2012年(全国卷II)高考文科数学

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国卷 全国卷 数学数学 文文 试题试题 一 选择题一 选择题 本大题本大题 共共 1212 题题 共计共计 6060 分分 1 已知集合 A x x 是平行四边形 B x x 是矩形 C x x 是正方形 D x x 是菱形 则 A AB B CB C DC D AD 2 函数 x 1 的反函数为 1yx A y x2 1 x 0 B y x2 1 x 1 C y x2 1 x 0 D y x2 1 x 1 3 若函数 0 2 是偶函数 则 sin 3 x f x A B C D 2 2 3 3 2 5 3 4 已知 为第二象限角 则 sin2 3 sin 5 A B C D 24 25 12 25 12 25 24 25 5 椭圆的中心在原点 焦距为 4 一条准线为 x 4 则该椭圆的方程为 A B 22 1 1612 xy 22 1 128 xy C D 22 1 84 xy 22 1 124 xy 6 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 Sn 2an 1 则 Sn A 2n 1 B C D 1 3 2 n 1 2 3 n 1 1 2n 7 6 位选手依次演讲 其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲 则 不同的演讲次序共有 A 240 种 B 360 种 C 480 种 D 720 种 8 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 E 为 CC1的 1 2 2CC 中点 则直线 AC1与平面 BED 的距离为 2 A 2 B C D 132 9 ABC 中 AB 边的高为 CD 若 a b a b 0 a 1 b 2 则 CB CA AD A B 11 33 ab 22 33 ab C D 33 55 ab 44 55 ab 10 已知 F1 F2为双曲线 C x2 y2 2 的左 右焦点 点 P 在 C 上 PF1 2 PF2 则 cos F1PF2 A B C D 1 4 3 5 3 4 4 5 11 已知 x ln y log52 则 1 2 ez A x y z B z x y C z y x D y z x 12 正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 在边 AB 上 点 F 在边 BC 上 AE BF 动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动 每当碰到正方形的边时反弹 1 3 反弹时反射角等于入射角 当点 P 第一次碰到 E 时 P 与正方形的边碰撞的次 数为 A 8 B 6 C 4 D 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横 线上 13 x 8的展开式中 x2的系数为 1 2x 14 若 x y 满足约束条件则 z 3x y 的最小值为 10 30 330 xy xy xy 15 当函数 y sinx cosx 0 x 2 取得最大值时 x 3 16 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 BB1 CC1的中点 那 么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 17 ABC 中 内角 A B C 成等差数列 其对边 a b c 满足 2b2 3ac 求 A 18 已知数列 an 中 a1 1 前 n 项和 2 3 nn n Sa 1 求 a2 a3 2 求 an 的通项公式 19 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 PA 底面 ABCD PA 2 E 是 PC 上的一点 PE 2EC 2 2AC 1 证明 PC 平面 BED 2 设二面角 A PB C 为 90 求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 4 20 乒乓球比赛规则规定 一局比赛 双方比分在 10 平前 一方连续发球 2 次后 对方再连续发球 2 次 依次轮换 每次发球 胜方得 1 分 负方得 0 分 设在甲 乙的比赛中 每次发球 发球方得 1 分的概率为 0 6 各次发球的 胜负结果相互独立 甲 乙的一局比赛中 甲先发球 1 求开始第 4 次发球时 甲 乙的比分为 1 比 2 的概率 2 求开始第 5 次发球时 甲得分领先的概率 21 已知函数 f x x3 x2 ax 1 3 1 讨论 f x 的单调性 2 设 f x 有两个极值点 x1 x2 若过两点 x1 f x1 x2 f x2 的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 y f x 上 求 a 的值 22 已知抛物线 C y x 1 