三大基本函数知识点及例题

三大基本函数知识点及常见例题三大基本函数知识点及常见例题 指数与指数函数指数与指数函数 一 知识梳理 一 知识梳理 1 指数运算 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a rsr s aaa 0 arsQ rsrs aa 0 arsQ r rs aba b 0 arsQ 2 指数函数 定义域 R 值域为 当 指数函数 x ay 0 1aa 01a 在定义域上为增函数 当 指数函数 在定义域 x ay 01a x ay 上为减函数 当时 的值越大 越靠近轴 当1a x ay ay 时 则相反 01a 二 考点分析 二 考点分析 例 1 已知下列不等式 比较 的大小 1 2 mn22 mn 0 20 2 mn 变式 1 设 那么 111 1 222 ba A a a b B a b a abaaab C a a b D a b a baabaa 例 2 函数在 0 1 上的最大值与最小值的和为 3 则的值为 x ya a A B 2 C 4 D 1 2 1 4 例 3 已知函数的图象与函数 且 的图象关于直线对 xfy x ay 0 a1 axy 称 记 若在区间上是增函数 则实数 1 2 2 fxfxfxg xgy 2 2 1 的取值范围是 a A B C D 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 0 对数与对数函数对数与对数函数 一 知识梳理 一 知识梳理 1 对数运算 log loglog aaa M NMN logloglog aaa M MN N loglog n aa MnM 1 loglog n aa MM n logaN aN log log log b a b N N a 换底公式 logloglog1 abc bca 推论 2 对数函数 如果 的 次幂等于 就是 数 就叫做以为底a0 1aa bNNab ba 的的对数 记作 负数和零没有对数 其中叫底数 叫真NbN a log0 1aa aN 数 当时 的值越大 越靠近轴 当时 则相反 1a xy a log ax01a 二 考点分析 二 考点分析 例 1 已知函数 且 log 1 a f xx log 1 0 a g xx a 1 a 1 求函数定义域 f xg x 2 判断函数的奇偶性 并说明理由 f xg x 例 2 已知是上的减函数 那么的取值范围是 31 4 1 log 1 a axa x f x x x a A B C D 0 1 1 0 3 1 1 7 3 1 1 7 例 3 若 且 求实数的取值范围 3 log1 0 4 a a 1 a a 变式变式 1 1 若 则的取值范围是 0 1 1 log 2 2 a a a a A B C D 2 1 1 1 2 1 2 1 0 幂函数幂函数 一 知识梳理 一 知识梳理 1 幂函数的概念 一般地 形如 的函数称为幂函数 其中是自变量 是常数yx xR x 2 幂函数的图像及性质 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域 RRR 0 x x 0 x x 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 在第 象限 的增减性 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递减 幂函数 的图像在第一象限的分布规律是 yx xR 是常数 所有幂函数 的图像都过点 yx xR 是常数 1 1 当时函数的图像都过原点 0 yx 0 0 当时 的的图像在第一象限是第一象限的平分线 如 1 yx 2 c 当时 的的图像在第一象限是 凹型 曲线 如 2 3 yx 1 c 当时 的的图像在第一象限是 凸型 曲线 如 1 2 yx 3 c 当时 的的图像不过原点 且在第一象限是 下滑 曲线 如 1 yx 0 0 4 c 3 重难点问题探析 幂函数性质的拓展 当时 幂函数有下列性质 0 yx 1 图象都通过点 0 0 1 1 2 在第一象限内都是增函数 3 在第一象限内 时 图象是向下凸的 时 图象是向上凸的 1 10 4 在第一象限内 过点后 图象向右上方无限伸展 1 1 当时 幂函数有下列性质 0 yx 1 图象都通过点 1 1 2 在第一象限内都是减函数 图象是向下凸的 3 在第一象限内 图象向上与轴无限地接近 向右无限地与轴无限地接近 yx 4 在第一象限内 过点后 越大 图象下落的速度越快 1 1 无论取任何实数 幂函数的图象必然经过第一象限 并且一定不经过第四象限 yx 二 考点分析 二 考点分析 考点考点 1 1 利用幂函数的单调性比较大小 利用幂函数的单调性比较大小 例 1 已知 试比较的大小 0 1 0 2 2 2 例 2 已知点在幂函数的图象上 点 在幂函数的图象上 2 2 f x 1 2 4 g x 问当x为何值时有 f xg x f xg x f xg x 已学过的知识的拓展 分析 底数分别不同而指数相同 可以看作是和 两个幂函数 利用幂函 数的单调性质去理解 利用幂函数的性质比较数的大小 例 3 比较的大小 分析 三个量比较大小 先考虑取值的符号 启示 当直接比较大小难以进行时 可以考虑借助一些中间量特殊值 如 0 1 或其他数来 解决 习题 习题 一 选择题 1 若函数在区间上最大值是最小值的倍 则为 10 log axxf a 2 aa3a A B C D 4 2 2 2 4 1 2 1 2 若函数的图象过两点和 则 1 0 log aabxy a 1 0 0 1 A B 2 2ab 2 2ab C D 2 1ab 2 2ab 3 已知 那么等于 xxf 2 6 log 8 f A B C D 3 4 818 2 1 4 函数 lgyx A 是偶函数 在区间 上单调递增 B 是偶函数 在区间上单调递减 0 0 C 是奇函数 在区间 上单调递增 D 是奇函数 在区间上单调递减 0 0 5 已知函数 1 1 lg afbaf x x xf则若 A B C D bb b 11 b 6 函数在上递减 那么在上 log1 a f xx 0 1 f x 1 A 递增且无最大值 B 递减且无最小值 C 递增且有最大值 D 递减且有最小值 7 图中曲线分别表示 l gayox 的图象 的关l gbyox l gcyox l gdyox a b c d 系是 A 0 a b 1 d cB 0 b a 1 c d C 0 d c 1 a bD 0 c d 1 a b 8 a log0 50 6 b log 20 5 c log 35 则 A a b cB b a c C a c b D c a b 二 填空题 1 若是奇函数 则实数 axf xx lg22 a 2 函数的值域是 2 1 2 log25f xxx 3 已知则用表示 1414 log 7 log 5 ab a b 35 log28 x y O y logax y logbx y logcx y logdx 1 4 设 且 则 1 lgAyxy 0 Bx y AB x y 5 计算 5log2 23 23 6 函数的值域是 x x e1 e1 y 三 解答题 1 1 1x ln 3 解方程 1 2 1 92 327 xx 649