小学数学趣题集

小学数学趣题集小学数学趣题集 一 鸡兔同笼 大约在 1500 年前 孙子算经 中记载 今有鸡兔同笼 上有三十五 头 下有九十四足 问鸡兔各几何 意思是 有若干只鸡和兔同在一个笼子里 数头有 35 个 数脚有 94 只 求笼中有鸡和兔各多少只 假如砍去每只鸡 每只兔一半的脚 则每只鸡就变成了 独角鸡 每只兔就变成 了 双脚兔 这样 1 鸡和兔的脚的总数就由 94 只变成 94 2 47 只 2 如果笼子 里有一只兔子 则脚的总数就比头的总数多 1 因此 脚的总只数 47 与总头数 35 的差 就是兔子的只数 即 47 35 12 只 显然 鸡的只数是 35 12 23 只 砍足法 令古今中外数学家赞叹不已 这种思维方法叫化归法 化归法就是在解决 问题时 先不对问题采取直接的分析 而是将题中的条件或问题进行变形 使之转化 最 终把它归成某个已经解决的问题 用 假设法 假设全部是鸡 头有 35 个 则脚有 35 2 70 只 相差 94 70 24 只 是兔多出的脚 每只兔多 2 只脚 兔有 24 2 12 只 鸡有 35 12 23 只 用 方程 来解 解设兔头 X 只 则鸡有 35 X 只 列式为 4X 35 X 2 94 X 12 鸡有 35 12 23 只 二 牛顿问题 英国科学家牛顿 曾经写过一本数学书 书中有一道有名的 关于牛 在牧场上吃草的题目 人们把它称为 牛顿问题 有一牧场 已知养牛 27 头 6 天把 草吃尽 养牛 23 头 9 天把草吃尽 如果养牛 21 头 几天能把牧场上的草吃尽 并且 牧场上的草是不断生长的 一般解法是 把一头牛一天所吃的牧草看作 1 1 27 头牛 6 天所吃的牧草为 27 6 162 这 162 包括牧场原有的草和 6 天新长 的草 2 23 头牛 9 天所吃的牧草为 23 9 207 这 207 包括牧场原有的草和 9 天新长 的草 3 1 天新长的草为 207 162 9 6 15 4 牧场上原有的草为 27 6 15 6 72 5 每天新长的草足够 15 头牛吃 21 头牛减去 15 头 剩下 6 头吃原牧场的草 72 21 15 72 6 12 天 所以养 21 头牛 12 天才能把牧场上的草吃尽 练一练 有一牧场 如果养 25 只羊 8 天可以把草吃尽 养 21 只羊 12 天把草吃 尽 如果养 15 只羊 几天能把牧场上不断生长的草吃尽 三 鬼谷算 我国汉代有位大将叫韩信 他每次集合部队 只要求部下先后按 l 3 1 5 1 7 报数 然后再报告一下各队每次报数的余数 他就知道到了多少人 他 的这种巧妙算法 人们称为鬼谷算 也叫隔墙算 或称为韩信点兵 外国人还称它为 中 国剩余定理 到了明代 数学家程大位用诗歌概括了这一算法 他写道 三人同行七十 稀 五树梅花廿一枝 七子团圆月正半 除百零五便得知 这首诗的意思是 用 3 除所 得的余数乘上 70 加上用 5 除所得余数乘以 21 再加上用 7 除所得的余数乘上 15 结果 大于 105 就减去 105 的倍数 这样就知道所求的数了 比如 一篮鸡蛋 三个三个地数余 1 五个五个地数余 2 七个七个地数余 3 篮子里有鸡蛋一定是 52 个 算式是 1 70 2 21 3 15 157 157 105 52 个 练一练 四皓小学订 中国少年报 若干张 如果三张三张地数 余数为 1 张 五 张五张地数 余数为 2 张 七张七张地数 余数为 2 张 四皓小学订 中国少年报 多少 张 四 电灯泡问题 过道里依次挂着标号是 1 2 3 100 的电灯泡 开始它们 都是灭的 当第一个人走过时 他将标号为 1 的倍数的灯泡的开关拉一下 当第二个人走 过时 他将标号为 2 的倍数的灯泡的开关拉一下 当第三个人走过时 他将标号为 3 的倍 数的电灯泡的开关拉一下 如此进行下去 当第一百个人走过时 他将标号为 100 的 倍数的灯泡的开关拉一下 问 当第一百个人走过后 过道里亮着的电灯泡标号是多少 此题实质是找每个灯泡的因数个数 第一个灯泡只有因数 1 灯亮 第二个灯泡有 两个因数 1 2 等灭 由此可以看出因数的个数是奇数时 灯亮 因数的个数是偶数时 灯灭 故当第一百个人走过后 过道里亮着的电灯泡标号是 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 五 巧求六位数 六位数 4321 能被 4321 整除 这个六位数是多少 采用 假设 计算 排错 验证 的方法 假设六位数为 那么 4321 218 1241 由于余数大于 9 所以不合题意 假设六位数为 则有 4321 195 64 余数大于 9 