2与圆 M x 1 2 y 2 r2 r 0 有一个 1 2 公共点 A 且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l 1 求 r 2 设 m n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线 m n 的交点为 D 求 D 到 l 的距离 5 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试 年普通高等学校招生全国统一考试 2 2 全国卷 全国卷 数学数学 文文 试题试题 答案解析答案解析 1 B 正方形组成的集合是矩形组成集合的子集 CB 2 A y2 x 1 1yx x y2 1 x y 互换可得 y x2 1 又 反函数中 x 0 故选 A 项 10yx 3 C 是偶函数 f 0 1 sin 3 x f x k Z sin1 3 32 k 3k k Z 3 2 又 0 2 当 k 0 时 故选 C 项 3 2 4 A 且 为第二象限角 3 sin 5 2 4 cos1 sin 5 故选 A 项 3424 sin22sin cos2 5525 5 C 焦距为 4 即 2c 4 c 2 又 准线 x 4 2 4 a c a2 8 b2 a2 c2 8 4 4 6 椭圆的方程为 故选 C 项 22 1 84 xy 6 B 当 n 1 时 S1 2a2 又因 S1 a1 1 所以 2 1 2 a 2 13 1 22 S 显然只有 B 项符合 7 C 由题意可采用分步乘法计数原理 甲的排法种数为 1 4 A 剩余 5 人进行全排列 故总的情况有 480 种 故选 5 5 A 1 4 A 5 5 A C 项 8 D 连结 AC 交 BD 于点 O 连结 OE AB 2 2 2AC 又 则 AC CC1 1 2 2CC 作 CH AC1于点 H 交 OE 于点 M 由 OE 为 ACC1的中位线知 CM OE M 为 CH 的中点 由 BD AC EC BD 知 BD 面 EOC CM BD CM 面 BDE HM 为直线 AC1到平面 BDE 的距离 又 ACC1为等腰直角三角形 CH 2 HM 1 9 D a b 0 a b 又 a 1 b 2 7 5AB 1 22 5 55 CD 22 2 54 5 2 55 AD 4 5 4444 5 55555 ADABAB abab 10 C 设 PF2 m 则 PF1 2m 由双曲线定义 PF1 PF2 2a 2m m 2 2 2 2m 又 22 224cab 由余弦定理可得 cos F1PF2 222 12 12 43 2 4 PFPFc PFPF 11 D x ln 1 y log52 5 1 log5 2 且 e0 1 y z x 1 2 111 e 2e4 z 1 2 e 12 B 如图 由题意 8 tan BEF 1 2 X2为 HD 中点 2 1 12 KX 2 3 1 2 X D X D 3 1 3 X D 4 3 1 2 X C X C 4 1 3 X C 5 4 1 2 X H X H 5 1 2 X H X6与 E 重合 故选 B 项 5 6 1 2 X A X A 6 1 3 X A 13 答案 7 解析 x 8展开式的通项为 Tr 1 x8 r 1 2x 8 Cr 1 2x r Cr82 rx8 2r 令 8 2r 2 解得 r 3 x2的系数为2 3 7 3 8 C 14 答案 1 解析 由题意画出可行域 由 z 3x y 得 y 3x z 要使 z 取 最小值 只需截距最大即可 故直线过 A 0 1 时 z 最大 zmax 3 0 1 1 15 答案 5 6 9 解析 y sinx cosx 3 13 2 sincos 2sin 223 xxx 当 y 取最大值时 x 2k 2 32 xk 5 6 又 0 x 2 5 6 x 16 答案 3 5 解析 设正方体的棱长为 a 连结 A1E 可知 D1F A1E 异面直线 AE 与 D1F 所成的角可转化为 AE 与 A1E 所成的角 在 AEA1中 22 222 1 22 22 322 cos 5 2 22 aa aaa AEA aa aa 17 解 由 A B C 成等差数列及 A B C 180 得 B 60 A C 120 由 2b2 3ac 及正弦定理得 2sin2B 3sinAsinC 故 1 sin sin 2 AC cos A C cosAcosC sinAsinC cosAcosC 1 2 即 cosAcosC cosAcosC 0 1 2 1 2 cosA 0 或 cosC 0 所以 A 90 或 A 30 18 解 1 由得 3 a1 a2 4a2 解得 a2 3a1 3 22 4 3 Sa 10 由得 3 a1 a2 a3 5a3 解得 a3 a1 a2 6 33 5 3 Sa 3 2 2 由题设知 a1 1 当 n 1 时有 an Sn Sn 1 1 21 33 nn nn aa 整理得 1 1 1 nn n aa n 于是 a1 1 a2 a1 a3 a2 3 1 4 2 an 1 an 2 an an 1 2 n n 1 1 n n 将以上 