsc1 2 1 求等效电阻 把 22 端的 20V电压源短路 外加电压源 在此加 20V电压源 实际就是图 a 电路 因此有 20