也不合题意 假设六位数为 则 4321 172 7 余数小于 9 可见符合条件的六位数为 7 当六位数的首位数分别为 6 5 4 3 2 l 时 经计算均不合题意 综上分析 要求 的六位数为 练一练 四位数 89 能被 89 整除 这个四位是多少 答案 4895 六 时钟问题 钟面上有时针与分针 每针转动的速度是确定的 分针每分 钟旋转的速度 360 60 6 时针每分钟旋转的速度 360 12 60 0 5 在 钟面上要么是分针追赶时针 要么是分针超越时针 这里的转动角度用度数来表示 相当 于行走的路程 因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题 例 1 钟面上 3 时多少分时 分针与时针恰好重合 整 3 时 分针在 12 的位置上 时针在 3 的位置上 两针相隔 90 当两针第一次 重合 就是 3 时过多少分 在整 3 时到两针重合的这段时间内 分针要比时针多行走 360 12 3 90 每分钟分针比时针多走 6 0 5 5 5 度 所用时间为 90 5 5 16 36 分 例 2 在钟面上 5 时多少分时 分针与时针在一条直线上 而指向相反 在整 5 时 时针与分针相隔 360 12 5 150 然后分针先是追上时针 分针需比 时针多行走 150 然后超越时针 180 共 150 180 330 分针每分钟旋转的速度 360 60 6 时针每分钟旋转的速度 360 12 60 0 5 150 180 6 0 5 60 分 5 时 60 分即 6 时正 例 3 钟面上 12 时 30 分时 时针在分针后面多少度 整 12 时 分针与时针重合 相当于在同一起跑线上 到 12 时 30 分钟 分针走 180 到达 6 时的位置上 而时针在 30 分钟内也在行走 实际上两针相隔的度数是在 30 分 钟内分针超越时针的度数 6 0 5 30 55 3 165 度 例 4 钟面上 6 时到 7 时之间两针相隔 90 时 是几时几分 从 6 时整作为起点 此时两针成 180 当分针在时针后面 90 时或分针超越时针 90 时 就是所求的时刻 180 90 6 0 5 90 5 5 16 36 分钟 180 90 6 0 5 270 5 5 49 09 分钟 此题还可采用分率方法来解决 七 最优化问题 既要在尽可能节省人力 物力和时间前提下 争取获得在可能范围 内的最佳效果 因此 最优化问题涉及统筹 线性规划 排序不等式等内容 例 1 货轮上卸下若干只箱子 总重量为 10 吨 每只箱子的重量不超过 1 吨 为了保证 能把这些箱子一次运走 问至少需要多少辆载重 3 吨的汽车 分析 因为每一只箱子的重量不超过 1 吨 所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少 于 2 吨 否则可以再放一只箱子 所以 5 辆汽车本是足够的 但是 4 辆汽车并不一定能 把箱子全部运走 例如 设有 13 只箱子 所以每辆汽车只能运走 3 只箱子 13 只箱子用 4 辆汽车一次运不走 因此 为了保证能一次把箱子全部运走 至少需要 5 辆汽车 例 2 用 10 尺长的竹竿来截取 3 尺 4 尺长的甲 乙两种短竹竿各 100 根 至少要用 去原材料几根 怎样截法最合算 分析 一个 10 尺长的竹竿应有三种截法 1 3 尺两根和 4 尺一根 最省 2 3 尺三根 余一尺 3 4 尺两根 余 2 尺 为了省材料 尽量使用方法 1 这样 50 根原材料 可截得 100 根 3 尺的竹竿和 50 根 4 尺的竹竿 还差 50 根 4 尺的 最好选择 方法 3 这样所需原材料最少 只需 25 根即可 这样 至少需用去原材料 75 根 例 3 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数 而且是三个连续偶数 它们个位 数字的和是 7 的倍数 这个三角形的周长最长是多少厘米 分析 三角形三边是三个连续偶数 所以它们的个位数字只能是 0 2 4 6 8 且 它们的和也是偶数 又它们的个位数字的和是 7 的倍数 只能是 14 三角形三条边最大可 能是 86 88 90 周长最长为 86 88 90 264 厘米 例 4 把 25 拆成若干个正整数的和 使它们的积最大 分析 先从较小数形开始实验 发现其规律 把 6 拆成 3 3 其积为 3 3 9 最大 把 7 拆成 3 2 2 其积为 3 2 2 12 最大 把 8 拆成 3 3 2 其积为 3 3 2 18 最大 把 9 拆成 3 3 3 其积为 3 3 3 27 