n 个等式两端分别相乘 整理得 1 2 n n n a 综上 an 的通项公式 1 2 n n n a 19 解法一 1 证明 因为底面 ABCD 为菱形 所以 BD AC 又 PA 底面 ABCD 所以 PC BD 设 AC BD F 连结 EF 因为 PA 2 PE 2EC 2 2AC 故 2 3PC 2 3 3 EC 2FC 从而 6 PC FC 6 AC EC 因为 FCE PCA PCAC FCEC 11 所以 FCE PCA FEC PAC 90 由此知 PC EF PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD EF 都垂直 所以 PC 平 面 BED 2 在平面 PAB 内过点 A 作 AG PB G 为垂足 因为二面角 A PB C 为 90 所以平面 PAB 平面 PBC 又平面 PAB 平面 PBC PB 故 AG 平面 PBC AG BC BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA AG 都垂直 故 BC 平面 PAB 于是 BC AB 所以底面 ABCD 为正方形 AD 2 22 2 2PDPAAD 设 D 到平面 PBC 的距离为 d 因为 AD BC 且 AD 平面 PBC BC 平面 PBC 故 AD 平 面 PBC A D 两点到平面 PBC 的距离相等 即 d AG 2 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 则 1 sin 2 d PD 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30 解法二 1 证明 以 A 为坐标原点 射线 AC 为 x 轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz 设 C 0 0 D b 0 其中 b 0 2 22 则 P 0 0 2 E 0 B b 0 4 2 3 2 3 2 于是 0 2 b PC 2 2BE 2 3 2 3 12 b 从而 DE 2 3 2 3 0PC BE 0PC DE 故 PC BE PC DE 又 BE DE E 所以 PC 平面 BDE 2 0 0 2 b 0 AP AB 2 设 m x y z 为平面 PAB 的法向量 则 m 0 m 0 AP AB 即 2z 0 且x by 0 2 令 x b 则 m b 0 2 设 n p q r 为平面 PBC 的法向量 则 n 0 n 0 PC BE 即且 2 220pr 22 0 33 p bqr 令 p 1 则 n 1 2r 2 q b 2 b 2 因为面 PAB 面 PBC 故 m n 0 即 故 2 0b b 2b 于是 n 1 1 2 2DP 2 2 n 60 1 cos 2 DP DP DP n n n DP 因为 PD 与平面 PBC 所成角和 n 互余 故 PD 与平面DP PBC 所成的角为 30 20 解 记 Ai表示事件 第 1 次和第 2 次这两次发球 甲共得 i 分 i 0 1 2 Bi表示事件 第 3 次和第 4 次这两次发球 甲共得 i 分 i 0 1 2 A 表示事件 第 3 次发球 甲得 1 分 B 表示事件 开始第 4 次发球时 甲 乙的比分为 1 比 2 13 C 表示事件 开始第 5 次发球时 甲得分领先 1 B A0 A A1 A P A 0 4 P A0 0 42 0 16 P A1 2 0 6 0 4 0 48 P B P A0 A A1 A P A0 A P A1 A P A0 P A P A1 P A 0 16 0 4 0 48 1 0 4 0 352 2 P B0 0 62 0 36 P B1 2 0 4 0 6 0 48 P B2 0 42 0 16 P A2 0 62 0 36 C A1 B2 A2 B1 A2 B2 P C P A1 B2 A2 B1 A2 B2 P A1 B2 P A2 B1 P A2 B2 P A1 P B2 P A2 P B1 P A2 P B2 0 48 0 16 0 36 0 48 0 36 0 16 0 307 2 21 解 1 f x x2 2x a x 1 2 a 1 当 a 1 时 f x 0 且仅当 a 1 x 1 时 f x 0 所 以 f x 是 R 上的增函数 当 a 1 时 f x 0 有两个根 x1 1 x2 1 1 a 1 a 当 x 1 时 f x 0 f x 是增函数 1 a 当 x 1 1 时 f x 0 f x 是减函数 1 a 1 a 当 x 1 时 f x 0 f x 是增函数 1 a 2 由题设知 x1 x2为方程 f x 0 的两个根 故有 a 1 x12 2x1 a x22 2x2 a 14 因此 f x1 x13 x12 ax1 1 3 x1 2x1 a x12 ax1 x12 ax1 1 3 1 3 2 3 2x1 a ax1 a 1 x1 1 3 2 3 2 33 a 同理 f x2 a 1 x2 2 33 a 因此直线 l 的方程为 y a 1 x 2 33 a 设 l 与 x