最大 这就是说 要想分拆后的数的乘积最大 应尽可能多的出现 3 而当某一自然数可表 示为若干个 3 与 1 的和时 要取出一个 3 与 1 重合在一起再分拆成两个 2 之和 因此 25 可 以拆成 3 3 3 3 3 3 3 2 2 其积 37 22 8748 为最大 例 5 A B 两人要到沙漠中探险 他们每天向沙漠深处走 20 千米 已知每人最多可携 带一个人 24 天的食物和水 如果不准将部分食物存放于途中 问其中一个人最远可以深入 沙漠多少千米 要求最后两人返回出发点 如果可以将部分食物存放于途中以备返回时 取用呢 分析 设 A 走 X 天后返回 A 留下自己返回时所需的食物 剩下的转给 B 此时 B 共有 48 3X 天的食物 因为 B 最多携带 24 天的食物 所以 X 8 剩下的 24 天食物 B 只能再向前走 8 天 留下 16 天的食物供返回时用 所以 B 可以向沙漠深处走 16 天 因 为每天走 20 千米 所以其中一人最多可以深入沙漠 320 千米 如果改变条件 则问题关键为 A 返回时留给 B24 天的食物 由于 24 天的食物可以使 B 单独深入沙漠 12 天的路程 而另外 24 天的食物要供 A B 两人往返一段路 这段路为 24 4 6 天的路程 所以 B 可以深入沙漠 18 天的路程 也就是说 其中一个人最远可以深 入沙漠 360 千米 例 6 今有围棋子 1400 颗 甲 乙两人做取围棋子的游戏 甲先取 乙后取 两人轮 流各取一次 规定每次只能取 7P P 为 1 或不超过 20 的任一质数 颗棋子 谁最后取完 为胜者 问甲 乙两人谁有必胜的策略 想 因为 1400 7 200 所以原题可以转化为 有围棋子 200 颗 甲 乙两人轮流 每次取 P 颗 谁最后取完谁获胜 乙有必胜的策略 由于 200 4 50 P 或者是 2 或者可 以表示为 4k 1 或 4k 3 的形式 k 为零或正整数 乙采取的策略为 若甲取 2 4k 1 4k 3 颗 则乙取 2 3 1 颗 使得余下的棋子仍是 4 的倍数 如此最后出现剩 下数为不超过 20 的 4 的倍数 此时甲总不能取完 而乙可全部取完而获胜 说明 1 此题中 乙是 后发制人 故先取者不一定存在必胜的策略 关键是看 他们所面临的 情形 2 我们可以这样来分析这个问题的解法 将所有的情形 剩余棋 子的颗数分成两类 第一类是 4 的倍数 第二类是其它 若某人在取棋时遇到的是第二类 情形 那么他可以取 1 或 2 或 3 使得剩下的是第一类情形 若取棋时面临第一类情形 则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形 所以 谁先面临第二类情形谁就能获胜 在 绝大部分双人比赛问题中 都可采用这种方法 例 7 有一个 80 人的旅游团 其中男 50 人 女 30 人 他们住的旅馆有 11 人 7 人和 5 人的三种房间 男 女分别住不同的房间 他们至少要住多少个房间 分析 为了使得所住房间数最少 安排时应尽量先安排 11 人房间 这样 50 人男的应 安排 3 个 11 人间 2 个 5 人间和 1 个 7 人间 30 个女人应安排 1 个 11 人间 2 个 7 人间 和 1 个 5 人间 共有 10 个房间 练习 1 十个自然数之和等于 1001 则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少 不包括 0 2 在两条直角边的和一定的情况下 何种直角三角形面积最大 若两直角边的和为 8 则三角形的最大面积为多少 3 5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水 他们打水所需要的时间分别是 1 分 钟 2 分钟 3 分钟 4 分钟和 5 分钟 如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序 就 能够使每个人排队和打水时间的总和最小 那么这个最小值是多少分钟 4 某水池可以用甲 乙两水管注水 单放甲管需 12 小时注满 单放乙管需 24 小时注 满 若要求 10 小时注满水池 并且甲 乙两管合放的时间尽可能地少 则甲乙两管全放最 少需要多少小时 5 有 1995 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规 问完成任务后应该在该 公路的什么地点集合 可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小 6 甲 乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数 规则是禁止写黑板上已写过的 数的约数 不能完成下一步的为失败者 问 是先写者还是后写者必胜 如何取胜 习题参考答案及思路分析 1 1001 7 11 13 可以 7 13 为公约数 这样这十个正整数可以是 91 2 它 们的最大公约数为 91 2 对于直角三角形而言 在直角边的和一定的情况下 等腰直角三角形的面积最大 若两直角边的和为 8 则三角形的最大面积为 4 4 8 3 为了使每个人排队和打水时间的总和最小 有两种方法 1 排队的人尽量少 2 每次排队的时间尽量少 因此应先让打水快的人打水 才能保证开始排队人多的时候 每个人等待的时间要少 故共需 5 1 4 2 3 3 2 4 5 35 分钟 4 由于甲 乙单独开放都不可能在 10 小时注满水池 因此必须有时间甲 乙全放 为了使它们合放的时间最少 应尽量开放甲管 速度快 这样甲开 10 小时注满水池的 余下 只能由乙注满 需 因此甲乙两管全放最少需要 4 小时 5 此问题我们可以从最简单问题入手 寻找规律 从而解决复杂问题 最后集合地点 应在中间地点 6 先写者存在获胜的策略 甲第一步写 6 乙仅可写 4 5 7 8 9 10 中的一个 把它们分成数对 4 5 8 10 7 9 如果乙写数对中的某个数 甲就写数对中的 另一个数 则甲必胜 八 利润与折扣 工厂和商店有时减价出售商品 通常称为 打折扣 出售 几折 就是百分之几十 一般情况下 商品从厂家购进的价格称为本价 商家在成本价的基础上 提高价格出售 所赚的钱称为利润 利润与成本的百分比称之为利润率 期望利润 成本 价 期望利润率 例 1 某商店将某种 DVD 按进价提高 35 后 打出 九折优惠酬宾 外送 50 元出租车 费 的广告 结果每台仍旧获利 208 元 那么每台 DVD 的进价是多少元 定价是进价的 1 35 135 打九折后 实际售价是进价的 135 90 121 5 每台 DVD 的实际盈利 208 50 258 元 每台 DVD 的进价 258 121 5 1 1200 元 例 2 一种服装 甲店比乙店的进货便宜 10 甲店按 20 的利润定价 乙店按 15 的利润定价 甲店比乙店的出厂价便宜 11 2 元 甲店的进货价是多少元 设乙店的成本价为 1 乙店的定价是 1 15 甲店的定价 1 10 1 20 甲店比乙店的出厂价便宜 11 2 元的对应分率是 1 15 1 10 1 20 7 11 2 7 160 元 160 1 10 144 元 例 3 原来将一批水果按 100 的利润定价出售 由于价格过高 无人购买 不得不按 38 的利润重新定价 这样出售了其中的 40 此时因害怕剩余水果会变质 不得不再次 降价 售出了全部水果 结果实际获得的总利润是原来利润的 30 2 那么第二次降价后 的价格是原来定价的百分之几 要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几 则需要求出第二次是按百分之几 的利润定价 解 设第二次降价是按 x 的利润定价的 38 40 x 1 40 30 2 X 25 1 25 1 100 62 5 练习 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱 与按每个 11 元的利润卖出 12 个的钱一 样多 这种商品的进货价是每个多少元 2 租用仓库堆放 3 吨货物 每月租金 7000 元 这些货物原计划要销售 3 个月 由于 降低了价格 结果 2 个月就销售完了 由于节省了租仓库的租金 所以结算下来 反而比 原计划多赚了 1000 元 问 每千克货物的价格降低了多少元 3 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件 张先生对商店经理说 如果你肯减价 那么每减价 1 元 我就多订购 4 件 商店经理算了一下 若减价 5 则由于张先生多订购 获得的利润反而比原来多 100 元 问 这种商品的成本是多少元 4 某商店到苹果产地去收购苹果 收购价为每千克 1 20 元 从产地到商店的距离是 400 千米 运费为每吨货物每运 1 千米收 1 50 元 如果在运输及销售过程中的损耗是 10 商店要想实现 25 的利润率 零售价应是每千克多少元 5 小明到商店买了相同数量的红球和白球 红球原价 2 元 3 个 白球原价 3 元 5 个 新年优惠 两种球都按 1 元 2 个卖 结果小明少花了 8 元钱 问 小明共买了多少个球 6 某厂向